过抛物线的焦点的直线结论

证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。

例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

抛物线过焦点的直线的结论
抛物线过其焦点的直线有一些特殊的性质。

首先，我们知道焦点是抛物线的一个重要特征点，它位于抛物线的对称轴上，并且具有一定的几何意义。

当一条直线通过抛物线的焦点时，我们可以推导出以下结论:
1. 直线与抛物线相交于两个点，这两个点在直线上对称于焦点。

这是因为抛物线的对称性质保证了直线与抛物线的交点在直线上对称。

2. 这两个交点到焦点的距离相等。

这是由于直线与抛物线的交点在直线上对称于焦点，根据对称性质可以得出。

3. 直线与抛物线的切线重合于焦点。

这是因为切线是经过抛物线上一点且与抛物线相切的直线，而通过焦点的直线也必然通过抛物线上的点，并且与抛物线相交于该点。

这些结论可以用来解决一些几何问题。

例如，可以利用这些性质确定抛物线与直线的交点位置，或者利用切线重合于焦点的性质来证明某些几何问题。

总之，抛物线过焦点的直线具有一些特殊的性质，通过利用这些性质，我们可以得出一些有关抛物线与直线交点及切线的重要结论。

抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.结论1.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-.即12,,2p x x 成等比数列.证明：焦点坐标为F(2p,0).设直线AB 的方程为：2p x my =+2222202y px y pmy p p x my ⎫=⎪⇒--=⎬=+⎪⎭2222121212122()224y y y y y y p x x p p p ⇒=-⇒=⋅= 2222()44p p p -== 推广：结论2.若AB 是过定点(,0)(0)P t t ≠的抛物线2(0)y ax a =≠的弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：212x x t =，12y y at =-.即12,,x t x 成等比数列.（注：点P 不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线AB 的方程为：x my t =+22y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭222221212121222()()y y y y at y y at x x t a a a a-⇒=-⇒=⋅=== 特别地，当t a =时，212y y a =-，212.x x a =故12120x x y y OA OB +=⇒⊥. 可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线2y ax =外一点(,0)t （(0)at <作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：x my t =+，220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭(*) ∵直线与抛物线相切.∴△=2222()41()040(4)0am at a m at a am t --⨯-=⇒+=⇒+= ∵ a ≠ 0 ∴am 2+4t =024am t ⇒=-.由（*）知：切点的纵坐标为2am . 代入x my t =+，得切点横坐标为2422am tt t t -+=+=-. 结论6.过抛物线2(0)y ax a =≠上一点P 00(,)x y 的切线的方程是：00()2ay y x x =+. 设过点P 00(,)x y 的切线的方程为：00()x x m y y -=-,则00x my x my =+-把00x my x my =+-代入2y ax =并整理，得200()0y amy a x my ---=由直线与抛物线相切知：22200004()0()2(2)40a m a x my am am y ax ∆=+-=⇒-+=由于点00(,)P x y 在抛物线上，故200y ax =，于是2220002()2()(2)(2)0(2)0y am am y y am y m a-+=⇒-=⇒=切线方程为：220000000002()()222y a a a x x y y y y y x x y y x x y a -=-⇒-=-⇒=-+ 00000()222a a ay y x x ax y y x x =++⇒=+. 结论7.过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 证明：设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y . 过111(,)T x y 的切线1PT 的方程为：11()2ay y x x =+由于点00(,)P x y 在切线1PT 上，故1001()2a y y x x =+，即：0110()2ay y x x =+ ∴点111(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+上.同理可证：点222(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+ ∴过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为2(0)y ax a =≠的情形加以证明.证明：过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：0000()22a y y x x ax y y ax =+⇒=-，代入2y ax =并整理，得20020y y y ax -+= 设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .12120022y y y y y y ++=⇒=. ∴切点弦120TT y 的中点的纵坐标为，与点P 的纵坐标示相同，故切点12T T 的中点和点P 的直线平于对称轴x 轴或与x 轴重合.把当0y =代入00()2ay y x x =+解得：0x x =-.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线2(0)y ax a =≠内部一点00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的方程是：200022a a y y x y x -=-. 结论9.抛物线的顶点为O,焦点为 F,焦准距为p ,抛物线上任一点为P,设∠OFP=θ, 证明：|0||||cos(180)EF PF θ=+-||cos p PF θ=-(1cos )||PF p θ⇒+=||1cos pPF θ⇒=+由前面结论知：0||1cos(180)1cos p pJF θθ==+-- 故||||||1cos 1cos p p PJ PF JF θθ=+=++-＝22221cos sin p pθθ==- 当090θ=时，2sin θ的最大值为1，22sin p θ有最小值22.1pp =焦点弦PJ 最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线2(0)y ax a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝22||||1tan 1a a kθ=++. 抛物线2(0)x ay a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝2||(1tan )a θ+＝2||(1)a k + 结论10.通径是最短的焦点弦.结论11 焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线22(0)y px p =>（p 是焦准距）的焦点的两端点为1122(,)(,)A x y B x y 和，则1||2p FA x =+，2||2pFB x =+， 12||AB p x x =++ 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 .解：12=29sin α（其中α为直线AB 的倾斜角），则sin 2α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π. 结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）以焦点弦在准线上的射影为直径的圆和焦点弦相切. （3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切.证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP.由抛物线定义：AM AF =，，∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ，∴∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12MP NP FP MN === ∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切. 第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍. 下面对特殊情形加以证明：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =.则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 练习：1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+= 【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =>，从而12p a=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对BN BF =BAMNQP yxO FO A MNP yxF B称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而12p q a==，故114a p q +=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】 备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求的方程． 例2已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．抛物线焦点弦性质1.1224p x x ⋅=，122y y p ⋅=-;2. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+= 3. '90AC B ∠=o ，''90A FB ∠=o4. 以AB 为直径的圆与准线l 相切，以AF 和BF 为直径的圆都与y 轴相切；5.112AF BF p+=; 6. A 、O 、'B 三点共线；B 、O 、'A 三点共线；7. 22sin AOB P S α=V ，23()2AOB S PAB =V （定值）；(8. 1cos P AF α=-，1cos P BF α=+，22||1cos p AB α==-9. 'BC 垂直平分'B F ，'AC 垂直平分'A F ；10.'C F AB ⊥；12.11'('')22CC AB AA BB ==+；13.AB 3=p k y ；14.1OA k 15.412111y y y =+；16.1212tan =22y y p p x x α=--;17A'B'4AF BF =⋅;18.1C'F A'B'2=.椭双抛遇到焦半径可转成点准距。

抛物线过焦点的弦的八个结论关于抛物线过焦点的弦，基本上我们可以得出八个结论。

首先，任何抛物线都可以用焦点和直线来描述，而这些直线就是抛物线的弦。

这些弦是由焦点和抛物线的两个端点组成的，它们可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

其次，这些弦经常穿过抛物线上的焦点。

它们是从抛物线的端点到焦点的一条直线，这条直线是抛物线的一部分。

这通常被称为“焦点弦”，它可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当它穿过焦点时。

第三，这些弦有时也会穿过抛物线上的端点。

这可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当抛物线的两个端点在同一条直线上时。

第四，这些弦可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。

例如，如果抛物线的弦是从左到右的，那么它的焦点就会位于右侧，这意味着抛物线会向右延伸。

第五，抛物线的弦可以用来求出抛物线的长度。

这是因为弦的长度就是两个端点之间的距离，而抛物线的长度就是两个端点之间的距离。

第六，抛物线的弦可以帮助我们求出抛物线的面积。

这是因为抛物线的面积是由两个端点之间的弦组成的，而弦的面积就是这些端点之间的距离。

第七，抛物线的弦可以用来求出抛物线的切线。

这是因为弦的切线也是由两个端点之间的距离组成的，而抛物线的切线也是由两个端点之间的距离组成的。

最后，抛物线的弦还可以用来计算抛物线的曲率。

这是因为抛物线的曲率是由两个端点之间的弦组成的，而弦的曲率也是由两个端点之间的距离组成的。

总的来说，焦点弦对于理解抛物线的形状和方向至关重要，它们还可以帮助我们求出抛物线的长度、面积、切线和曲率。

因此，了解抛物线的弦可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，从而帮助我们更好地求解抛物线的问题。

当直线过抛物线焦点时的两个结论
作者：董超
来源：《新课程学习·下》2014年第11期
一、结论展示及证明
证明完毕.
说明：若抛物线方程为y2=-2px（p>0），则可得如下结论：
2.结论二：如图2所示，
设抛物线为y2=2px（p>0），焦点为F，直线l过点F，交抛物线于A，B两点，交y轴于点M，若
把①代入②得λ+μ=1，
故λ+μ为定值，且该定值为1.证明完毕.
说明：若抛物线方程为y2=-2px（p>0），则上述结论照样成立.
二、结论联想
1.在椭圆中
（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2（k2c2-b2）=0
由条件知x1，x2是这个方程的两个实根.
①若k>0，则x1>x2，可得：
②若k
证明完毕.
说明：当点F为椭圆的左焦点时，结论如下：
证明：根据条件知，F的坐标为（c，0），且直线l必有斜率.
设直线l的斜率为k，则直线l方程为y=k（x-c），把其代入椭圆方程得（a2k2+b2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0
设A，B两点坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则由上述方程可得：
证明完毕.
说明：若点F为椭圆的左焦点，结论也成立.
2.在双曲线中
作者简介：董超，男，出生于1974年9月，本科，就职于陕西省乾县杨汉中学，研究方向：高中数学基本问题的求解方法。

编辑赵飞飞。

相关抛物线焦点弦问题的商讨过抛物线y 2 2 px (p>0)的焦点F作一条直线L 和此抛物线订交于 A (x1, y1)、 B( x2, y2)两点结论 1：AB x1 x2 p结论 2：若直线 L 的倾斜角为，则弦长 AB2 p sin 2证 : (1) 若2 时 , 直线 L 的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径 , AB 2 p 结论得证p p(2) 若时 , 设直线 L 的方程为：y ( x ) tan 即 x y cot2 代入抛物线方程得2 2y2 2 py cot p 2 0 由韦达定理 y1 y2 p 2 , y1 y2 2 p cot由弦长公式得AB 1 cot 2 y1 y2 2 p(1 cot 2 ) 2 p结论 3：过焦点的弦中通径长最小sin 2sin 2 1 2 p 2 p AB 的最小值为2p ,即过焦点的弦长中通径长最短.sin 2结论 4：S2 oAB p 3 (为定值 )AB 8结论 5： (1) y1 y p 2p 22 (2) x 1 x2 =4证x1 y12 y22 ( y1 y2 ) 2 P 2 , x 2 , x1 x24P 2 4 2p 2 p结论 6：以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设 M为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线AA1，过 B 点作准线的垂线BB1，过 M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1 AA1 BB1 AF BF AB故结论得证2 2 2结论 7：连结 A1 F、 B1 F 则 A 1F B1F同理B1 FO B1 FB A1 FB1 90 A1F B1 F结论 8：（ 1） AM1 BM1 （ 2） M1F AB （ 3）M1F2 AF BF（ 4）设 AM1 与 A1F 订交于 H ， M1B 与 FB1订交于 Q 则 M1， Q， F ， H 四点共圆（5） AM1 2 2 2M 1 B4 M 1M证：由结论（6）知 M 在以 AB为直径的圆上AM1 BM1 1A1FB1为直角三角形，M1 是斜边 A B1的中点1MF AB12AF BF AM 1 B 90 又 A 1F B1F M 1 F AM1 BM1A 1 FB 1 90因此 M ， Q ， F,H 四点共圆，AM 1 2M 1 B 22AB1结论 9： （ 1） A 、三点共线 （ 2） B ，O ， A 1 三点共线O 、 B 1（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1 ，则 BB 1 平行于 X 轴 （ 4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A ，则 AA 平行于 X 轴11证：由于k oAy 1 y 12 p, k oB 1y 2 2 y 2 ，而y 1 y 2 p 2x 1 y 12y 1 p p2 p2因此 k oA2 p 2y 2 k oB 因此三点共线。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第52讲 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16， 当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2(2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)， 直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2 答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4(2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由1|BF|＋1|AF|＝2p，得1t＋12t＝2p⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p，又|AB|＝2p sin2α，∴2psin2α＝94p⇒sin α＝223，又S△AOB＝23|AB|，∴p22sin α＝23|AB|，即p2423＝23·94p⇒p＝2，∴|AB|＝9 2.(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是()A．线段AB长度的最小值为2B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立． 例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32D.52 答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)，∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ，则|BB ′|＝t ，又B 为AC 的中点，∴|AA ′|＝|AF |＝2t ，∴|BC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，又△CBB ′∽△CFE ，∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ＝9. 3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ，∴直线过定点(2p ，0)设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0， Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2，S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2| ＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．32 3答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ， |BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ， 又|AF |＝3|BF |，∴31－cos θ＝3·31＋cos θ， 解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3， ∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A ＝12，所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2，∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥AB D.|F A ||FB |＝25答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1， 即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)，由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，|PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。

圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。

下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。

（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

抛物线过焦点的直线的韦达定理抛物线是一种经典的数学曲线，它具有独特的形状和特性。

而抛物线过焦点的直线，也是一种令人着迷的现象。

当我们以人类的视角来观察和思考这个问题时，韦达定理便会展现出它的魅力。

韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了抛物线上的任意一点到抛物线的焦点的距离等于该点到抛物线的准线的距离的平方。

这个定理的证明依赖于一些复杂的数学推理和计算，但是在我们的叙述中，我们将尽可能用生动的语言和形象的描述来解释它。

让我们以一个具体的例子来说明韦达定理。

假设我们有一个抛物线，焦点为F，准线为l。

现在，我们随意选择抛物线上的一点P，并且连接点P和焦点F，得到直线PF。

根据韦达定理，点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离的平方。

在我们的想象中，我们可以将抛物线想象成一个曲线的轨迹，而焦点F则是这条曲线的中心。

当我们选择不同的点P时，直线PF的形状也会发生变化。

有时直线PF是向上弯曲的，有时则是向下弯曲的。

这种变化使得我们对抛物线的性质有了更深入的了解。

通过韦达定理，我们可以得出一些有趣的结论。

首先，如果我们选择抛物线上的顶点作为点P，那么直线PF将与抛物线的轴对称。

其次，如果我们选择抛物线上的焦点作为点P，那么直线PF将与抛物线平行。

此外，通过选择其他点P，我们还可以得出更多关于抛物线的性质和特点。

韦达定理的实际应用非常广泛。

在物理学和工程学中，抛物线过焦点的直线常常用于描述物体的运动轨迹和光的传播路径。

在建筑设计和艺术创作中，抛物线的美学特性也被广泛运用。

通过深入理解和应用韦达定理，我们可以更好地理解和利用抛物线的特性。

韦达定理是描述抛物线过焦点的直线的一个重要定理。

它以简洁而又优雅的方式揭示了抛物线的特性和性质。

通过以人类的视角来观察和思考这个问题，我们可以更好地理解和欣赏抛物线的美丽。

无论是在数学领域还是其他领域，韦达定理都具有重要的应用价值，它不仅能够增强我们对抛物线的认识，还能够启发我们对其他数学问题的探索和发现。