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材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
材料力学中的应力与应变关系引言：材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，应力与应变是材料力学中最基础的概念之一。
应力与应变关系的研究对于材料的设计、工程应用以及材料力学理论的发展具有重要意义。
本文将从宏观和微观两个角度出发，探讨材料力学中的应力与应变关系。
一、宏观角度下的应力与应变关系宏观角度下的应力与应变关系是指在宏观尺度上，材料在外力作用下的力学响应。
我们可以通过引入应力和应变的概念来描述材料的力学行为。
1. 弹性应力与应变关系弹性应力与应变关系是指材料在弹性阶段内，应力与应变之间的关系。
弹性材料在受力后能够恢复到原始形状，且应力与应变呈线性关系。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
弹性模量是材料的一种力学性能参数，反映了材料对外力的抵抗能力。
2. 塑性应力与应变关系塑性应力与应变关系是指材料在超过弹性极限后，发生塑性变形时的应力与应变关系。
塑性材料在受力后会发生永久性变形，应力与应变之间不再呈线性关系。
根据真应力与真应变的定义，塑性应力与应变关系可以表示为：σ' = Kε'其中，σ'表示真应力，K表示材料的强度系数，ε'表示真应变。
强度系数是衡量材料塑性变形能力的指标。
3. 强化应力与应变关系强化应力与应变关系是指材料在受到强化处理后，应力与应变之间的关系。
强化处理是通过改变材料的晶体结构或添加外部组分来提高材料的力学性能。
强化应力与应变关系的表达式与具体的强化方式有关，可以通过试验或模型计算得到。
二、微观角度下的应力与应变关系微观角度下的应力与应变关系是指材料在微观尺度上，原子或分子之间的相互作用导致的力学响应。
我们可以通过分子动力学模拟或统计力学方法来研究材料的微观力学行为。
1. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种通过求解牛顿运动方程来模拟材料微观力学行为的方法。
通过分子动力学模拟，我们可以得到材料的应力与应变关系，并研究材料的力学性能和变形机制。
典型应力应变曲线各线段所表征的含义随着科学技术的不断进步，材料力学领域也得到了长足发展，其中应力应变曲线是材料力学中一个非常重要的概念。
在工程设计和材料选择过程中，了解典型应力应变曲线各线段所表征的含义对于确保材料的安全性和可靠性至关重要。
1. 弹性阶段:首先我们来看典型应力应变曲线的弹性阶段，这个阶段也被称为线性弹性阶段。
在这个阶段内，材料在承受外力的情况下会出现弹性变形，而不会发生永久性变形。
这是因为材料在这个阶段内表现出良好的弹性恢复性，即使受到外力的作用，一旦外力消失，材料会恢复原始形状。
这一阶段的特点是应变与应力成正比，即呈现出线性关系。
在这个阶段内，我们可以通过杨氏模量来评估材料的刚度和弹性。
而了解这一阶段的特性有助于我们在工程实践中选择合适的材料，以满足设计要求。
2. 屈服阶段:接下来是典型应力应变曲线的屈服阶段。
在这个阶段内，材料逐渐失去了弹性，并且开始出现塑性变形。
当外力作用到一定程度时，材料会出现显著的永久性变形。
这是因为材料在这一阶段内，开始出现晶体滑移和位错运动，从而导致材料的屈服。
了解材料的屈服特性有助于我们评估材料的可塑性和延展性，这在设计强度要求较高的工程结构时至关重要。
3. 颈缩阶段:随后是典型应力应变曲线的颈缩阶段。
在这个阶段内，材料的应力逐渐减小，而应变仍在不断增加。
这是因为材料内部出现了局部损伤和断裂，从而导致了截面减小和应力集中。
了解这一阶段的特性有助于我们评估材料的韧性和断裂特性，以确保工程结构在承受外力时不会出现过早的断裂。
4. 断裂阶段:最后是典型应力应变曲线的断裂阶段。
在这个阶段内，材料会突然失去承载能力，并出现明显的断裂现象。
这是因为材料的内部损伤和缺陷逐渐积累并扩大，从而导致了材料的突然断裂。
了解这一阶段的特性有助于我们预测材料的寿命和耐久性，以确保工程结构在使用过程中不会出现意外断裂。
对于以上几个阶段，我们可以通过典型应力应变曲线的形式和斜率来进行评估和分析。
材料力学应力应变部分材料力学（应力应变部分）→规定载荷作用下，强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。
刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。
→变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。
→沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材料。
→ 分布力表面力集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力）体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。
→动载荷，静载荷→应力p应分解为正应力? ，切应力τ。
26→应力单位pa，1pa=1N/m；常用Mpa，1Mpa=10pa。
第二章拉伸、压缩与剪切2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力→习惯上，把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。
→用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
→FN=?A ；?(x)=FN(x)/A(x)2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力α轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值。
最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。
此外，α=90°时，?α=τα=0 ，这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。
（应力，p=F/A，45°斜截面上，力→ ，面积→ 。
） 2.7 安全因数许用应力和安全因数的数值，可以在有关部门的一些规范中查到。
目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.2～2.5。
脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=2～3.5，甚至取到3～9。
2.8 轴向拉伸或压缩时的变形→胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
?=Eε，弹性模量E的值随材料而不同。
2222=ε=E=AE ；?l=AE ?FFL即，对长度相同，受力相等的杆件，有EA越大则变形Δｌ越小，所以称EA为杆件的抗拉/压刚度。
→泊松比，当应力不超过比例极限时横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数，即�O�O=μ。
μ称为横向变形因数或泊松比，是一个量纲一的量。
εε’→几种常用材料的E和μ的约值（弹性模量，泊松比）材料名称碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金铝合金 ??Ｎ(x)?dx???A(x)E/（Gpa） 196～216 186～206 78.5～157 72.6～128 70 ??Ｎ(x)?dx???A(x)μ 0.24～0.28 0.25～0.30 0.23～0.27 0.31～0.42 0.33 →若杆件横截面沿轴线变化；轴力也沿轴线变化。
长为dx的微段，d(?l)=,则?l= L2.9 轴向拉伸或压缩的应变能→固体受外力作用而变形；在变形过程中，外力所做的功将转变为储存于固体内的能量。
固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。
→dw=F?d(Δl) w= 0Δl1Fd(Δl)，w=2F?Δl11νε=w=2F?Δl=2EA νε=2?ε=1Eε22=2E ?2也νε= νε?dν ν2.10 拉伸、压缩超静定问题几何关系，变形协调方程。
胡克定律是唯一联系变形与轴力之间的关系。
超静定问题是综合了静力方程，变形协调方程（几何方程）和物理方程等三方面关系求解的。
物理方程，变形协调方程。
2.1.1 温度应力和装配应力一、温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。
静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。
但如超静定结构的变形受到部分或全部约束，温度变化时，往往就要引起内力。
当温度变化ΔT时，杆件的温度变形（伸长）应为 ?lT=αlΔT?l ，式中αl为材料的线胀系数。
先拆除联系，允许其自由膨胀ΔlT，再加入约束，应力引起变形Δl，→协调方程二、装配应力→对静定结构，加工误差只不过是造成几何形状的细微变化，不会引起内力；但对超静定结构，加工误差往往要引起内力。
2.1.2 应力集中的概念→实验结果和理论分析表明，在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。
应力集中：因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
→应力集中因数k=?max?，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。
→截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重。
→用塑性材料制成的零件在静载作用下，可以不考虑应力集中的影响。
对于脆性材料制成的零件，应力集中的危害显得严重。
→对于灰铸铁，其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而零件的外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，对零件的承载能力不一定造成明显的影响。
→当零件受到周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件的强度都有严重影响，往往是零件破坏的根源。
2.13 剪切和挤压的实用计算→剪切的特点是，对于构件某一截面两侧的力，大小相等、方向相反且相互平行，使构件的两部分沿这一截面发生相对错动的变形。
剪切面上的应力为剪应力，分布方式为均匀分布。
τ=FSA（剪切面上的平均切应力）FSA→安全因数n，许用切应力[τ],强度条件τ=≤[τ]。
二、挤压的实用计算在外力作用下，连接件和被连接的构件之间，必将在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。
?bs=A ，?bs=AbsFFbs≤[?bs] 。
第三章扭转→杆件的两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形。
3.2 外力偶矩的计算扭矩图，横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩。
右手螺旋法（传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。
）3.3 纯剪力 M=2πr?δτrτ=M22πrδ二、切应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
（即切应力互等定理或称切应力双生定理）三、切应变，剪切胡克定律单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而并无正应力，这种情况称为纯剪切。
→当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比，即剪切胡克定律。
τ=Gγ式中G为比例常数，称为材料的切变模量。
因γ的量纲为一，G的量纲与τ相同。
（钢材的G值约为80Gpa）→三个弹性常量，即弹性模量E，泊松比μ，切变模量G。
E：胡克定律，应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，σ=Eε。
μ：应力不超过比例极限时，横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数，�Oε′ε�O=μ。
EG：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
τ=Gγ。
? 对各向同性材料，可以证明三个弹性常数E，G，μ之间存在下列关系：G=2（1+μ）四、剪切应变能3.4 圆轴扭转时的应力→圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。
→扭转角φ，用弧度来度量。
变形几何关系，γρ=ρdφdxdφdx，是扭转角φ沿x轴的变化率，对一个给定的截面上的各点来说，它是常量。
横截面上任意点的切应变与改点到圆心的距离ρ成正比。
物理关系，τρ=Gγρ，即τρ=Gρ dx表明，横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。
因为γρ发生于垂直半径的平面内，所以τρ也与半径垂直。
（也同时要注意到切应力互等定理）静力关系，微分面积 dA=ρdθ?dρ；dA上的微内力τρdA，力矩ρτρdA。
积分得到横截面上，力矩= ΛρτρdA T= ΛρτρdA=G Λρ2dAdxIP= ΛρτρdA ，横截面对圆心O的极惯性矩。
IP的量纲为长度的四次方。
T=GIPdx ，（又τρ=Gρ ）dx消去dφdφdφ2dφdφ，→τρ=dxTρIP（τρ=TRIP）T抗扭截面系数 Wt=IP，则τmax=W Rt以上为以平面假设为基础导出的公式，只适用于等直圆杆；也可适用于圆截面沿轴线变化缓慢的的小锥度锥形杆。
→Wt①实心圆轴，Wt =②空心圆轴，Wt =强度条件τmax=πD31616dDπD3（1?α4）α= TmaxWt≤[τ]3.5 圆轴扭转时的变形与刚度计算→扭转变形的的标志的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。
dφ=TGIPdxdφ表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角。
沿轴线x积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的相对转角为φ= dφ= 0GIdx lP(若在两截面之间T的值不变，且轴为直杆，则TGIPlT为常量。
)（GIP 称为圆轴的抗扭刚度）例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，φ=用φ‘表示变化率dφdxTlGIPφ‘=dφdx=GI PTφ的变化率φ‘是相距为1单位长度的两截面的相对转角，称为单位长度扭转角，单位rad/m。
扭转的刚度条件就是限定φ‘的最大值不得超过规定的允许值，即φmax=工程中，习惯把(°)/m作为[φ‘]的单位吗，φ’max=TmaxGIPTmaxGIP≤[φ‘] 。
×180°π≤[φ‘] (°)/m 。
3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形→螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。
但当螺旋角α很小时，可以省略α的影响，近似的认为，簧丝横截面与与弹簧轴线（亦即F力）在同一平面内。
一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。
此外，当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。
……3.7 非圆截面杆扭转的概念→杆变形后杆的横截面已不再保持为平面（变成空间平面），这种现象称之为翘曲。
故平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。
→非圆截面杆件的扭转可以分为自由扭转和约束扭转。
等直杆两端受到扭转力偶的作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。
在自由扭转下，杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，横截面上没有正应力而只有切应力。
约束扭转，由于约束条件或受力限制，造成杆件各截面翘曲程度不同，相邻截面间纵向纤维长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力。
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