概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

一、第三章习题详解：

3.1设二维随机向量(,)XY

的分布函数为:1222,0,0,

(,)

0,xyxy

xy

Fxy









其他

求

12,35PXY

.

解：因为 257

(2,5)1222F



，651

2221)5,1(

F

532

2221)3,2(

F

，431

2221)3,1(

F

所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP

7654

733

2222

2128



3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数,

用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)

且 0)1,2(YXP

，6.0

53

)2,2(

4

52

22

3



CCC

YXP

4.0

52

)1,3(

4

51

23

3



CCC

YXP

，0)2,3(YXP

故(X,Y)的概率分布为

X\Y12

200.6

30.40

3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为|32||)3(|XXXY

，又X的可能取值为0,1,2,3

所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

且

81

)

21

()3,0(3

YXP

，

83

)

21

()21()1,1(211

3CYXP

83

)

21

()

21

()1,2(122

3CYXP

，

81

)

21

()3,3(3

YXP故(X,Y)的概率分布为

X\Y13

001/8

13/80

23/80

301/8

3.4设二维随机向量(,)XY

的概率密度函数为:

(6),01,02,

(,)

0,axyxy

fxy







其他

(1) 确定常数a

习题3-1

1、设(,)XY的分布律为

X Y 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3 a 1/9

求a。

解：由分布律的性质，得1,0ijijpa，即111111691839a，0a，

解得，29a。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，试用(,)Fxy表示：

（1）{,}PaXbYc；（2）{0}PYb；（3）{,}PXaYb。

解：根据分布函数的定义(,){,}FxyPXxYy，得

（1）{,}{,}{,}(,)(,)PaXbYcPXbYcPXaYcFbcFac；

（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)PYbPXYbPXYFbF；

（3）{,}{,}{,}(,)(,)PXaYbPXYbPXaYbFbFab。

3、设二维随机变量(,)XY的分布函数为(,)Fxy，分布律如下：

Y

X

1 2 3 4

1 1/4 0 0 1/16

2 1/16 1/4 0 1/4

3 0 1/16 1/16 0

试求：（1）13{,04}22PXY；（2）{12,34}PXY；（3）(2,3)F。

解：由(,)XY的分布律，得

（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244PXYPXYPXYPXY；

（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}PXYPXYPXYPXYPXY

1150016416； （3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}FPXYPXYPXYPXY

1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416PXYPXYPXY。

1 概率论与数理统计习题

第三章 多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律.

解：

X

Y 0 1 2 3

0 0 0 353 352

1 0 356 3512 352

2 351 356 353 0

（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=351472222CCC P {X=1, Y=1 }=35647221213CCCC

P {X=1, Y=2 }=35647122213CCCC P {X=2, Y=0 }=353472223CCC

P {X=2, Y=1 }=351247121223CCCC P {X=2, Y=2 }=353472223CCC

P {X=3, Y=0 }=352471233CCC P {X=3, Y=1 }=352471233CCC

P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量),(YX的概率密度为

其它,0,42,20),6(),(yxyxkyxf

（1） 确定常数k；

（2） 求3,1YXP

（3） 求5.1XP；

（4） 求4YXP.

分析：利用P {(X, Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分，其中 2 42,20),(yxyxDo

解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k

（2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP

第三章 多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量及其分布

习题1

设(X,Y)的分布律为

X\Y 123

1 1/61/91/18

2 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

a=2/9.

习题2(1)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(1)P{a

解答：

P{a

习题2(2)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(2)P{0

解答：

P{0

习题2(3)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(3)P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).

习题3(1)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(1)P{12

解答：

P{12

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3(2)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3(3)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(3)F(2,3).

解答：

F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)

=14+0+0+116+14+0=916.

习题4

设X,Y为随机变量，且