泰勒公式求极限典型例题

利用泰勒公式求极限

西北纺织学

院孙

法国

带有皮亚诺型余项的泰

勒公式󰀁

若󰀁

󰀁󰀂󰀁

在含有󰀁

。

的某个

开仪间󰀁

。

的

其有九

阶导数,

则当劣

属于󰀁󰀁

,

的

时,

,

‘󰀁

,󰀁

,󰀁󰀁

·

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一二。󰀁󰀁

命,·󰀁󰀁。󰀁󰀁󰀁一二

。󰀁󰀁󰀁

…󰀁

俞,󰀁

一󰀁

二。󰀁󰀂

󰀁一󰀁。

‘

󰀁󰀁󰀁󰀁

二

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特别地,

当󰀁󰀁

二󰀁

时,

󰀁,󰀁

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叹󰀁󰀁

󰀁

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一

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󰀁󰀁󰀁

义󰀁

‘毛工

下面举例说明

利用泰勒公式求极限

的方法

例

󰀁

分析求󰀁󰀁󰀂󰀁󰀂󰀁󰀁工󰀁󰀁一

󰀁󰀂󰀁󰀂

󰀁

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、󰀁󰀁一

一,󰀁󰀁󰀁

一󰀁、

󰀁

此刀一

丁

型小足式,

右直碳

应用歹必

塔法则求

欲限,

就

会发

现甘界

过径井不

哭

杂由于

分母是󰀁

的

四阶无穷小,

可考虑利用泰

勒公式将分子展

开由无

穷小的性

质,

分子

的展开式只

要保留到󰀁

的四

阶无穷小即

可

解󰀁󰀂󰀁劣󰀁󰀁

一

󰀁二󰀁万󰀁

戈

一命一命一。󰀁󰀁󰀁

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󰀁

一

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󰀁󰀁一

石几一

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石󰀁

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󰀁󰀂 劣二󰀁〔󰀁󰀁一命󰀁

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二

咨󰀁

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󰀁

󰀁

一

招护、

恤勺

一

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子

吟󰀁󰀁󰀁󰀂󰀂 󰀁󰀁一

󰀁󰀁󰀂󰀁

劣‘

从例󰀁

可以

看出,

利

用泰

勒展开式代替某些函

数,

可以

在求极限以前

化简

表

达式,

然后

通过

比较无穷

,󰀁’的阶求极限

需要

强调

的是,

展开式

的项数的确

1 泰勒公式其应用

一、一阶泰勒公式

１.带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理1（泰勒） 若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n＋1阶导函数,则对任意给定的),(,0baxx,至少存在一点使得：

()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!nnnnfxfxffxfxxxxxxxnn

在0,xx之间。

2.带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,则对任意给定的),(,0baxx

()000000()()()()()()0(())1!!nnnfxfxfxfxxxxxxxn （1）

称为泰勒公式的余项.

3、 函数的Maclaurin公式

210()2!!nxnxxexxn

352112sin(1)0()3!5!(21)!mmmxxxxxxm

24221cos1(1)0()2!4!(2)!mmmxxxxxm

231ln(1)(1)0()23nnnxxxxxxn

2(1)(1)(1)(1)10()2!!nnxxxxn

2110()1nnxxxxx

二、应用

1.把函数)(xf展开成n阶Maclaurin公式

例１： 把函数22sin)(xxxf展开成含16x项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .

【解】 ) (!7!5!3sin7753xxxxxx, 2 ) (!7!5!3sin141410622xxxxxx.

) (!7!5!3sin1616128422xxxxxxx

例２： 把函数xxf2cos)(展开成含6x项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .

例11 设fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，且0lim0xfxx.证明级数11nfn绝对收敛.

证明：0lim0xfxx，又fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数，于是

00,00ff.

将fx在点0x的邻域内展开成一阶泰勒公式：

2211002!2fxffxfxfx

其中在0和x之间.

又由题设，fx在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0M使得fxM，于是：

22122Mfxfxx

令1xn，

则2112Mfnn

因为211nfn收敛，所以11nfn绝对收敛.

例7 若f（x）在,ab上有二阶导数，0fafb

试证：,ab，使得24ffbfaba

（1）

证：应用泰勒公式，将2abf分别在a,b点展开，注意

0fafb，,,2abab，使得

21()()()()222abbaffaf

（2）

21()()()()222abbaffbf （3）

（3）-（2）得，()21()()()()()08nfbfaffba

故2412fbfafffba

例8 设f(x)在0,1上有二阶导数，01x时，1,2fxfx

试证：当01x时，3fx

证：211112ffxfxxfx

2102ffxfxxfx

泰勒公式用于一些函数极限问题

约定分别用𝑓

𝑘和𝑔

𝑘来记𝑓(𝑘)(0)和𝑔(𝑘)(0),𝑘=0,1,2,···.

命题1设𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)都在0点处4次可导，𝑓

0=𝑔

0=0,𝑓

1=𝑔

1=1,则

lim

𝑥→0𝑓(𝑔(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑥))

𝑥4=1

8(︀

𝑓

2𝑔2

2−𝑓2

2𝑔

2)︀

+1

12(𝑓

3𝑔

2−𝑓

2𝑔

3).

例1在命题1中，取𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥),𝑔(𝑥)=−ln(1−𝑥),可得

lim

𝑥→0ln[1−ln(1−𝑥)]+ln[1−ln(1+𝑥)]

𝑥4=1

12.

例2在命题1中，取𝑓(𝑥)=1−e−𝑥,𝑔(𝑥)=e𝑥−1,可得

lim

𝑥→02−e1−e𝑥−e1−e−𝑥

𝑥4=−1

12.

命题2设𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)都在0点的某邻域中5次可导，𝑓

0=𝑔

0=0,𝑓

1=𝑔

1=1,则

lim

𝑥→0𝑓(𝑔(𝑥))+𝑓−1(𝑔(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓−1(𝑥))

𝑥5=3

8(︀

𝑓2

2𝑔2

2−𝑓3

2𝑔

2)︀

+1

4(︀

𝑓

2𝑓

3𝑔

2−𝑓2

2𝑔

3)︀

.

例3在命题2中，取𝑓(𝑥)=e𝑥−1,𝑔(𝑥)=−ln(1−𝑥),可得

lim

𝑥→0𝑥

1−𝑥+ln(2−e𝑥)+ln[1−ln(1−𝑥)]+ln[1−ln(1+𝑥)]

𝑥5=−1

4.

命题3设𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)都在0点的某邻域中5次可导，𝑓

0=𝑔

0=0,𝑓

1=𝑔

1=1,则

lim

𝑥→0𝑓(𝑔(𝑥))+𝑔−1(𝑓−1(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑥))−𝑓−1(𝑔−1(𝑥))

𝑥5

=3

8(︀

𝑓

2𝑔3

2−𝑓3

2𝑔

2)︀

+1

4(︀

𝑓

2𝑓

3𝑔

2+𝑓

3𝑔2

2−𝑓

2𝑔

2𝑔

3−𝑓2

2𝑔

3)︀

.

例4在命题3中，取𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥),𝑔(𝑥)=−ln(1−𝑥),可得