当前位置：文档之家 › 泰勒公式例题

泰勒公式例题

  • 格式：docx
  • 大小：240.95 KB
  • 文档页数：26

泰勒公式及其应用

等价无穷小在求函数极限中的

应用及推广

泰勒公式及其应用

1引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项 式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大sin*

—分v2n+l

1-X 量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相 应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所 以，本文会以大量的例题进行讲解说明.

2 预备知识

定义2.1[1]若函数/在X。存在〃阶导数，则有

= /（兀）+ 晋（―兀）+ -（X - XJ + …

+斗％7。）+©7）”） （1）

n\

这里0 （（X-X。）"）为佩亚诺型余项，称⑴f在点X。的泰勒公式.

当兀二0 时，（1 ）式变成 f（x） = /（0） + / 丫）x + ' 丫）/ + …+ 一 x"+o（x"）,称此式为 （带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.

定义2.2[21若函数/在入某邻域内为存在直至” + 1阶的连续导数，则

f（x） = f（x0） + f '（xQ）（x-xQ） + 丄平（X- X。）' + ... + -一y（X- X。）" + 心（X）, 2! n\

f 5十1）（已

（2）这里尺,（x）为拉格朗日余项R代x）= — （A- + x0）w+1,其中点在x与兀。之间，称（2）

仪 + 1）!

为/在兀的泰勒公式.

当心二0 时，（2）式变成/•（Q = /（O） + /'（O）x+厶岁亍+...+ £21H + R“（X） 2! n\

称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.

常见函数的展开式：

X ’ X2 X"产 „+1

e =1 + x+ -------- ・・•+一H ------ x ・ 2! n\ （” + 1）!

V2 V4 工 6 ”

曲八亍矿h…+7而+。（宀

丫2 y3 ../i+l

吨+心-于丁…（少荷+。（严）.

------------------------------------------------------------------------------------- =1 + X + X" 4 ------------------------------------------------------------------------------------- 1- X，J + O（f ） ..cosx-e 2

lull ------ go 1

12

例3.2极限lim

L0 S111X sinx-xcosx （l + b=l +际 + 叫〃:T）宀….

定理2.1[3]（介值定理）设函数/在闭区间 ⑷切上连续，且f（a） f（b），若〃。为介于 /⑷与/（b）之间的任何实数，则至少存在一点兀G （a,b），使得

/（兀）="。・

3泰勒公式的应用

3.1利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类 似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.

a 厶 •- rfc? ■- COS X — €

例3.1 求极限lim --------- —

.VTO X

0 -2- 分析：此为Y型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将COSX和£ 2分别用泰勒展开 0

式代替，则可简化此比式.

由曲“丄+F+°（C十兰+立+如）得 2! 4! 2 2

亠 1 1 1 .

cosx-e 2 =( ----------- ；——)x3 4 + o(x4) = x4 + 0(X4), 4! 2—2! 12

于是

一挣+ O(F)

= lim --------- ------

TT0 X4

0 v

分析：此为6型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将COSX和sinx, R分别用泰勒 展开式代替，则可简化此比式.

2 3 3

解：由 e'-1_x-|smx= 1+”+++卡+0（兀'）一1一評一卡+°（兀））

3 4 3

=于+吉+°(兀')=¥-+°(£), 于是

e Inn- . LO 例3. 3利用泰勒.■ ^x-sinx lim———o --- 2。 x

sinx = x——x3 +o(x3) 6 ' '

,

..tgx-SLnx 3 2 sill x - X cos x 二 x -手 + o(x)- x(l -手 + o(x')) o z

专+ o（F）

3 X Y 3

一 1 一 x - 一 sin x — + O(Y ) i 2 _ 6

2

唸=英 + —X3 +。(兀3)

M： 3

^x-sinx = [x+-x3 + o(x3)]-[x--x3 +o(x3)] 3 6

1 Q 1 Q Q O =(X —JC)+( — X H X ) +(O(X ) — O(X )) 3 6

=》3+。（龙3）

更3

【注解】

现在，我们可以彻底地说淸楚下述解法的错误之处 因为tgx-x〜或口兀（兀—0）,从而

轡：一sin 龙 x-x r _ _ lim ——— ---- = lim —o— = limO = 0 20 X 20 X 20

. - fox - sinx = —x + o

当XTO时，^x-sinx¥= x-x = 0 应为& 2 3.2利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公 式代替，往往使证明方便简捷.

W 3. 2 当 xno 时，证明 sm.v>x--x3. 6

证明 /(x) = sinx-x + ix3, x0 = 0,则 6

/(0) = 0, / (0) = 0, y\0) = 0, f \x) = 1 - cos x,f \0)>0. 利用泰勒公式14_n 頁I 二 1 + * +孑^A + o(A), V x 2x 2! JT f 丄+。丄), f JT

”(右)-2} + o

(—),因此 | y/x +

l+y/x-=1 带入泰勒公式，其中〃二3,得 /（x） = 0 + 0 + 0+「叫其中 0 v&vl.

故

当 CO时,

3.3利用泰勒公式判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通 项简化成统一形式，以便利用判敛准则.

3.3利用泰勒公式判断广义积分的敛散性

例3判断广义积分山的收敛性。

解： yfx + 1 + y/x-1 - 2>/7 = >/7(

4xJ

由于F厶收敛，所以）7（5/7订+厅1-2低）^^的收敛

4x3

例3.3讨论级数£（击一Jin字）的敛散性.

分析：直接根据通项去判斷该级数是正向级数还是非正向级数比较困难，因而也就无法恰 当选择判敛方法，注意到= + 若将其泰勒展开为丄的幕的形式，开二次方后恰与

n n n ■2),

2x 2!

—)+1丄出

；r * 2x 2! 厶 相呼应，会使判敛容易进行. 解因为

所以

所以

故该级数是正向级数.

又因为

x 1

因为工一\收敛，所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

心2沪

3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

例 3・4 设 f(x)在［a,+«o)上二阶可导，且 >0,f'(a)<0,对 x w < 0, 证明:

/(x) = 0在(a,+oc)内存在唯一实根.

分析：这里f(x)是抽象函数，直接讨论f(x) = 0的根有困难，由题设f(x)在［6/,-KX))上二阶 可导且/@)>O,f(a)vO,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式，然后设法应用戒指定理证明.

证明 因为/ (x) <0,所以f (x)单调减少，又f (a) < 0,因此x>a时，f (x) < f (a) <0,故f (x) 在(67,4-00)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有

= f{a) + f\a)(x-a) + (x-a)2(a<<^< x)

由题设f (a) <0,于是有lim = -co,从而必存在b> a,使得/(/?)< 01又因为f(a) > 0,在

S，切上应用连续函数的介值定理，存在使/(x°) = 0,由f(x)的严格单调性知X。唯一， 因此方程/(x)=o在a+

3.5利用泰勒公式判断函数的极值 111 1 其中W = (-1)〃严

(〃+1)(1+§严 (§在0与x之1^«1= (0.2严

(“+1)(1+旷 <(0.2)z,+1 <0.0001(0 <<^<0.2) 例3.5[4](极值的第二充分条件)设/在兀的某邻域U(x°;5)内一阶可导，在x = x0处二 阶可导，且/

(xo) = O,厂(兀)工0.

(i) 若f(xo)<0,则/在兀取得极大值.

(ii)若广(兀)>0,则/在x°取得极小值.

证明 由条件，可得f在兀处的二阶泰勒公式

/(X)= /(兀)+ " (X - 兀)+ / (X - X。)' + o((x - X。)')•

由于y'(x0)= o,因此

f (.x)~ f (XQ) - [ " ； 0)+O(l)](x-Xo)~ • (*)

又因f'\xQ)^0 ,故存在正数S' <5,当xeU(xQ-6')时，-fXx0)与丄f'\x0) + o(l)同号.所以，当 2 2

广(X。)< 0时，(*)式取负值，从而对任意xeU(xQ93 )有

/W-/Uo)<0，

即/在几取得极大值.同样对广(x°)>0,可得/在兀取得极小值.

3.6利用泰勒公式求初等函数的幕级数展开式

利用基本初等函数的幕级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函

数的幕级数展开式.

例3.6求一 的幕级数展开式. 1+X+对

解利用泰勒公式

(1 - x)(l + X3 + X6 + X9 + • • •) = 1 - X+ X3 - X4 + X6 - X7 + X9 - X10 +

1 + X+JC 1-x3 0 222 2 2 2 2 2

2 总.2^(/7+ 1)

3.7利用泰勒公式进行近似计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用/(X)麦克劳林展开 得到函数的近似计算式为

/W -几0) + f (0)x+ 爭〒 + •••+ 冲* , 2! n\

其误差是余项Rn(x).

例3. 7 计算Ln1.2的值，使误差不超过0. 0001

解 先写出f(x)二Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式:

Y2 片 3 ”

Ln(l + X)= X-— + — +••• + (-1)1— + 2 3 n

令兀=0・2,要使

则取/? = 5即可・

合集下载

泰勒公式例题

泰勒公式例题

例11 设fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0lim0xfxx.证明级数11nfn绝对收敛.

证明：0lim0xfxx，又fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，于是

00,00ff.

将fx在点0x的邻域内展开成一阶泰勒公式：

2211002!2fxffxfxfx

其中在0和x之间.

又由题设，fx在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0M使得fxM，于是：

22122Mfxfxx

令1xn，

则2112Mfnn

因为211nfn收敛，所以11nfn绝对收敛.

例7 若f（x）在,ab上有二阶导数，0fafb

试证：,ab，使得24ffbfaba

（1）

证：应用泰勒公式，将2abf分别在a,b点展开，注意

0fafb，,,2abab，使得

21()()()()222abbaffaf

（2）

21()()()()222abbaffbf （3）

（3）-（2）得，()21()()()()()08nfbfaffba

故2412fbfafffba

例8 设f(x)在0,1上有二阶导数，01x时，1,2fxfx

试证：当01x时，3fx

证：211112ffxfxxfx

2102ffxfxxfx

泰勒公式及其应用典型例题共5页

泰勒公式及其应用典型例题共5页

第 1 页 泰勒公式及其应用

常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的 次多项式

近似?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数。 第 2 页 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是， 所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成

这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：

只要对函数 及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】

以与为端点的区间或记为 ， 。

函数 在上具有直至 阶的导数，

且

函数 在上有直至阶的非零导数，

且

于是，对函数 及 在上反复使用 次柯西中值定理， 有 第 3 页 三、几个概念

1、

此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式；

或者称之为函数在点 处的 阶泰勒展开式。

当 时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

有

此式可用作误差界的估计。

故

表明： 误差是当 时较 高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

泰勒公式推导过程

泰勒公式推导过程

- 1 - 泰勒公式推导过程

泰勒公式，也叫泰勒展开式，是18世纪英国数学家泰勒发现的，是用来求函数的特定点的某个值的一种多项式展开式。它的出现改变了众多数学问题的解题方式，同时也为微分和积分的理论研究奠定了基础。

泰勒公式的推导过程表明，求函数f（x）在特定点x=x0附近的值时，可以考虑函数f（x）的i阶导数在点x=x0的值。

先从一阶导数f（x）的展开式推导：

函数f（x）可以表示为f（x+h）和f（x）之间的差分：

f（x+h）-f（x）＝hf（x）＋1/2h2f（x）＋…＋1/i！hif^(i)（x）＋…

令h＝0，将上式的每一项化简，可以得到：

f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…

将上面的公式看作一个函数：

f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…

因此，泰勒公式可以由以上公式推导：

f（x）＝f（x0）＋1/2f（x0）（x-x0）2＋…＋1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i＋…＋R

其中，R表示残差，即：

R＝f（x）-f（x0）－1/2f（x0）（x-x0）2－…－1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i

由此可见，泰勒公式表示的是函数f（x）在x0点处，利用高阶 - 2 - 导数f（x）的展开式求得函数f（x）在x点处的值。

此外，由于每一项的系数均为函数f（x）在x0点处的某(i-1)阶导数，因此也称求函数f（x）在x点处的值为泰勒级数展开。

由于泰勒公式是利用i阶导数，因此可以认为泰勒公式是一个近似公式，而残差R是对近似值的补偿。

泰勒公式的应用也非常广泛，比如说，可以利用它来求函数的一阶导数、二阶导数等等，从而用来解决数值分析问题，求函数的极值，以及微分和积分的计算等。

泰勒公式求极限典型例题

泰勒公式求极限典型例题

- 1 - 泰勒公式求极限典型例题

若将函数f(x)随x的取值从某一个数a取到正无穷大时，函数f(x)取得的值p趋于某一个定值L，则称L为函数f(x)在x=a取极限，记作lim x→a f(x)=L，其中L称为极限值，a称为极限点，f(x)称为极限函数。

泰勒公式是求极限的一种常用方法，其公式有无限项式求和形式：

lim x→a f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (1/2)f(a)(x-a)2 +

(1/6)f(a)(x-a)3 + ... + (1/n!)(f^(n)(a)(x-a)n+ ...

其中f^(n)(a)是函数f(x)的n阶导数。

这里以典型例子来说明如何使用泰勒公式求极限：

例题1：求lim x→0 sinx/x的极限。

解：由泰勒公式可知：

lim x→0 sinx/x = f(0)+f(0)(x-0)+ (1/2)f(0)(x-0)2 + ...

经过求导可知：

f(0) = 0, f(0) = 1, f(0) = 0，所以

lim x→0 sinx/x = 1

例题2：求lim x→1 (x^3-1)/(x-1)的极限。

解：由泰勒公式可知：

lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = f(1)+f(1)(x-1)+ (1/2)f(1)(x-1)2

+ ...

经过求导可知：

f(1) = 0, f(1) = 3, f(1) = 6，所以 - 2 - lim x→1 (x^3-1)/(x-1) = 3

以上就是使用泰勒公式求极限的一般步骤，当函数f(x)的几阶导数可以计算出来时，就可以采用此方法来求极限了。

泰勒公式可以用来计算出大多数复杂函数的极限，对求极限有很大的帮助，它可以帮助我们分析复杂的函数关系，也可以帮助我们理解函数在某一点的取值情况，并由此分析函数在该点处的连续性等特征。