任意角的三角函数的定义教案

《任意角的三角函数》第一课时 教学设计

会宁县第二中学数学教研组 曹蕊

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）

的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力 。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

精品文档

. 5.2.1 任意角三角函数的定义

【教学目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

任意角三角函数的定义．

【教学难点】

单位圆及三角函数线．

【教学方法】

本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．

新

课

1. 任意角的三角函数定义．

已知  是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )

如图所示：

当角  不变时，对于角  的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 

的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，

所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于  的大小，与点 P 在 

终边上的位置无关．

说明三角函数定义的理论根据．

y

P

r

r′ y y′

O x′ x x P’ 精品文档

任意角的三角函数的定义精品教案

教学目标：

1.了解任意角的概念；

2.学习任意角的弧度制与角度制的转化；

3.掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义及其性质；

4.培养学生应用任意角三角函数解决实际问题的能力。

教学重难点：

1.任意角的定义及其性质；

2.任意角的三角函数的定义及其性质。

教学准备：

1.教学课件；

2.教学用具：黑板、粉笔。

教学过程：

一、引入（5分钟）

1.向学生提问：在前几节课我们学过了哪几个角的三角函数？这些角的定义是什么？

2.引导学生思考：那么，如果角不是在圆周上，而是位于圆周外部或内部呢？我们可以给这种角取个名字，叫它任意角。你们认为任意角的三角函数应该如何定义呢？ 二、任意角的弧度制和角度制的转化（15分钟）

1.理解任意角的概念：

-任意角是指不仅仅限于0度到360度之间的角，可以是任何角度的角。

2.引导学生从弧度制和角度制两个方面进行转化：

-弧度制转角度制：角度=弧长/半径

-角度制转弧度制：弧长=角度×半径

3.完成一些练习题，帮助学生掌握弧度制和角度制的转化。

三、任意角的三角函数的定义（30分钟）

1.正弦函数的定义：

- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正弦函数sinθ = y / r。

2.余弦函数的定义：

- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则余弦函数cosθ = x / r。

3.正切函数的定义：

- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正切函数tanθ = y / x。

4.通过课件，展示对应角的三角函数的定义及其图像。并辅以具体角度的示例，让学生理解三角函数的定义。 四、任意角三角函数的性质（20分钟）

1.与角度制一样，任意角三角函数也具有周期性。

2.三角函数在单位圆上的性质也适用于任意角。

3.通过具体的例题，教师引导学生探究任意角三角函数的性质。

《任意角的三角函数》教学设计

一、内容与内容解析

三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，理解新概念的本质属性。

所以本课时的教学重点是：

通过概念的同化与精致过程，协助学生理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并在这个过程中突出单位圆的作用。

二、目标和目标解析

1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值，能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。）

2．在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。（根据角的终边与单位圆的交点的坐标写出角的各三角函数值，及各三角函数的定义域，利用单位圆的几何特征写出正弦、余弦的值域。）

3．在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的水平。（知道概念所在的体系，知道任意角的三角函数与锐角三角函数、函数、指、对数函数等之间的关系，利用单位圆的几何特征研究三角函数的方法。）

三、教学问题诊断分析

在 概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段以前研究过锐角三角函数，其 研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，所以在教学过程中要发展学生的已 有认知经验，发挥其正迁移。具体来说要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进 行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，协助学生利用坐标系借助单位圆重新理解锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认 识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，因为研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存有的周期性 现象服务的。这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。