动量守恒定律-子弹打木块--弹簧-板块-三模型

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一、 子弹大木块

【例2】如图所示，质量为M的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为m的子弹以初速度v0水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为d，木块给子弹的平均阻力恒为f.若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？

【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即

mv0＝(m＋M)v

对系统应用动能定理得

fd＝12mv20－12(M＋m)v2 由上面两式消去v可得

fd＝12mv20－12(m＋M)(mv0m＋M)2

整理得12mv20＝m＋MMfd

即12mv20＝(1＋mM)fd

据上式可知，E0＝12mv20就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f和木块的厚度d(或者说与f·d)有关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能E0必须大于(1＋mM)f·d.

72、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。—颗质量为的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题

分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得：①

要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：② word格式-可编辑-感谢下载支持

根据功能关系得：③

解以上三式得：

二、 板块

1、 如图1所示，一个长为L、质量为M的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块（可视为质点），以水平初速度0v从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q。

图1

解析：可先根据动量守恒定律求出m和M的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q。

对物块，滑动摩擦力fF做负功，由动能定理得：

2022121)(mvmvsdFtf

即fF对物块做负功，使物块动能减少。

对木块，滑动摩擦力fF对木块做正功，由动能定理得221MvsFf，即fF对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：

1)(2121212220dFsFsdFMvmvmvffft

本题中mgFf，物块与木块相对静止时，vvt，则上式可简化为：

2)(2121220tvMmmvmgd

又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则： word格式-可编辑-感谢下载支持

3)(0tvMmmv

联立式<2>、<3>得：

)(220mMgMvd

故系统机械能转化为内能的量为：

)(2)(22020mMMmvmMgMvmgdFQf

【例10】如图所示，—质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参照系给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板．以地面为参照系， (1)若已知A和B的初速度大小为 ，求它们最后的速度的大小和方向．

(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．

【分析与解】(1)A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度.设此速度为V，根据m＜M，可知 ，判断出V的方向应与B板初速度同向，即向右．A和B的初速度的大小为 ，则由动量守恒可得：

解得： 方向向右

(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法，在此基础上形成正确的物理图景．注意以下说理分析：A在B板的右端时初速度向左，而到达B板左端时的末速度向右，若以地面为参考，可见A在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动，直到相对地面速度为零的阶段，而后经历因B板速度方向向右，A相对B板向左，故A所摩擦力方向向右，A向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为 的阶段，如下图所示．在前一阶段，摩擦力阻碍A向左运动，在后一阶段，摩擦力为动力，使A向右加速．设

为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的过程， 为A从速度为零增加到速度 过程中向右运动的路程，L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程．设A与B之间的滑动摩擦力为 ，则由功能关系可知： word格式-可编辑-感谢下载支持

对于B:

对于A:

由几何关系

由以上四式解得

三、 弹簧

11．(8分)如图2所示，质量M＝4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L＝0.5 m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑．小木块A以速度v0＝10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知木块A的质量m＝1 kg，g取10 m/s2.求：

(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度 ； 2 m/s

(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能． 39 J

★ 4、（09·山东·38）（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A、B、C，质量分别为mB=mc=2m,mA=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。 0v word格式-可编辑-感谢下载支持

解析：（2）设共同速度为v，球A和B分开后，B的速度为Bv,由动量守恒定律有0()ABABBmmvmvmv,()BBBCmvmmv,联立这两式得B和C碰撞前B的速度为095Bvv。

例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。

图1

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得10)(vmmmv当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得2132mvmv，由以上两式求得A的速度0231vv。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有PEmvmv2221321221撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有23)2(21vmEP

以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得4332mvmv

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP'，由能量守恒，有'3212212423PEmvmv解以上各式得20361'mvEP。

例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以smv/6的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

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图3

（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？

（2）弹性势能的最大值是多大？

（3）A的速度有可能向左吗？为什么？

解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有

ACBABAv)mmm(v)mm(

解得：smvA/3

（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为'v，则

smvvmmvmCBB/2'')(，

设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒

JvmmmvmvmmEACBAACBP12)(2121')(21222

（3）由系统动量守恒得

BCBAABAvmmvmvmvm)(

设A的速度方向向左，0Av，则smvB/4

则作用后A、B、C动能之和

JvmmvmEBCBAAk48)(212122

实际上系统的机械能

JvmmmEEACBAP48)(21'2

根据能量守恒定律，'EEk是不可能的。故A不可能向左运动。

四、 曲面与摆球

(1)(a)图中B是半径为R的14圆弧轨道，A、B最初均处于静止状态，现让A自由下滑，求A滑离B时A和B的速度大小之比.

(2)(b)图中B也是半径为R的14圆弧轨道，初态时B静止不动，滑块A以速度v0沿轨道上滑，若滑块已滑出轨道B，求滑出时B的速度大小.

(3)(c)图中B为一半径为R的半圆形轨道，开始时B静止不动，滑块A以一初速度v0使其沿轨道下