第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
2. 剪力：F s ；构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。
二、内力的正负规定:①剪力F s ：在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
②弯矩M ：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
三、注意的问题1、在截开面上设正的内力方向。
2、在截开前不能将外力平移或简化。
四、简易法求内力：F s =∑F i （一侧） ， M=∑m i 。
（一侧）。
左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。
解：（1）确定支座反力65.48005.13120000312008000=⨯-⨯+⨯⨯⇒==⨯--+⇒=∑∑AYBBYAYFM F F Y⇒)(2900)(1500N F N F BY AY ==（2）简易法求内力 1--1截面取左侧考虑：).(26005.0800215005.08002)(700800150080011m N F M N F F AY AY s =⨯-⨯=⨯-⨯==-=-=2--2截面取右侧考虑：).(30005.1290025.15.112005.125.15.11200)(110029005.1120022m N F M N F BY s =⨯-⨯⨯=⨯+⨯⨯-=-=-⨯=五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x 的函数式。
Fs=Fs(x ）——剪力方程 ；M=M(x) ——弯矩方程qx x F s -=)( )0(l x ≤；221)(qx x M -= )0(l x ≤注意不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。
七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。
1、建立直角坐标系，2、取比例尺，3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。
八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。
2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。
3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。
4、确定最大的剪力值、弯矩值。
例：如图所示。
解：1、支反力lF FY l Fa F m AYBY A b , 0 , 0=∴==∴=∑∑ 2、写出内力方程 AC 段：F LbF x F AY s ==)(1 )0(1a x ； 11)(Fx Lbx M =)0(1a x ≤≤ BC 段：F LaF x F BY s -=-=)(2 )0(2b x ；222)(Fx L ax F x M BY == )0(2b x ≤≤3、根据方程画内力图讨论——C 截面剪力图的突变值。
集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。
（集中力 F 实际是作用在△X 微段上）。
集中力偶作用点处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。
§5—3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：2ql F F BY AY == 2、内力方程：qx ql x F s -=21)( )0(l x ； 22121)(qx qlx x M -= )0(l x ≤≤3、讨论：)(21)(x F qx ql dx x dM s =-= )()(x q q dxx dF s =-= 对dx 段进行平衡分析，有：[]0)(d )(d )()(,0=+-+=∑x F x F x x q x F Y sss)(d d )(x F x x q s =，即()()x q xx F s =d d剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
0)](d )([)())(d (21)d (, 0)(2=+-++=∑x M x M x M x x q x x F F m si A )(d )(d x F xx M s = 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
有：()()x q x x F s =d d ；)(d )(d x F x x M s =；)(d )(d 22x q x x M =二、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。
2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。
（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。
（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。
3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。
4、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。
5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、集中力偶作用的截面。
三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图四、简易法作内力图法（利用微分规律）: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
基本步骤：1、确定支座反力；2、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；3、确定控制点内力的数值大小及正负；4、描点画内力图。
控制点：端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
[例] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：1、确定支反力（可省略）223;0qa m F Y ==2、画内力图左侧段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线右侧段：剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。
左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。
右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。
§5—4 按叠加原理作弯矩图一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。
即在弹性限度内满足虎克定律。
二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
[例]按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。
四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下——Fs 图反对称，M 图对称；对称结构在反对称载荷作用下——Fs 图对称，M 图反对称。
§5—5 平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。
3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不能有转动）。
用填角表示，以与铰支节点区别。
4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。
平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。
特点：刚架各杆的内力有：F s、M、F N。
二、平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。
四、平面曲杆内力图规定：弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。
要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。
剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
[例] 试作图示刚架的内力图。
弯曲内力小结一、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
二、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
三、弯曲内力的确定1、内力的正负规定:①剪力Fs ：:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
②弯矩M ：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
2、内力的计算：（1）、截面法——截开；代替；平衡。
注意的问题：a 、在截开面上设正的内力方向；b 、在截开前不能将外力平移或简化。
（2）、简易法求内力：（重点）F s =∑F i （一侧） ， M=∑m i （一侧）。
左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
四、剪力方程、弯矩方程：F s =F s (x ）——剪力方程；M=M(x ——弯矩方程注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
五、 剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系（难点）：()()x q x x F s =d d ；)(d )(d x F xx M s =；)(d )(d 22x q xx M = 六、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。
