导数在研究函数中的运用

Ｇ　孽堕Ｚ　难点攻略　＇■一Ａ　ＫＡｏ　ＨＥｌ　ＨＡ　…｝。¨ｎ　＿＾　Ｈ　．　导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，　以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇　●　融合．在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点．　导数在研究函数中的应用　

高考对此部分内容的考查主要　体现在：①考查导数的简单应用：运　用导数解决函数的单调性问题，利　用导数解决函数的极值问题，利用　导数解决函数的最值问题等；②考　查导数的综合应用能力：含参数的　函数问题，函数的实际应用，以及和　ｉ　不等式、方程根的分布、解析几何等　知识的交汇．　重点：了解函数单调性和导数　的关系．能利用导数研究函数的单　调性，会求函数的单调区间；了解函　数在某点取得极值的必要条件和充　分条件；会用导数求函数的极大值、　１．要重视基础．该部分内容突　出一个“用”字，其中利用导数判断　单调性起着基础性的作用，对导数　在解决函数单调性、最值、极值等方　面的应用．要做到抓主线，攻重点，　熟知方法，并不断进行训练．要注意　概念辨析和知识理解，如：①若已知　ｆ（ｘ）在区间Ｄ上单调递增（减），则转　化为不等式厂　（　）≥０（厂　（　）≤０）在　区间Ｄ上恒成立，而不　）＞０（厂　（　）＜　０）在区间Ｄ上恒成立．②可导函数　在极值点的导数值为零，但导数值　为零的点未必是极值点．如函数　ｆ（ｘ）　在ｘ＝Ｏ处有厂　（０）＝０，但ｘ＝Ｏ不　是函数　）＝Ｘ３的极值点．　２．要把握思想．高考对导数的　基础知识进行考查的同时，还注重　考查能力，特别是解导数解答题，往　往要站在数学思想方法的高度去考　虑问题．对求解目标的理解应该如　何转化。如不等式恒成立问题是否　要分离参数，含参数问题是否要分　类讨论．能不能用数形结合的思想　将抽象的知识变得直观．数学思想　方法是数学知识的高度概括，是把　知识转化为能力的体现，由此，对导　数中体现出来的数形结合、等价转　化等思想方法，要注意提炼出来，总　．．．．…．．．……・・…．…．・・・．．．．．．　…．．．．．…－・蒜　０福建泉港第一中学庄琼兰　极小值：会求函数在闭区间上的最　大值、最小值．　难点：用分类讨论的思想分析　解决含参数的函数问题，用数形结　合的思想和转化变换的思想研究　函数、方程、不等式等知识之间的　联系．　结到位．并不断进行训练．　３．要加强交汇．注意导数与函　数、方程、不等式等知识的交汇，由　导数方法研究方程、不等式时，一般　是先构造一个函数，这里要考虑是　直接构造．还是转化构造，借助适当　的函数形式展开研究．发挥好导数　研究函数问题的工具作用，要把知　识与知识相互结合起来，把知识与　方法也相互结合起来，以此不断提　升解决问题的能力．　４．对于有些函数问题，若一阶　求导不能解决，则可以思考是否需　要二阶求导．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

1 导数复习专题

一、知识要点与考点

（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；

四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式

)(C＝ ；)(nx＝ ；(n∈Q) )(sinx＝ ， )(cosx＝ ； )(xe＝ ，

)(xa＝ ；)(lnx＝ ， )(logxa＝

（5）导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ ，)(vu＝ )0(v

（6）复合函数的导数

设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导， 且xuxuyy.

二、考点分析与方法介绍

考点一 导数的概念及几何意义

目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．

求曲线在一点处的切线方程思路：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1．已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34，则f(－2)＝ ，[(2)]f＝ ．

例2．设函数f(x)的导数为()fx，且f(x)＝x2＋2xf(1)，则f(2)＝ ．

例3．（1）曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为

l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．

（2）求曲线S：y＝2x－x3的过点A(1，1)的切线方程．

考点二 单调性中的应用