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小学数学《数字谜与数阵图》练习题（含答案）数字谜这类题目往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜.横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜来解答.解题技巧：（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位、重复数字以及位数的差异. （二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算.（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性.（四）注意结合进位及退位来考虑.（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法.【例1】右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?【分析】显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十位加法(含个位加法进位)等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：7，5；7，4；6，5．再考虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、“奥”等于7，5，“国”、“京”、“运”等于1，3，4．“国”取l，3，4中最大的4，得到“中国”最大是84．【例2】下图的等式中，不同的汉字表示不同的数字，如果“巧+解+数+字+谜=30”，那么，“数字谜”所代表的三位数是_______.【分析】谜字只能取0或5．如果谜=0，字也要取0，不合题目要求，所以谜=5．3个字加上2是10的倍数，所以字=6． 2个数加上2是10的倍数.所以数=4或9，如果数=4，那么解+1=10，所以解=9．但这时巧=30-9-4—6—5=6与字相同，不合题意.因此数=9，解+2=10，所以解=8，巧=30-8-9-6-5=2，所以“数字谜”所代表的三位数是965.【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？【分析】根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例3】在图所示的乘法算式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，这个乘法算式的最后乘积是多少?【分析】问题中出现的都是末位数.而且都是奇数，故应先从末位数开始考虑．第三行的末位为1，共有三种可能的组合：1×1，3×7，9×9．由于第二行数的每一位与第一行相乘后都得到五位数，故第二行的各位数字不会为1．故1×1、9×9均不满足条件．第一行和第二行末位数为3、7或者7、3．分两种情况来讨论：若第一行末位为3，第二行末位为7，由末位的9推知第二行的数应为3337，由第三行的十位应为0知第一行的十位为4．从而得到第四、五、六行的十位皆为2，进而有第三行的百位应该是8，于是推出第一行的百位为5．这样便立刻得到第四、五、六行的百位为6，从而由第三行的4位为1得到第一行的千位为4．于是有4543×3337=15159991，满足条件．若第一行末位为7，第二行末位为3，同样的方法立刻有第二行数应为7773．依次推得第一行的十位、百位、千位分别为6、4、0，不符合题目要求．于是本题答案为15159991．评注：本题采用了枚举的方法，对可能的有限种情况分别讨论，从而求解出问题．在数字谜的求解中常常用到这种方法．【例4】内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：【分析】由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262.数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例5】请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？【分析】关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a＋（1+2+3+4+5+6+7）=3k，2a＋28=3k，由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.答案如下：（1）当a=1，时2+7=5+4=3+6，得到第一种答案。
解答数字谜问题，要运用四则运算法则，还要用到和、差、积、商的位数及数字运算的一些特征，另外还须注意下面几点：1．选择数字谜的突破口是至关重要的，一般从确定和、差、积、商的个位或首位上的数字入手；2．算式中文字或字母的值只能取0～9中的某个数字；3．试验法是解数字谜问题的重要方法；4．寻求答案时要考虑数的奇偶性、对称性及最大值、最小值等情况；解答数字谜问题，要运用四则运算法则，还要用到和、差、积、商的位数及数字运算的一些特征，另外还须注意下面几点：5．要善于抓住算式中的隐含条件，从一个数的低位或高位数字入手分析；6．填数过程中经常需要进行试验，通过枚举、筛选、淘汰，找出答案。
下式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字。
这些汉字各表示什么数字？在下面的算式里，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，问：每个汉字各代表什么数字？(2003年3月30日第一届“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第20题)下边是一个六位数乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是_____。
例2拓展例1数字谜题---乘除数字迷下面每个字代表一个不同的数字，其中“优”代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？把下面的算式补充完整：在右边的乘法算式中，字母A、B和C分别代表一个不同的数字。
求A、B和C分别代表什么数字？在□中填上适当数字，使算式成立。
例6例5例4例3拓展在下列各式的□中填入合适的数字：在下边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
在□中填上适当的数字，使算式成立。
测试题1．下式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．汉字“祖”表示的数字是( )。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4例8例72．在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，字母“B ”表示的数字是( )。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．在下面的□中，填入适当的数字，使算式成立的积是( )。
3年级数字谜2（数阵图初步）数学游戏将1至6分别填入右图中的圆圈内, 使得图中三角形每条边上三个数的和都等于10. 现在已经填好了其中三个, 请你在图中填出剩下的数.例题例1、将1至9分别填入右图中的圆圈内, 可以使得图中所有三角形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个, 请你在图中填出剩下的数.例2、在右图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数. 使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数, 那么每条边上各数之和应该是多少? 并将其补充完整.例3、小悦是8月11日15点整出生的, 她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的七个方框里, 每个数只填一次, 使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15. 问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少?例4、把1至8分别填入右图的八个圆圈内, 使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.课堂练习练习1、如图,在正方形的空格里填上适当的数,使每一横行,竖行,斜行的三个数相加的和都是18.练习2、在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数, 使得图中六条直线上的三个数之和相等. 现在已经填入五个数, 请将其补充完整.练习3、把2、3、4、5、6、8、9、15、17、32这十个数填入下图的圆圈中, 使得除第一行之外的每个圆圈中的数都等于它上面的两个数之和.练习4、把1至7这七个数分别填入右图中各圆圈内, 使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等. 如果中心圆内填的数相等, 那么就视为同一种填法. 请写出所有可能的填法.数学思想、方法小结1. 俗话说：“射人先射马，擒贼先擒王”. 在很多数阵图中,都有一些位置是关键的位置,有一些数是关键的数, 分析这些关键的位置和关键的数往往是解决问题的突破口.2. 数量的性质：两个等量加上同一个量，和相等；两个等量减去同一个量，差相等.口诀：等量加等量，和________；等量减等量，差________.课后练习 得分__________________1、在右图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数, 使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.2、在右图中的四个圆圈内填入合适的自然数, 使得正方形每条边上的三个数之和都等于14.3、如右图所示, 请在三个空白圆圈内填入三个数, 使得每条直线上三个数之和都相等.4、把1~12这十二个数分别填入六角星图案的十二个圆圈中, 使得每条线段上的四个数之和相等. 现在如图已经填好了八个数, 请把数阵图补全.5、将1～7这七个自然数, 分别填在图中的圆圈内, 使得每条直线上的三个数的和都相等.【思考题】把1~8这八个数填入下面“十一”图形的八个空格内, 使得每一条直线上的三个数之和都相等.个性化补充练习。
【导语】解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、⾯、图、表将奥数问题直观形象的展⽰出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
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1.⼩学三年级奥数⽅阵问题公式 （1）⽅阵每边⼈数与四周⼈数的关系： 四周⼈数＝（每边⼈数－1）×4 每边⼈数＝四周⼈数÷4＋1 （2）⽅阵总⼈数的求法： 实⼼⽅阵：总⼈数＝每边⼈数×每边⼈数 空⼼⽅阵：总⼈数＝（外边⼈数）－（内边⼈数） 内边⼈数＝外边⼈数－层数×2 （3）若将空⼼⽅阵分成四个相等的矩形计算，则： 总⼈数＝（每边⼈数－层数）×层数×4 2.⼩学三年级奥数⽅阵问题练习题 1、在⼀块正⽅形地四周种树，每边都种了15棵，并且四个顶点都种有⼀棵树。
问这个场地四周共种树多少棵？ 2、某校五年级学⽣排成⼀个实⼼⽅阵，最外⼀层的⼈数为60⼈，问⽅阵外层每边有多少⼈？这个⽅阵共有学⽣多少⼈？ 3、⼩明⽤围棋⼦摆⼀个实⼼⽅阵，这个⽅阵最外⼀层的横、竖各⼀列的棋⼦之和为21枚。
他摆这个⽅阵共⽤了多少枚棋⼦？ 4、⼩军⽤棋⼦排成⼀个四层空⼼⽅阵。
最外层每边有棋⼦12枚，⼩军摆这个⽅阵共⽤了多少枚棋⼦？ 5、国庆前⼣在街中⼼⼀塑像的周围，⽤204盆鲜花围成了⼀个每边三层的⽅阵。
最外层每边有鲜花多少盆？ 6、⼀个内外有四层⽽中间空的⽅阵队列，最⾥⾯⼀层队列有24⼈。
那么这个队列共有多少⼈？ 7、有⼀队学⽣，排成⼀个中空⽅阵，最外层⼈数共48⼈，最内层⼈数共24⼈，这队学⽣共有多少⼈？ 8、⽤棋⼦摆成⽅阵，恰好每边是16枚的实⼼⽅阵，若改为4层的空⼼⽅阵，它的最外层每边应放多少枚？ 9、有风景树若⼲棵，若排成三层的中空⽅阵，尚余9棵，在中空部分增列⼀层，则缺7棵。
这种树有多少棵？ 10、有若⼲⼈，排成⼀个空⼼的四层⽅阵。
数阵图【名师解析】填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。
另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。
关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。
【例题精讲】例1：在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？练习：在下图中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。
和是多少呢？例2：把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
练习：数字1——6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。
例3：在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。
练习：把1——8填入下图中，使每边3个数的和等于13。
例4：把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。
求最大的和是多少？练习：把3——10填入下图○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？例5：在下图各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。
练习：图中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。
例6：在下图所示的圈内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
642537练习：在下图所示的圈内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是21．若A、B、C的和为30，则三个顶点上的三个数的和是________。
选讲：将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
【综合精练】1.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条直线上三个数的和相等。
2.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在下图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。
3.把5、6、7、8、9、10这六个数填入下图三角形三条边的○内，使得每条边上的三个数的和是21。
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：（一）封闭型数阵问题【例1】 （★★）小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？专题精讲 ？哪吒布阵，他要用360名士兵守卫一座城池（见下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中的数表示兵力分布），要求四个角的兵力相同.现在的兵力分布恰好每边有100名士兵，如果哪吒想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？ 1080801080108010【例2】 （★★★）请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．【例3】 （★★★）如果将1～11这11个自然数填入下图的圆圈内，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么A 等于多少?（二）辐射型数阵【例4】 （★★）把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.【例5】 （★★★）将1～6这六个数字分别填入左下图的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等.【例6】 （★★★）小鸟欢欢和乐乐有1至6六个数字，它们想把1至6分别填入图的各方格中，横行三个数字欢欢填，竖行四个数字乐乐填，并且使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等，你能做到吗？【例7】 （★★★）将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.375（三）其它类型的数阵图【例8】（★★）在下列各图中，分别从1～8中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：1.将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于10．2.在下图的空格中填人适当的数字，使任意三个相邻格子中的数字之和都等于20．3.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等.练习六。
2019-2020年三年级数学奥数讲座竖式数字谜（二）本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。
根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。
例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。
因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。
至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)。
例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。
到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算：(1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。
这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
(2)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。
与(1)分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
(3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。
(4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。
而此时，积的最高两位是3，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
3741【分析】第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中；第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且(2、8)和(5、11)不能在第二个圆中成对出现，(2、5)、(5、8)、(8、11)不能在第三个圆中成对出现，考虑5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在第二个圆中，2、11填在第三个圆中；第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中。
12112986510133741111098765432【分析】第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；第二步：计算三个22⨯正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22⨯的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．数阵图与数字谜12中有两个数被重复计算了两次，而231165+++=，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个22⨯正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24。
20911638421720【分析】 第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则()320x w y z +++=，由于x w +至少为3，所以y z +不超过5；第二步：由于y z +的和不超过5，所以，y 和z 只可能为1和2、1和3、1和4或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面的答案是其中一个。
第十讲数字谜、数阵、数表教学目标数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。
数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。
和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。
1．回顾常用的数字谜的解题技巧。
2．精讲经典数字谜、及数阵数表。
经典精讲数字谜（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。
（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。
（四）注意结合进位及退位来考虑。
（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。
【例 1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口 +○+△+☆=_________ 。
【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□+□＋ 1＝ 10+□”，从而□=9，☆ =8。
再由个位加法，推知○ +△=8．从而口+○+△+☆ =9+8+8=25。
【拓展】（ 2008 年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =______。
s t v av t s tt t v t t【分析】首先可以判断t 1 ，所以 s v11， v t t 1 3 ，可解得 s 11 38 ，又因为a t t 所以a0 ，tavs1038 。
【例 2】电子数字0 ~ 9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。
【分析】⑴显然乘积的百位只能是2，⑵被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8 ，才有可能形如， 0 首先排除⑶如果被乘数十位是6或 8，那么乘数无论是 2 、 6或 8，都不可能乘出百位是 2 的三位数。
第六讲 数字谜（二）—数阵图本讲通过对简单数阵的学习，让学生在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维 的乐趣知识点：1．封闭型数阵图；2．辐射型数阵图； 3．复合型数阵图．教学目标将 1、2、3、4、5、6 这六个数填在图中的空灯里，使 每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于 14．分析：将三个大圆上的所有数字相加，中间三个灯笼上的数字被加了 2 遍， 其余三个灯笼上的数字只加了一遍，所以，中间三个数的和为（1＋2＋3 ＋4＋5＋6）－14＝7，三个数相加等于 7 的情况只有 1＋2＋4，所以中间的三个灯笼上的数为 1，2，4，这 6 个数中四个数相加等于 14 的组合有 (6521)(6431)(5432)，就可以填出：想 挑 战 吗 ︕在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留恋其中，用毕生的精力来研究它的变化， 就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣．到底什么是数阵呢？ 下面我们一起来研究吧．到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：左图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是， 7 每个圆周上的四个数字之和都等于 13．右图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15．上面两个图就是数阵图．准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的 某种图形，有时简称数阵．2 61 43 58 1 6 3 5 7 4 9 2（一）辐射型数阵图把 1～5 这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．分析：在图中我们可以看出，中间圆圈里的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”．也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次， 即重叠了一次，其余各数均被加了一次．我们可以得出： (1＋2＋3＋4＋5)＋重叠数＝每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15＋重叠数)÷2．因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5．若“重叠数”＝1，则两条直线上三数之和为(15＋1)÷2＝8．填法见左下图； 若“重叠数”＝3，则两条直线上三数之和为 (15＋3)÷2＝9．填法见下中图； 若“重叠数”＝5，则两条直线上三数之和为 (15＋5)÷2＝10．填法见右下图．[巩固]把 1～5 这五个数填入下图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等．12 5 345专题精讲有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析， 进行试验填数求解．231 451 23 452 15 43例1分析：与例题不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数．所以， 必须先求出这个“和”．两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍， 所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1＋2＋3＋4＋5)＋5]÷2＝10．因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10－5＝5．非“重叠数”的和也可以这样求，因为 1～4 的和我们可以求，每条直线上两端的数的和是：（1＋2＋3＋4）÷2＝5．在剩下的四个数 1，2，3，4 中，只有 1＋4＝2＋3＝5．故有右上图的填法．[注意] 求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的．把 1～7 这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等．分析：解这道题的关键是首先求出中心数．1～7 七个数的和是 28，而计算三条线段中数的和时，中心圆的数要多加两次．因此可得如下关系式：28＋(中心数)×2＝每条线段上三个数的和×3．即：(28＋中心数×2)÷3＝每条线段上三个数的和．用试验的方法，将 1～7 这七个数作中心数分别代入上述关系式中．可求出中心数及每条直线上三个数的和．经试验，若中心数取 2、3、5、6，此题无解；中心数取 1、4、7 时该题数阵图成立．（1）(28＋1×2)÷2＝10，中间圆圈内填 1，各线段其他两数和为 10－1＝9． （2）(28＋4×2)÷3＝12，中间圆圈内填 4，各线段其他两数和为 12－4＝8． （3）(28＋7×2)÷3＝14，中间圆圈内填 7，各线段其他两数和为 14—7＝7． 三种基本解法详见下图．将 10～20填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等．分析：中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10＋11＋…＋ 20)＋15×4]÷5＝45．15例2 6 31 4 2572 64751334 75621例3201610 191411 1513 121718剩下的十个数中，两两之和等于(45－15＝)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16． 也可以这样求：五条边上两个数的和都是相等的，（10＋11＋…＋20）÷5＝30，所以两两之和等于30． 于是得到右图的填法．[拓展]把 10～20 这 11 个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都相等．请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填法)．(1993 年武汉市小学数学竞赛试题)分析：审题可知中心处的数是五条线段的端点，求和时用了 5 次，因此，确定中心圆圈里的数是关键 （方法一）①列出中心数与每条线段上三数和的关系式：(165＋中心数×4)÷5②用试验方法求出中心数及每条线段上三数和．中心数分别为 10、15、20．每条线段上三数和分别为 4l 、45、49．分别以 10、15、20 为中心数的数阵图，相对应的每条线段上两数和分别为：3l 、30、29． 和为 29 的两数可有：10＋19、1118、12＋17、13＋16、14＋15； 和为 30 的两数可有：10＋20、11＋19、12＋18、13＋17、14＋16； 和为 31 的两数可有：11＋20、12＋19、13＋18、14＋17、15＋16． ③填图．如下图的(1)、(2)、(3)．（方法二）设中心的圆圈内的数字是 a ，每条线段的圆圈内的三个数字和是 k ，则：10＋11＋12＋13＋ 14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋4×a＝5k ，即 165＋4×a＝5k ．推出中心处的 a 等于 10，15，20，k 分别等于 41，45，49．当 a ＝10 时，k ＝41，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 31，即 11＋20，12＋19，13＋18，14＋ 17，15＋16，从而填出数阵图当 a ＝15 时，k ＝45，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 30，即 10＋20、11＋19、12＋18、13＋ 17、14＋16，从而填出数阵图当 a ＝20 时，k ＝49，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 29，即 10＋19、11＋18、12＋17、13＋ 16、14＋15，从而填出数阵图[小结]以上例题中数阵图都是辐射型数阵图．一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 m －n 图．192012 18111310 14 15171620 1610 19141115 1312171819 1510 181411 20 13121617辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”－1，即 m －1．对于辐射型数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数．由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数－已知各数之和)÷重叠次数 ． 如 例 1 、 例 3． (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和＋重叠数×重叠次数)÷直线条数．如例 2． (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3．（二）封闭型数阵图将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等．分析：我们不知道每边的三数之和等于几．因为三个重叠数都重叠了一次，由(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和＝每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和]÷3＝(21＋重叠数之和)÷3＝7＋重叠数之和÷3．因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数．考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12． 与例题的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和＝9 每边三数之和＝10 每边三数之和＝11 每边三数之和＝12[小结]像例题中这样各条边是互相连接的数阵图，叫做封闭型数阵图．思考这类问题，主要是要弄清关键数字．抓住关系式，进行分析，确定顶点上的数以及每条边上的数的和，再用试验的 方法，求出解．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．例4 16 5243164325253 416432516例5 将2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次．所以四个重叠数之和等于18×4－(2＋3＋…＋9)＝28．而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：4＋7＋8＋9＝28 或 5＋6＋8＋9＝28．又由于 18－9－8＝1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和9 只能填对角处．由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意．[巩固]把 1～8 这八个数分别填入下图中的八个○内，使每条边上三个○内数的和都相等．分析：这道题的关键是确定正方形四个顶点上的数及正方形每边上数的和．1～8 的和是 36，36 加上四个顶点上的数其和是 4 的倍数．36 是 4 的倍数，只要考虑从 1～8 里选 4 个数，使其和是 4 的倍数，可得四个不同的和 12、16、20、24．再求出每边四个数的和分别是：(36＋12)÷4＝12 (36＋16)÷4＝13 (36＋20)÷4＝14 (36＋24)÷4＝15 又因为 1＋2＋3＋6＝12，1＋2＋4＋5＝12．经试验，四个顶点数只能填 l、2、3、6．然后用凑数法使每边和是 12．采用同样的方法，可填出每边和是 13、14、15 的情况．下面给出一种解法，如右上图．其他解法请同学们自己完成．用1～9 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．分析：解这道题的关键是确定三边之和与三顶点之和的关系，再运用试验法求解．4 98 75 98 64 5 96 28 3 715684372例6因为每条边上的四数之和都等于 A ，则三边之和为 3×A．因 1 到 9 这九个数的和是 45，而在 3×A 中，三个顶点上的数都被计算了两次，于是顶点上的数之和应为 3×A－45．这个和是 3 的倍数，它最小是 1＋2＋3＝6，最大是 7＋8＋9＝24，从而 A 可以取 17、18、19、20、21、22、23．但是，当 A 为 18 或 22 时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以 A 只能为 17、19、20、23 这五个数．图(1)、(2)、 (3)、(4)、(5)给出了这五种填法．（1）（2）（3）（4）（5）将 l 、2、3、4、5、6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是 l6．分析：观察发现，中间的两个圆圈最特殊，它们同时在两个圆上，我们要以此入手，填出这个数阵． 这六个数的和是 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21．题中要使每个大圆上的数字和是 16，那么两个大圆上的数字总和是 16×2＝32，两个大圆圈上数字的总和比六个数的和多 32－21＝11，怎么会多 11 呢？因为两个大圆上有两个数被算了两次，也就是多算了一次，即（）＋（）＝11，所以，被算了两次的数是 5 和 6． 先填上被多算的数 5 和 6，再通过计算填入其余各数：16－5－6＝5，2＋3＝5，1＋4＝5，填法如下：[小结]刚刚学习的这几个数阵图都是封闭型数阵图．一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型 m －n 图．与“辐射型 m －n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m －1”不同的是，封闭型 m －n 图有 m7A=23 5 63184 2 93 A=21 7 85 1 642 91A=20 876354291A=19 896 245371 A=17 8 96 4275 3例7 251364个重叠数，重叠次数都是 1 次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以： 已知各数之和＋重叠数之和＝每边各数之和×边数． 由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题．（三）复合型数阵如图 “好、助、手、伙、伴、参、谋”这 7 个汉字分别代表 1 至 7 这 7 个数字．已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆周上的 3 个数相加，所得的 5 个和相同．那么，“好”字代表多少?分析：通过读题可以知道三条直线的三个数之和相等，两个圆圈的三个数之和相等，而且五个和都相等．所以计算 5 个和的和，这个和一定是 5 的倍数，其中“好”字计算了三遍，其它数只是被计算了 2 遍，因此这个和等于（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋“好”＝56＋“好”，我们这个“好”只能是 4 才 能保证这个和是 5 的倍数．所以“好”＝4．将自然数 l ～7 填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．分析：三角形顶上的数重叠 3 次，其他数都重叠 2 次．所以有： (1＋2＋…＋7)×2＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5，56＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5．由上式等号左端是 5 的倍数，推知“顶上的数”＝4．所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12．经试验可得如下填法(填法不唯一)：有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．例8 谋伴参伙好 助手例9 47 2 3 1 65请问如何才能将 26，27，28，36，37，38，46，47，48 这九个数分别填入图中的圆圈中，使得通过中心圆圈的每条直线上的三个数之和都是 111．分析：我们已知九个数的和是 26＋27＋28＋36＋37＋38＋46＋47＋48＝333．题中要使每条线上三个数的和是 111，那么四条线上数的总和是 l11×4＝444．四条线上数的总和比九个数的和多 444—333＝111．中心圆圈里的这个数是重叠数，重叠了四次，即多算了 3 次，即重叠数×3＝111．因为只有 37×3＝111，所以中心圆圈里填 37．先填上中心圆圈里的数 37，再通过计算分别填人其余各数：111－37＝74，26 ＋48＝74，27＋47＝74，28＋46＝74，36＋38＝74．填法如右图：数阵图是一类非常有趣的数学问题，同学们，你们在这座数学迷宫中感受到它的奇妙了吗？在春季我们还会有类似问题的学习哦，敬请期待吧！1. 将 1～7 这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于 12．分析：1+2+3+4+5+6+7+2×中间数＝28+2×中间数＝12×3，中间数为 4，填法如右上图．例10专题展望练习六32741652628 36 27 37473846482. 将 1～7 这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于 10．分析： (1＋2＋…＋7)＋重叠数×2＝10×3．由此得出重叠数为 [10×3－(1＋2＋…＋7)]÷2＝1．剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5．可得右上图的填法．3. 把 1、2、3、4、5、6 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于 9．分析：三边的和为 9×3＝27．但是 1～6 六个数的和等于 21，三行数的和比题中六个数的和多 27—21 ＝6，原因在于三个顶点的数字都要用 2 次，说明三个顶点数之和是 6． 1+2+3=6，所以把 1、2、3 分别填入三个顶点中，再根据每行和都等于 9 的要求填上其他各数．如右上图．4. 请分别将 1，2，4，6 这 4 个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里 4 个数的和都等于 15．分析：5＋7＝12，3＋7＝10，3＋5＝8，三个圆中已有数的和与 15 的差分别是 3、5、7，只有 1 能和其他三个数的和分别是 3、5、7，所以中间数一定是 1，由和为 15，其它三个数即可得，见右上图．5. 在图中 x ，y ，z 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和．分析：如图，把三条直线上的三个和相加，相当于把 4 算了三遍，1，5，6 算了一遍， 三个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么 4×3＋1＋5＋6＋三个顶点和＝三个顶点和×3；和是(4×3＋1＋5 ＋6)÷2＝12．所以，图中 x 处的数是 l2－4－5＝3；图中 y 处的数是 l2－4－1＝7；图中 z 处的数是 l2－4－6＝2．721 4 3561 6 5 2435732573416x 5 4 6 1zy推理小故事图像从不闪动一个星期日的中午，绿庄公寓里 008 号房间的单身职员，到距离很近的售货摊上买东西，只离开房间五六分钟，没有锁门，5 万元现金被盗．报案后，刑警问他:“公寓里有谁知道你出去买东西?”“10号房间的北村知道，我出去时他还托我买呢．”刑警马上到 10 号房间查看．一进门，就见北村一边在吃方便面一边看漫画．“8 号房间的失盗者出去买东西时，你在哪儿?干什么了?”“我一直在看漫画呀．”“你没听见那个房间里有异常动静吗?”“没有，那时正好一架直升飞机在这座公寓的上空盘旋，噪音很大，一点点动静也觉察不到．”据公寓管理人员说，中午并没有外人进公寓．肯定是内部人员干的．“别的房间里有人在吗?”“今天星期日，别人出去玩了，只6号房间里一个叫寺内的青年人在．”刑警又来到 6 号房间，见寺内正穿一身睡衣躺在床上，边吃花生米边看电视．那是台新型彩电．“哎呀，好漂亮的彩电啊!图像一点不闪动吗?”“从来没有过，这是我三天前才买来的新产品．”“听到 8 号房间里有可疑动静吗?”“没有，一点没察觉到，因电视里有我喜欢的歌手在演唱，我看得入了迷，再加上那架讨厌的直升飞机在盘旋……”“你说谎．直升飞机盘旋时你并没看电视，而是溜进8号房间找钱吧．”刑警凭什么识破了寺内的手段呢?答案见第七讲．第五讲“巧断小偷”答案：小偷在甲、乙、丙、丁四人中，并且只有一人说的话是真话，其余三人说的是假话．也就是“一真三假”，这也是我们判断是非的准则．假如乙是小偷，那么其余三人均不是小偷．而甲说乙是小偷，所以甲讲了真话；既然乙是小偷，那么丁就不是小偷，可见丁说：“反正我没偷．”这句也是真话．于是，便有甲、乙两人说了真话，这与“一真三假”的准则相矛盾，所以乙不是小偷．同理可推斯出甲、丙都不是小偷，小偷自然就是丁了．不过，我们还可验证一下．当丁是小偷时，甲、乙、丙三人便不是小偷．丁说：“反正我没偷．”这便是一句假话；乙不是小偷，故甲说：“手表是乙偷的．”也是假话；丙不是小偷，则乙说：“手表是丙偷的．”还是假话；既然乙说的是假话，所以丙说：“乙在撒谎．”就是真话，这不是正符合“一真三假”的准则吗?同学们，你答对了吗？。
