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泰勒公式例题

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泰勒公式及其应用

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广

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泰勒公式及其应用

１ 引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.

２ 预备知识

定义2.1]1[ 若函数f在0x存在n阶导数,则有

'''200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx

()000()()(())!nnnfxxxoxxn

（1）

这里))((0nxxo为佩亚诺型余项,称(1)f在点0x的泰勒公式.

当0x=0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnnxoxnfxfxffxf,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f在0x某邻域内为存在直至 1n阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn ,

（2）这里()nRx为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn,其中在x与0x之间,称（2）为f在0x的泰勒公式.

当0x=0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!nnnfffxffxxxRxn

称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 精品---

--精品 常见函数的展开式：

12)!1(!!21nxnxxnenxxxe.

)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx.

24622cos1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxxoxn.

)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx.

)(1112nnxoxxxx

2!2)1(1)1(xmmmxxm.

定理2.1]3[(介值定理) 设函数 f在闭区间 ],[ba上连续,且 )()(bfaf,若0为介于 )(af与)(bf之间的任何实数,则至少存在一点0x),(ba,使得

00)(xf.

3 泰勒公式的应用

3.1 利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.

例3.1 求极限2240coslimxxxex.

分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和22xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

解 由244cos1()2!4!xxxox,222242()21()22xxxeox得 精品---

--精品 2444422111cos()()()4!22!12xxexoxxOx,

于是

244244001()cos112limlim12xxxxOxxexx.

例3.2极限1sin2limsincosxxxxxxxxe→0---- .

分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

解： 由1sin2xxxxe---=233331()())2626xxooxxxxx++++-1-x-(x-+

=34333()()6126ooxxxxx++=+,

3233sincos()(1())62xxxoxoxxxx-x=-+--+

33()3oxx=+

于是

1sin2limsincosxxxxxxxxe→0----3333()162()3ooxxxx+==+

例3.3利用泰勒展开式再求极限 。

解：， 精品---

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【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为，从而

当时，，应为

3.2 利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.

例3.2 当0x时,证明31sin6xxx.

证明 取31()sin6fxxxx,00x,则

'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos,(0)0.ffffxxf

带入泰勒公式,其中n=3,得

31cos()0003!xfxx，其中10.

故

当0x时,31sin6xxx. 精品---

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3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.

3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性

例3 511)xxxdx+∞判断广义积分∫（++--2的收敛性。

111111xxxxxx解： ++--2=（++--2),

1111xx利用泰勒公式将+,-展开：

2211(1)11112211(),22oxxxx-+=+++!2211(1)11112211(),22oxxxx--=-++!

22221111(1)(1)1111112222111()1()22222xxxxooxxxxxx--++--2={++++-++-}!!

3322321111lim1144xxxxxxx→+∞|++--2|=-+o(),因此=|-|

由于53214x+∞∫收敛，所以511)xxxdx+∞∫（++--2的收敛

例3.3 讨论级数111(ln)nnnn的敛散性.

分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11lnln(1)nnn,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛容易进行.

解 因为 精品---

--精品 2341111111lnln(1)234nnnnnnnn,

所以

11ln1nn,

所以

11ln0nnunn

故该级数是正向级数.

又因为

332332322111111111111ln()()23422nonnnnnnnnnnnn,

所以

3322111111ln()22nnunnnnnn.

因为31212nn收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

例3.4 设f(x)在[,)a上二阶可导,且'()0,()0fafa,对''(,),0xaf, 证明： ()0fx在(,)a内存在唯一实根.

分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0fx的根有困难,由题设f(x)在[,)a上二阶可导且'()0,()0fafa,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.

证明 因为''()0fx,所以'()fx单调减少,又'()0fa,因此x>a时,''()()0fxfa,故f(x)在(,)a上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有 精品---

--精品 ''2()()()()()()()2ffxfafaxaxaax

由题设''()0,()0faf,于是有limx,从而必存在ba,使得()0fb,又因为()0fa,在[,]ab上应用连续函数的介值定理,存在0(,)xab,使0()0fx,由f(x)的严格单调性知0x唯一,因此方程()0fx在(,)a内存在唯一实根.

3.5 利用泰勒公式判断函数的极值

例3.5]4[ (极值的第二充分条件)设f在0x的某邻域);(0xU内一阶可导,在0xx处二阶可导,且0)(0'xf,0)(0''xf.

(i)若0)(0''xf,则f在0x取得极大值.

(ii) 若0)(0''xf,则f在0x取得极小值.

证明 由条件，可得f在0x处的二阶泰勒公式

))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0xxoxxxfxxxfxfxf.

由于0)(0'xf,因此

200''0))](1(2)([)()(xxoxfxfxf.(*)

又因0)(0''xf,故存在正数',当);('0xUx时,)(210''xf与)1()(210''oxf同号.所以,当0)(0''xf时,(*)式取负值,从而对任意);('0xUx有

0)()(0xfxf,

即f在0x取得极大值.同样对0)(0''xf,可得f在0x取得极小值.

3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.

例3.6 求211xx的幂级数展开式.

解 利用泰勒公式

231111xxxx369346791034679100(1)(1)1233333333()22222222322(1)[sin]33nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxnx

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6.3泰勒公式

6.3泰勒公式

6.3泰勒公式

讲授新课

()一带有佩亚诺型余项的泰勒公式

学习微分概念时，首先介绍有限增量.

()(),()()()()(),yfaxoxfxfafaxaoxa有

()()()()().afafaxafxxa即在点附近有一次多项式逼近函数时，形成的误差为的高阶无穷小量

(())().noxan用一次多项式逼近某一函数时，有时需要用二次或多于二次的多项式去逼近某一函数，并要求误差为为多项式次数

n讨论某一次多项式2012(),nnPxaaxaxaxL()Pxa若需找到在点处

()-()Pxxa的各阶导数，对变形按的幂展开:

2012()()()(),nnPxbbxabxabxaL

()(0)(),0,1,2,,,()().!kkPabknPaPakK其中，从而，有

()2()()()()()()()().1!2!!nnPaPaPaPxPaxaxaxanL

22100[!!()()()(),().nnfxbxabxabxabfabL补充：因为有

12111()()()(1)(),().nnnnfxfxnbxanbxabfabL对求导，有

()22222!()()(1)()2!,()2!,.fannfxfxnnbxabfabbL对求导,有

()()()(1)(1)()!,()!,kkknkkfxnnnkbxakbfakbLL从而，有有即

()(),!kkfabk

()()()!()!,.]nfxnnnnfxnbbL有

()()()()().!kkknPxxabPaPxbk由此可见，将次多项式函数按的幂展开，它每项的系数由多项式函数唯一确定，即 ()(),(),sin,cos,xfxfxanxxen若任意一个函数未必为多项式函数设在点存在阶导数例如等，由这些导数构造一个次多项式

泰勒公式

泰勒公式

第三节 泰勒公式

对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.

英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明:

具有直到1n阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.

内容分布图示

★ 引言

★ 多项式逼近

★ 泰勒中值定理

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 常用函数的麦克劳林公式 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-3

★ 返回

内容要点：

一、问题：设函数)(xf在含有0x的开区间(a, b)内具有直到1n阶导数, 问是否存在一个n次多项式函数

nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 (3.1)

使得 )()(xPxfn, (3.2)

且误差)()()(xpxfxRnn是比nxx)(0高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.

二、泰勒中值公式

200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn (3.6)

拉格朗日型余项 10)1()()!1()()(nnnxxnfxR (3.7)

泰勒公式例题

泰勒公式例题

例11 设fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0lim0xfxx.证明级数11nfn绝对收敛.

证明：0lim0xfxx，又fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，于是

00,00ff.

将fx在点0x的邻域内展开成一阶泰勒公式：

2211002!2fxffxfxfx

其中在0和x之间.

又由题设，fx在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0M使得fxM，于是：

22122Mfxfxx

令1xn，

则2112Mfnn

因为211nfn收敛，所以11nfn绝对收敛.

例7 若f（x）在,ab上有二阶导数，0fafb

试证：,ab，使得24ffbfaba

（1）

证：应用泰勒公式，将2abf分别在a,b点展开，注意

0fafb，,,2abab，使得

21()()()()222abbaffaf

（2）

21()()()()222abbaffbf （3）

（3）-（2）得，()21()()()()()08nfbfaffba

故2412fbfafffba

例8 设f(x)在0,1上有二阶导数，01x时，1,2fxfx

试证：当01x时，3fx

证：211112ffxfxxfx

2102ffxfxxfx

泰勒公式推导过程

泰勒公式推导过程

- 1 - 泰勒公式推导过程

泰勒公式，也叫泰勒展开式，是18世纪英国数学家泰勒发现的，是用来求函数的特定点的某个值的一种多项式展开式。它的出现改变了众多数学问题的解题方式，同时也为微分和积分的理论研究奠定了基础。

泰勒公式的推导过程表明，求函数f（x）在特定点x=x0附近的值时，可以考虑函数f（x）的i阶导数在点x=x0的值。

先从一阶导数f（x）的展开式推导：

函数f（x）可以表示为f（x+h）和f（x）之间的差分：

f（x+h）-f（x）＝hf（x）＋1/2h2f（x）＋…＋1/i！hif^(i)（x）＋…

令h＝0，将上式的每一项化简，可以得到：

f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…

将上面的公式看作一个函数：

f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…

因此，泰勒公式可以由以上公式推导：

f（x）＝f（x0）＋1/2f（x0）（x-x0）2＋…＋1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i＋…＋R

其中，R表示残差，即：

R＝f（x）-f（x0）－1/2f（x0）（x-x0）2－…－1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i

由此可见，泰勒公式表示的是函数f（x）在x0点处，利用高阶 - 2 - 导数f（x）的展开式求得函数f（x）在x点处的值。

此外，由于每一项的系数均为函数f（x）在x0点处的某(i-1)阶导数，因此也称求函数f（x）在x点处的值为泰勒级数展开。

由于泰勒公式是利用i阶导数，因此可以认为泰勒公式是一个近似公式，而残差R是对近似值的补偿。

泰勒公式的应用也非常广泛，比如说，可以利用它来求函数的一阶导数、二阶导数等等，从而用来解决数值分析问题，求函数的极值，以及微分和积分的计算等。