任意角的三角函数的 定义

基础模块 上册

121 5.2.1 任意角三角函数的定义

【教学目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

任意角三角函数的定义．

【教学难点】

单位圆及三角函数线．

【教学方法】

本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．

新

课

1. 任意角的三角函数定义．

已知  是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )

如图所示：

当角  不变时，对于角  的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 

的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，

所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于  的大小，与点 P 在 

终边上的位置无关．

说明三角函数定义的理论根据．

y

P

r

r′ y y′

O x′ x x P’ 第五章 三角函数

精品文档

. 5.2.1 任意角三角函数的定义

【教学目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

任意角三角函数的定义．

【教学难点】

单位圆及三角函数线．

【教学方法】

本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．

新

课

1. 任意角的三角函数定义．

已知  是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )

如图所示：

当角  不变时，对于角  的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 

的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，

所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于  的大小，与点 P 在 

终边上的位置无关．

说明三角函数定义的理论根据．

y

P

r

r′ y y′

O x′ x x P’ 精品文档

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小议任意角三角函数的定义

作者：周军

来源：《理科考试研究·高中》2016年第07期

任意角的三角函数定义，是三角函数的最基本的概念；对于高一新生来讲，该定义中的纵坐标y和因变量y容易混淆，进而导致三角函数部分的基础不扎实，甚至影响其学习数学的信心，我认为用y函数值=sinx角=[SX（]y纵坐标[]r[SX）]等公式能解决这个问题；教材中任意角的三角函数的定义，其学习目标模糊而不明确，我认为应该直接确定为“求三角函数值y”；其应用有：求函数值，正弦型函数，参数方程，其它方面等四个方面，可以进一步帮助我们理解定义.

一、研究“任意角的三角函数定义”的目的

首先，三角函数作为函数的一种，有其自身的特殊性，体现了一般函数没有的性质，如周期性等，而任意角三角函数定义，是三角函数的最基本的概念，很多知识点都是在其基础之上派生出来的；其次，任意角三角函数的定义，对于高一新生来讲，不容易掌握，导致三角函数部分的知识基础不扎实，甚至影响其学习数学的信心；最后，我们的数学教材中，任意角的三角函数的定义，这一节中的学习目标，我认为定位欠科学，不明确.

二、对“任意角的三角函数的定义”的认识

（一）任意角三角函数的定义

2.高一教材该节的学习目标为“求任意角的三角函数”，目标不明确.建议高一数学教材，任意角的三角函数的定义，这节课的教学目标，明确确定为“求任意角的三角函数值y”或者确定为“三角函数值y的计算公式”，这样表达教学目标，显得一目了然.

这样确定学习目标，其好处：刚分配的新教师能更加明确本节课的教学任务，高一年级的新生能更加明确本节课的学习任务.

（四）其他三角函数类比理解

总之，任意角三角函数的定义，是三角函数部分的最基本最重要的概念，其实质是计算三角函数的函数值y；该定义应用广泛；从该定义中，我们体会到，数学概念中往往蕴含着数学的基本思想，方法，思维模式等，换而言之，掌握了数学概念就掌握了数学.如果我们想要从数学的题海战中解脱出来，就要从基本概念入手，这样学习数学，不仅能有助于解题，完胜高考，也能有助于培养思维能力，在今后的生活工作中，充分发挥数学概念等带给我们的各种能力. 龙源期刊网

5.2.1 任意角三角函数的定义

【教学目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

任意角三角函数的定义．

【教学难点】

单位圆及三角函数线．

【教学方法】

本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【教学过程】

环节

教学内容 师生互动 设计意图

导

入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的 以旧引新．

新

课

1. 任意角的三角函数定义．

已知 是任意角，P(x，y)，

P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )

如图所示：

问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x

r ＝x'r' ，y

r ＝y'r' ，y

x ＝y'x' .

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

说明三角函数定义的理论根据．

y

P

r y′

O x′ x x P

新

课

当角 不变时，对于角 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，yx 始终等于定值．因此定义：

角 的余弦cos ＝ xr ；

角 的正弦sin ＝ yr ；

角 的正切tan ＝ yx ．

依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角 为自变量的函数，分别叫做角 的余弦函数、正弦函数和正切函数．