学案导学备课精选2015年高中数学3.2回归分析(二)同步练习(含解析)苏教版选修2_3

高中数学第三章统计案例3_2回归分析课后训练苏教版选修2-3（7页）文档来源为:从网络收集整理文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑?欢迎下载支持.PAGEPAGE #文档收集于互联网.已整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑?欢迎下载支持.PAGEPAGE #文档收集于互联网.已整理.word版本可编辑.3.2回归分析练习对某种机器购苣后运营年限次序x（l,2,3,…），与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为：y =10.47—1.3＜估计该台机器使用年最合算.假设关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）有如下的统汁数据X234—6y2.23.85.56.5若由此资料知y与龙呈线性关系，则线性回归方程是?假设关于某市房屋而积/平方米）与购房费用y（万元），有如下的统汁数据: 龙（平方米）8090100110y（万元）42465359由资料表明y对％呈线性相关，若在该市购买120平方米的房屋，估计购房费用是万元.下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：X234厂6y2.23.85.56.5请根孺上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于”的线性回归方程?某车间为了规泄工时左额，需要确左加工零件所花费的时间，为此作了四次试验, 得到的数据如下:零件的个数*（个）234厂加工的时间y（小时）2.5344.5试预测加工10个零件需要多少时间？6 ?某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究, 他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差H°C）1011138发芽数y（颗）2325302616（1）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出p关于X的线性回归方程y =从+“；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选岀的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？7.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：X21568y3040506070如果y与x之间具有线性相关关系.（1）作岀这些数据的散点图：（2）求这些数据的线性回归方程：（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统汁，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表，如下表所示:摄氏温度/°c—54712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图：（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律;（3）求回归方程：（4）如果某天的气温是2 r,预测这天卖出的热饮杯数.某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：X3456789y666973818990917 7 n已知.2 =280,工牙2 =45309,工舌牙=3487?⑴求x, y；（2）判断纯利y与每天销售件数*之间是否线性相关，如果线性相关，求岀回归方程?—个车间为了规左工时左额，需要确左加工零件所花费的时间，为此进行了 10次试验?测得的数据如下.零件数龙（个）102030405060708090100加工时间y（分）626875818995102108115122（1）求y对*的回归直线方程：⑵据此估计加工200个零件所用的时间是多少?文档来源为:从网络收集整理文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑?欢迎下载支持. PAGEPAGE #文档收集于互联网.已整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑?欢迎下载支持.774文档收集于互联网.已整理.word版本可编辑.参考答案1.答案：8解析：令即 10.47 — l?3x$o,.SW8,.：?估计该台机器使用8年较为合算.2?答案：y=0?08+l?23%5 __解析：代入 b =弋—= 1.23, y = a + bx,Ev-5?i-l/. a =0. 08..?.线性回归方程是y =0. 08+1. 23x.3?答案：64.5解析：V x =95, y =50 代入公式求得 b=0. 58, a=—5.1,.线性回归方程为y=0. 58.Y-5. 1.将x=120代入线性回归方程得y =64. 5(万元).估计购买120平方米的房屋时，购买房屋费用是64. 5万元.4.答案：y=l?23x+0?085 _解析：》彳=4+9+16+25+36 = 90,且x=4, y =5,刀=5, r-l.f_112?3 — 5x4x5_12?390 — 5x16 10a =5-1.23X4=0. 08,回归直线为y=l. 23x+0?08.5?解：5?解：2+3+4+5~~4-=3.5,齐2.5+3+4+4.5“5,4= 2X2. 5+3X3+4X4 + 5X4.5 = 52.5,x/ =4 + 9+16+25=54,、52.5-4x3.5x3.5 「54 — 4x3.5261=3.5-0.7X3.5 = 1.05.回归直线方程为y =0. 7x+l. 05,当 x=10 时,y=0.7X10+1.05=8. 05,预测加工10个零件需要8. 05小时._ 16?解：(1)由数拯，求得 x = —(11 + 13+12)=12,3- 1y = - (25+30+26)=27,33x y =972.3工兀牙=11X25 + 13X30 + 12X26=977,工舛2 =113+133+12”=434,3? = 432 ?97 /-I线性回归方程为y=7w+15?当”=9时，y=78?即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元.解：(1)散点图如下图所示：从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越髙，卖出去的热饮杯数越少.从散点图可以看岀，这些点大致分布在一条直线的附近，因此.可用公式求岀回归方程的系数._ _ 11 11x 215.364, y~lll?636,工x「=4335,工召开=14778./-I /-I112>必-1伐亍b = —__— p -2.352 ■X,2 -1 lx2 -1 lx2/-Ia = y-bx ?. 767.回归方程为：y=-2. 352x4-147. 767.⑷当x=2时，严143.因此，某天的气温为2 °C时，这天大约可以卖岀143杯热饮.9?解:9?解:(1) x = = 6 ,-66+69+73+81+89+90+91 右“? 7(2)画出散点图可知，y与％有线性相关关系, 设回归直线方程：y = bx + a. 559 3487-7x6x—严 b = =空=4.75,280-7x36 28?=79. 86-6X4. 75 = 51.36,■11215678910 X 10 20 30 10 50 60 70 80 90 100 X 62 68 75 S1 S9 95 102 108 1156201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 6401035012200x =55, y =91. 7>10 10 10工彳=38500,工）「=87777,工兀’=55950/-I /-1 /-I回归直线方程V =4?75%+51?36.10.解：⑴列出下表，并用科学计算器进行计算.设所求的回归直线方程为y = bx + a.10 __2>川-10心/-I同时，利用上表可得… =55950-10x55x91.7r-la = y-bx =91. 7—0. 668X55=54. 96,38500-10x552即所求的回归直线方程为y =0. 668x4-54. 96?(2)这个回归直线方程的意义是当*增大1时，y的值约增加0?668,而54. 96是y不随 x增大而变化的部分.因此当 x=200 时，y 的估计值为 y=54. 96 + 0. 668X200=188. 56=189.故加工200个零件时所用的时间约为189分.。

3.2 回归分析1、已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关。

下列结论中正确的是( ) A.x 与y 负相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z 负相关D.x 与y 负相关,x 与z 正相关2、在一组样本数据11(,)x y ,22(,)x y ,…(),n n x y ,(2n ≥,12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等)的散点图中,若所有样本点(,)i i x y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =+上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) A. 1-B.0C. 12D. 13、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元4、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3, 2.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.0.4.3ˆ2yx =+ B.2 2.4ˆy x =- C.9ˆ2.5y x =-+ D.0.3 4.4ˆyx =-+ 5、下表是某厂1到4月份用水量情况(单位:百吨)的一组数据用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系,其线性回归方程为0.7y x a ∧=-+,则a 的值为( ) A.5.25 B.5 C.2.5 D.3.56、对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<7、已知x 与y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为+ˆa ˆˆybx =,若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为y b x a ='+',则以下结论正确的是( )A.',ˆˆ'bb a a >> B.',ˆˆ'bb a a >< C.',ˆˆ'bb a a << D.',ˆˆ'bb a a <> 8、登山族为了了解某山高y (km )与气温x (℃)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表: 气温x (℃)18 13 101-y (km ) 2434 38 64由表中数据,得到线性回归方程ˆˆ2()ˆyx a a R =-+∈,由此估计山高为72km 处气温的度数为( )A.-10℃B.-8℃C.-4℃D.-6℃9、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程$y bx a =+,其中0.76,b a y bx ==-，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元10、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为$6090y x =+,下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1000元时,工资为50元B.劳动生产率提高1000元时,工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时.工资提高90元D.劳动生产率为1000元时,工资为90元11、调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程:0.25402ˆ.31yx =+,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加__________万元.12、对具有线性相关关系的变量x 和y ,由测得的数据已求得回归直线的斜率为6.5,且恒过点(2,3),则回归直线的方程为 .13、为预测某种产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系,现取了8组观察值.计算知: 881152,228ii i i xy ====∑∑,88211478,1849ii i i i x x y ====∑∑则y 对x 的线性回归方程是__________.14、为考虑广告费用 x 与销售额y 之间的关系.抽取了5家餐厅,得到如下数据:现要使销售额达到6万元,则需广告费用为__________万元.(精确到0.1)15、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ20b =-,ˆˆa y bx =-; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由回归直线方程定义知,x 与y 负相关。

1．线性回归模型(1)随机偏差拥有线性有关关系的两个变量的取值x、y，y的值不可以由x完整确立，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，此中a＋bx是确立性函数，ε称为随机偏差．(2)随机偏差产生的主要原由①所用确实定性函数不适合惹起的偏差；②忽视了某些要素的影响；③存在观察偏差．(3)线性回归模型中a，b值的求法y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．a，b的预计值为a∧，b∧，则n－－∑x iyi－nxyi＝1b∧＝n22－n（x）∑x ii＝1－a∧＝y－b∧x(4)回归直线和线性回归方程直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a∧称为回归截距，b∧称为回归系数，y∧称为回归值．2．样真有关系数r及其性质n－－∑x iyi－nxy(1)r ＝i＝1．n n2222（∑＝xi－n（x））（∑＝1yi－n（y））i1ir拥有以下性质①|r|≤1．|r|越靠近于1，x，y的线性有关程度越强．③|r|越靠近于0，x，y的线性有关程度越弱．3．对有关系数r进行明显性查验的基本步骤(1)提出统计假定H0：变量x，y不拥有线性有关关系．(2)假如以95%的掌握作出判断，那么能够依据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(此中1－0.95＝0.05称为查验水平)．(3)计算样真有关系数r．(4)作出统计推测：若|r|>r0.05，则否认H0，表示有95%的掌握以为x与y之间拥有线性有关关系；若|r|≤r0.05，则没有原由拒绝本来的假定H0，即就当前数据而言，没有充足原由以为y与x之间有线性有关关系．1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增添一个单位时，函数值y的改变量．2．经过回归方程y∧＝a∧＋b∧x可求出相应变量的预计值．3．判断变量之间的线性有关关系，一般用散点图，但在作图中，因为存在偏差，有时很难判断这些点能否散布在一条直线的邻近，从而就很难判断两个变量之间能否拥有线性有关关系，此时就一定利用线性有关系数来判断．[例1]假定对于某设施的使用年限x(年)和所支出的维修花费y(万元)有以下的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由数据可知，y对x体现线性有关关系．(1)求线性回归方程；(2)预计使用年限为10年时，维修花费是多少？[思路点拨]代入数值求线性回归方程，而后把x＝10代入，预计维修花费．[精解详析](1)列表以下：i12345x i23456y i 2.2 3.8 5.5 6.57.0x i y i 4.411.422.032.542.0x i249162536经计算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1x2i＝90，∑5,i＝1x i y i＝112.3，a∧＝y－b∧·x＝0.08，所以线性回归方程为y∧＝a∧＋b∧x＝0.08＋1.23x.(2)当x＝10时，y∧＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即若预计使用年限为10年时，维修花费为12.38万元．[一点通]线性回归剖析的步骤：(1)列出散点图，从直观上剖析数据间能否存在线性有关关系；(2)计算x，y，∑n,i＝1x2i，∑n,i＝1y2i，∑n,i＝1x i y i；(3)代入公式求出y∧＝b∧x＋a∧中参数b∧，a∧的值；(4)写出线性回归方程，并对实质问题作出预计．1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计剖析，所得数据以下表：x681012y2356则y对x的线性回归方程为_________________________________________________．－＝6＋8＋10＋12－＝2＋3＋5＋6分析：∵x＝9，y＝4，44故y对x的线性回归方程为y∧＝0.7x－2.3.答案：y∧＝0.7x－2.32．某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科A B C D E数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试展望他的物理成绩．解：(1)散点图如图．(2)∵x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.5∑i＝1x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.5又∑i＝1x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.∴y对x的线性回归方程是y∧＝0.625x＋22.05.(3)当x＝96时，y∧＝0.625×96＋22.05≈82.能够展望他的物理成绩是82.[例2]现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)以下：学生号12345678910 x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩能否拥有线性关系？[思路点拨]可先计算线性有关系数r的值，而后与r0.05比较，从而对x与y的有关性作出判断．11[精解详析]x＝10(120＋108＋＋99＋108)＝107.8，y＝10(84＋64＋＋57＋71)＝68.所以有关系数为r＝73796－10×107.8×68（116584－10×107.82）（47384－10×682）0.751.由查验水平0.05及n－2＝8，在附录2中查得r0.05＝0.632，因为0.751>0.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩拥有较强的线性有关关系．[一点通]利用有关系数r进行判断有关关系，需要应用公式计算出r的值，因为数据较大，需要借助计算器，但计算时应当特别仔细，防止出现计算错误．3．对于回归剖析，有以下表达：(1)在回归剖析中，变量间的关系假如非确立性关系，则因变量不可以自由变量唯一确立．(2)线性有关系数能够是正的或是负的．(3)回归剖析中，假如r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完整线性有关．(4)样真有关系数r∈(－∞，＋∞)．判断其说法能否正确．解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的．有关系数的取值范围应为|r|≤1，所以(4)是错误的．4．一台机器因为使用时间较长，但还能够使用，它按不一样的转速生产出来的某机械零件有一些会有弊端，每小时生产有弊端的部件的多少，随机器运行的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有弊端的部件数y(件)11985对变量y与x进行线性有关性查验．－－4解：由题中数据可得x＝12.5，y＝8.25，∑x i y i＝438，－－44＝412.5，∑x i2＝660，∑y i2＝291，所以4xy438－412.5＝660－625）×（291－272.25）25.5＝≈0.995.656.25由查验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为r>r0.05，所以y与x拥有线性有关关系．对两个有关变量进行线性回归剖析时，第一判断两个变量能否线性有关，能够经过散点图和有关系数判断，而后再求线性回归方程，对问题进行展望，不然求出的回归方程无心义，展望也无价值．课下能力提高(十九)一、填空题1．以下命题中正确的选项是________(填全部正确命题的序号)．①任何两个变量都拥有有关关系；②圆的周长与圆的半径拥有有关关系；③某商品的需求量与该商品的价钱是一种非确立性关系；④依据散点图求得的线性回归方程可能是没存心义的；⑤两个变量的线性有关关系能够经过线性回归方程，把非确立性问题转变为确立性问题进行研究．分析：明显①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C＝2πR，是一种确立性的函数关系．答案：③④⑤2．已知x，y的取值以下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7从所得的散点图剖析，y与x线性有关，且y∧＝0.95x＋a∧，则a∧＝________．－－＝4.5.又回归直线恒过定点－－分析：∵x＝2，y(x，y)，代入得a∧＝2.6.答案：2.63．从某大学随机选用8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y∧＝0.849x－85.712，则身高172cm的女大学生，由线性回归方程能够预计其体重为________．分析：y∧＝0.849×172－85.712＝60.316.答案：60.316kg4．有以下关系：①人的年纪与他(她)拥有的财产之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与天气之间的关系；④丛林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．此中有有关关系的是____________．(填序号)分析：由有关关系定义剖析．答案：①③④5．某产品的广告花费x与销售额y的统计数据以下表：广告花费x(万元)4235销售额y(万元)49263954依据上表可得线性回归方程y＝b∧x＋a∧中的b∧为9.4，据此模型预告广告花费为6万元时销售额为________万元．分析：样本中心点是(3.5，42)，答案：65.5二、解答题6．下边是水稻产量与施肥量的一组观察数据：施肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？解：(1)散点图以下：从图中能够发现施肥量与水稻产量拥有线性有关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大概散布在一条直线的邻近，所以施肥量和水稻产量近似成线性正有关关系．7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价钱x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为12345价钱x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y1210753已知∑5,i＝1x i y i＝62，∑5,i＝1x i2＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如价钱定为1.9万元，展望需求量大概是多少？(精准到0.01t)解：(1)散点图以以下图所示：11(2)因为x＝5×9＝1.8，y＝5×37＝7.4，8．为了剖析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习供给指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行剖析．下边是该生7次考试的成绩：数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性有关的，若该生的物理成绩达到115分，请你预计他的数学成绩大概是多少？并请你依据物理成绩与数学成绩的有关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．－－12－17＋17－8＋8＋12解：(1)∵x＝100＋＝100；7－－6－9＋8－4＋4＋1＋6y＝100＋7＝100；∴29942250σ数学＝7＝142，σ物理＝，722从而σ数学>σ物理，∴物理成绩更稳固．(2)因为x与y之间拥有线性有关关系，因为77x i y i＝70497，∑x2i＝70994，所以依据回归系数公式获得当y＝115时，x＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大概为建议：进一步增强对数学的学习，130分．提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步提高.。

3.2.回归分析-苏教版选修2-3教案教材基本信息•教材名称：苏教版高中数学选修2•单元名称：数据分析与统计•课时：3课时教学目标1.了解什么是回归分析。

2.学习回归分析的基本概念和方法。

3.掌握直线拟合和残差分析的实现方法。

4.理解回归分析在生活中的应用。

教学重点1.回归分析的基本概念和方法。

2.直线拟合和残差分析的实现。

教学难点1.理解回归分析的概念和方法。

2.掌握直线拟合和残差分析的实现步骤。

教学内容及安排一、引入1.通过一个实际问题引出回归分析的概念和应用。

2.以表格和图像等形式，引导学生识别数据之间的关系和规律。

二、回归分析的概念和方法1.回归分析的定义和基本概念。

2.以简单线性回归模型为例，介绍回归分析的方法。

–公式推导和参数估计。

–模型拟合与模型检验。

3.针对多元回归分析，简要介绍其方法和应用。

三、直线拟合的实现1.介绍直线方程和相关系数的定义和计算方法。

2.以实例为基础，讲解直线拟合的步骤和实现过程。

–用手动计算的方法计算，再用计算器或软件求解。

3.培养学生的数据分析能力，注重判断拟合效果和可靠性。

四、残差分析的实现1.残差的定义和计算方法。

2.残差分布图和残差散点图的绘制和解释。

3.强调残差分析及其结果对模型的影响。

五、回归分析在生活中的应用1.针对学生关心的实际问题，介绍回归分析的运用。

2.初步了解其在经济、社会学、医学和环境等领域的应用。

教学方法1.课件讲解：以幻灯片为主，结合实例、图像和文字呈现。

2.讨论和交流：引导学生大胆提问，鼓励学生尝试回答其他同学的问题。

3.实验探究：引导学生在问题解决中体验回归分析的乐趣和重要性。

教学手段1.课件展示。

2.板书和笔记。

3.实际数据和软件操作。

教学评估1.期中/期末考试考查学生对回归分析的掌握程度。

2.课堂测试考查学生对直线拟合和残差分析等具体内容的理解。

3.个人/小组报告，重点评估学生实践能力和解决问题的能力。

参考文献1.线性回归分析及其在医学中的应用[M]. 北京：人民卫生出版社，2001.2.Applied Linear Regression [M]. Third Edition, Wiley, 2013.3.单元教材和参考书中的相关内容。

【关键字】数学高中数学第三章统计案例 3.2 回归分析课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、线性返回【例1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:零件数10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x(个)62 68 75 81 89 95 102 108 115 122加工时间y(分)(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求返回直线方程.解析：(1)列出下表:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x i10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 ∴=55, =91.7,=38 500,=87 777,=55 950.因此,r==≈0.999 8.由于r=0.999 8^0.75,因此x与y之间具有很强的线性相关关系,因而可求返回直线方程.(2)设所求的返回直线方程为y^=b^x+a^,则有b^=≈0.668,a^=y-b^x=91.7-0.668×55=54.93,因此,所求的返回直线方程为y^=0.668x+54.93.二、非线性返回【例2】在彩色显像中,根据经验,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式:y=,其中b^0.现对y及x同时作11次观察,获得11组数据如下表:编号x i y i1 0.05 0.102 0.06 0.143 0.07 0.234 0.10 0.375 0.14 0.596 0.20 0.797 0.25 1.008 0.31 1.129 0.38 1.1910 0.43 1.2511 0.47 1.29求出y与x之间的返回方程.解析:令y′=lny,x′=,则变换为y′=lna-bx′,设a^′=lna,b^′=-b,将观察的数据(xi,yi)转化为(xi′,yi′)如下表:编号x i′y i′x i′2x i′y i′1 20 -2.303 400 -46.062 16.667 -1.966 277.79 -32.773 14.286 -1.47 204.09 -214 10 -0.994 100 -9.945 7.143 -0.528 51.02 -3.776 5 -0.236 25 -1.187 4 0 16 08 3.226 0.113 10.41 0.369 2.632 0.174 6.93 0.4610 2.326 0.223 5.41 0.5211 2.128 0.255 4.53 0.54∑87.408 -6.732 1 101.17 -112.84 ∴==1xi′≈7.95, = =-0.612,b^′= ≈=-0.146,a^′= -b^′≈0.549.∴线性返回方程为y^′=0.549-0.146x′.由于b^=-b^′=0.146,a^==1.73,∴y与x之间的返回曲线方程为y^=.三、相关检验【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y 与x之间的返回方程.温度x/℃21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个7 11 21 24 66 115 325 解析:根据收集的数据,作散点图,如图.从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性返回方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的附近,其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的附近,这样可以利用线性返回建立y与x的非线性返回方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性返回方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:x21 23 25 27 29 32 35 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得线性返回直线方程为z^=0.272x-3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性返回方程为y^=e0.272x-3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近,其中c3,c4为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x2,然后建立y 与t 之间的线性返回方程,从而得到y 与x 之间的非线性返回方程.下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性返回模型拟合表,作出相应的散点图,如图:t 441 529 625 729 841 1 024 1 225 y711212466115325从图中可以看出,y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性返回方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x 与y 之间的关系,因此利用y^=e0.272x-3.843来拟合效果较好. 各个击破 类题演练 1弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下: 物体质量x 5 10 15 20 25 30 弹簧长度y7.258.128.959.9010.9611.80(1)画出散点图；(2)求y 对x 的返回直线方程. 解析:(1)(2)采用列表的方法计算a 与返回系数b.序号 xy x 2x y1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.96 11.80 25 100 225 400 625 900 36.25 81.2 134.25 198 274 354 ∑10556.982 2751 077.7x=×105=17.5,y=61×56.98≈9.50, b ^=25.176227550.95.1761077⨯-⨯⨯-≈0.183,a ^=9.50-0.183×17.5≈6.30.y 对x 的回归直线方程为y^=6.30+0.183 x .类题演练 2x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y10.15 5.521.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x之间是否具有线性相关关系?如有,求出y 对x的回归方程.思路分析:本题与前面的问题有所不同,y 与x 之间不具有线性回归关系,因而是非线性回归分析问题,不妨设变量u=x1,题意要求对u 与y 作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y 对u 的回归直线方程,这时再回代u=x1,就得到了y 对x 的回归曲线方程.解:首先作变量置换u=x1,题目所给数据变成如下表所示的数据: u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 y i 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 u i 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i1.621.411.301.211.15可以求得r=∑∑∑===----ni ni i ini i iy y x xy y x x11221)()())(( =0.999 8,由r=0.999 8＞0.75,因此,变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系,并且b ^=8.973,a ^=y-b ^x =1.125,最后回代a =x 1可得y^=1.125+x973.8, 因此y 与x 的回归方程为y^=1.125+x973.8.类题演练 3为了研究三月下旬的平均气温x (单位:℃)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y 的关系,某地区观察了2000年至2005年间的情况,得到下面的数据表: 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005x 24.4 29.5 32.9 28.7 30.3 28.9 y19611018(1)根据规律推断,该地区2006年三月下旬平均气温为27℃,试估计2006年四月化蛹高峰日为哪一天?(2)对变量x 、y 进行相关性检验. 解析:(1)x =61(24.4+29.5+…+28.9)≈29.12, y=61(19+6+…+8)=7.5, ∑x i 2=24.42+…+28.92=5 125.01,∑y i 2=192+…+82=563,∑x i y i =24.4×19+…+28.9×8=1 222, ∴b ^=212.29601.512512.295.761222⨯-⨯⨯-≈-2.3, a ^=y -b x =7.5+2.3×29.12=74.476.回归直线方程为y^=-2.3x +74.476.当x =27时,y^=- 2.3×27+74.476=12.376.据此估计该地区2006年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=∑∑∑===---6161222261)6)(6(6i i i i i iiy y x x yx yx =-0.949 3,由于|r|接近于1,故变量y 与x 存在很强的线性相关关系. 变式提升在钢线碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表: 碳含量 (x /%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20℃时电阻(y /Ω)1518192122.6 23.626求y 对x 的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性.解析:由已知数据x =71∑=71i i x ≈0.543,y=71×145.2≈20.74,∑=712i i x =2.595,∑=712i i y = 3094.72,∑=71i ii yx =85.45,∴b ^≈2)543.0(7595.274.20543.0745.85⨯-⨯⨯-≈12.45. ∴a ^=20.74-12.45×0.543≈13.98. 回归直线方程为y^=13.98+12.45x . 利用相关系数检验是否显著,∑=71i ii yx -7x y =85.45-7×0.543×20.74≈6.62,∑=712i ix-5x 2=2.595-5×(0.543)2≈1.121,∑=712i i y -5y 2=3 094.72-5×(20.74)2=943.982,∴r=982.943121.162.6⨯≈0.2.由于r 接近于0,故钢线碳含量对电阻的效应线性相关关系不显著.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

3.2 回归分析1．线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 称为数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程，其中a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值，其中：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .预习交流1线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 与一次函数y ＝a ＋kx 有何区别？提示：一次函数y ＝a ＋kx 是y 与x 的确定关系，给x 一个值，y 有唯一确定的值与之对应，而线性回归直线方程是y 与x 的相关关系的近似反映，两个数据x ，y 组成的点(x ，y )可能适合线性回归直线方程，也可能不适合．2．相关系数对于x ，y 随机取到的n 对数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )样本，相关系数r 的计算公式为：r ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n (y i －y)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n x 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，r 具有如下性质：(1)|r |≤1；(2)|r |越接近于1，x ，y 的线性程度越高；(3)|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．预习交流2如何利用r 的临界值判断两个变量的线性相关关系？提示：(1)提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在相关性检验的临界值表中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r ；(4)作出统计推断：若|r |＞r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．1．线性回归方程的求法(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程． 思路分析：求回归直线方程必须先对两个变量进行相关性判断，若两个变量存在较大的相关性，则可利用公式求回归直线方程的系数；若两个变量不具备相关关系，则求回归直线方程将变得毫无意义．解：(1)散点图如图．(2)由散点图可知，y 与x 呈相关关系，设回归直线方程为：y ^＝b ^x ＋a ^. 经计算，得x ＝6，y ＝210.4，∑5i ＝1x 2i ＝220，∑5i ＝1x i y i ＝7 790. ∴b ^＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝36.95， a ^＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴回归直线方程为y ^＝36.95x －11.3.某地植被面积x ((1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，则下降的气温大约是多少℃？解：(1)x ＝20＋40＋50＋60＋805＝50，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.∑i ＝15x i y i ＝20×3＋40×4＋50×4＋60×4＋80×5＝1 060，∑i ＝15x 2i ＝202＋402＋502＋602＋802＝14 500. 所以b ^＝1 060－5×50×414 500－5×502＝0.03，a ^＝4－0.03×50＝2.5.故y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.03x ＋2.5.(2)由(1)得：当x ＝200时，y ^＝0.03×200＋2.5＝8.5. 所以植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5 ℃.先作出散点图可直观地判断两个变量的相关关系，线性回归直线方程一定过样本中心(x ，y )．2．相关系数及相关性检验现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x )与入学后的第一次考试中的思路分析：先利用相关系数计算公式r ＝∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n x 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)计算出r ，当|r |越接近于1时，两个变量越具有很强的线性关系．解：由题意得：x ＝110×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y ＝110×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑i ＝110x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ∑i ＝110y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，i ＝1nx i y i ＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，∴r ＝73 796－10×107.8×68(116 584－10×107.82)·(47 384－10×682)≈0.750 6.∵0.750 6接近于1，∴两次数学考试成绩有显著性线性相关关系．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？于是r ＝∑i ＝1x i y i －10x y(∑10i ＝1x 2i －10x 2)(∑10i ＝1y 2i －10y 2)≈0.990 6.∵0.990 6非常接近于1，∴y 与x 具有显著的线性相关关系．(2)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^的值使Q ＝∑10i ＝1(y i －b ^x i －a ^)2的值最小． b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.267，a ^＝y －b ^x ≈－30.47，即所求的线性回归方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47≈172，即大约冶炼172 min. 如果两个变量不具备线性相关关系或者线性相关关系不显著，即使求出线性回归方程也无意义，用于估计和测量的结果也是不可信的．1．已知x ，y则y 与x 的回归直线方程y ＝b x ＋a 必过定点__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 解析：x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝32.y ＝14×(1＋3＋5－a ＋7＋a )＝4，而y ^＝b ^x ＋a ^过(x ，y )． 2．已知x ，y从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝__________. 答案：2.6解析：x ＝14×(0＋1＋3＋4)＝2，y ＝14×(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5.4．5＝0.95×2＋a ^，∴a ^＝2.6.3根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__________．答案：65.5万元解析：x ＝3.5，y ＝4.2，∵4.2＝9.4×3.5＋a ^，∴a ^＝9.1.∴y ^＝9.4x ＋9.1.当x ＝6时，y ^＝65.5(万元)．4．如下表中给出五组数据(x ，y )，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组(－5，－3)答案：三解析：应去掉第三组；画散点图可以发现．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)现需生产20件此零件，预测需用多长时间？解：(1)x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝2＋3＋5＋84＝4.5，b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝(2＋6＋15＋32)－4×2.5×4.5(1＋4＋9＋16)－4×2.5×2.5＝2， a ^＝y －b ^x ＝4.5－2×2.5＝－0.5，所以y ^＝2x －0.5.(2)因为y ^＝2×20－0.5＝39.5(小时)，所以生产20件此零件，预测需用39.5小时．。

3.2回归分析（2）教学目标（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用； （2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题； （3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用． 教学重点，难点相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 教学过程 一．问题情境1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． 二．学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． 三．建构数学1．相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =L ，样本相关系数r 的计算公式为112222221111()()()()(())(())nniii ii i n nn niii i i i i i x x y y x y nx yr x x y y x n x y n y ======---==-⋅-⋅--∑∑∑∑∑∑．()22．相关系数r 的性质：246810051015系0246810051015（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强； （3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3．对相关系数r 进行显著性检验的步骤：相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系．说明：1．对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2．这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释． 4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验： （1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =； （3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为$527.59114.453y x =+是有意义的． 四．数学运用 1．例题：例1．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y与x之间的关系．母亲身高/x cm154157158159160161162163女儿身高/y cm155156159162161164165166解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，因为()1541571638159.25x=+++÷=L，()1551561668161y=+++÷=L，()82222218()1541638159.2559.5iix x=-=++-⨯=∑L，()82222218()1551668161116iiy y=-=++-⨯=∑L，()8181541551631668159.2516180i iix y x y=-⨯++⨯-⨯⨯=∑L，所以963.01165.5980≈⨯=r，由检验水平0.05及26n-=，在附录2中查得707.005.0=r，因为0.9630.707>,所以可以认为x与y之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bxε=++中,a b 的估计值$,a b$分别为()81822181.345,8i iiiix y x ybx x==-=≈-∑∑$53.191a y bx=-≈-$，故y对x的线性回归方程为xy345.1191.53+-=)．例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 高一期末成绩y65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 x y （2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．解：(1)因为()16367767010x =⨯+++=L ，()16578757610y =⨯+++=L ，101()()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2101()2474xx i i L x x ==-=∑，1021()2056yy i i L y y ==-=∑．因此求得相关系数为10110102211()()0.840()()iii xx yyi i i i x x y y L r L L x x y y ===--===--∑∑∑．结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；小结解决这类问题的解题步骤：（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数r ；（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较强的线性相关关系； （4）计算$a，b $，写出线性回归方程． 2．练习：104P 练习第1题． 五．回顾小结：1．相关系数的计算公式与回归系数b$计算公式的比较； 2．相关系数的性质；3．探讨相关关系的基本步骤． 六．课外作业：106P 习题3.2第1题．。

3.2 回归分析1．会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．2．了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(重点、难点)3．了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．[基础·初探]教材整理1 线性回归模型阅读教材P 100～P 103“例1”以上部分，完成下列问题．1．线性回归模型的概念：将y ＝a ＋bx ＋ε称为线性回归模型，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差．2．线性回归方程：直线y ^＝a ^＋b ^x 称为线性回归方程，其中a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.其中x －＝1n∑n i ＝1x i ，y －＝1n∑n i ＝1y i .设某大学生的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号)．(1)y 与x 具有正的线性相关关系； (2)回归直线过样本点的中心(x ，y )；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； (4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg.【解析】 回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，B 正确；∵回归方程y ^＝0.85x －85.71，∴该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，(3)正确；(4)不正确．【答案】 (1)(2)(3) 教材整理2 相关关系阅读教材P 104～P 105“例2”以上部分，完成下列问题． 1．相关系数是精确刻画线性相关关系的量．2．相关系数r ＝∑ni ＝1x i －x－y i －y－∑n i ＝1x i －x－2∑n i ＝1y i －y－2＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －⎝⎛⎭⎫∑ni ＝1x 2i －nx－2⎝⎛⎭⎫∑ni ＝1y 2i －ny－2.3．相关系数r 具有的性质： (1)|r |≤1；(2)|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强； (3)|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱． 4．相关性检验的步骤：(1)提出统计假设H 0：变量x ，y 不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在附录2中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r ；(4)作出统计推断：若|r |>r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验．( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]回归分析的有关概念(1)有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确的命题是__________(填序号)．(2)如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿．【自主解答】 (1)①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确．④在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系，故不正确．(2)由题意可得：y ^＝0.8x ＋2＋e ，当x ＝10时，y ^＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ，又|e |≤0.5，∴9.5≤y ^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿．【答案】(1)①②③(2)10.51．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程．2．由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．3．随机误差的主要来源(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；(2)省略了一些因素的影响产生的误差；(3)观测与计算产生的误差．[再练一题]1．下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).【导学号：29440068】①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程．【解析】只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程．【答案】④求线性回归方程某班5学生A B C D E学科成绩数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．【精彩点拨】先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用线性回归模型求解．【自主解答】 (1)散点图如图所示．(2)由散点图可知y 与x 之间具有线性相关关系． 因为x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，∑5i ＝1x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5 x － y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625， a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96时，y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.1．求线性回归方程的基本步骤：2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．[再练一题]2．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场调查中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：x35 40 45 50 y56412811(1)y 与x (方程的回归系数保留一位有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【解】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x －＝42.5，y －＝34，则求得b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x － y－∑4i ＝1x 2i －4x－2＝－370125≈－3， a ^＝y －－b ^x －＝34－(－3)×42.5＝161.5，∴y ^＝－3x ＋161.5.(2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30)＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.5212－4 845. ∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润． [探究共研型]线性回归分析探究1 作散点图的目的是什么？【提示】 直观分析数据是否存在线性相关关系．探究2 下表显示出变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断表示y 与x 之间的关系最可能的是________．(填序号)x 4 5 6 7 8 9 10 y14181920232528①线性函数模型；②二次函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．【提示】 画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在一条直线附近，故最可能是线性函数模型．故填①10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y76757170767965776272其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． (1)y 与x 是否具有相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．【精彩点拨】 可先计算线性相关系数r 的值，然后与r 0.05比较，进而对x 与y 的相关性做出判断．【自主解答】 (1)由已知表格中的数据，求得x ＝71，y ＝72.3，r ＝∑i ＝110x i －xy i －y∑i ＝110x i －x2∑i ＝110 y i －y2≈0.78.由检验水平0.05及n －2＝8，在课本附录2中查得r 0.05＝0.632，因为0.78>0.632， 所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系． (2)y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则有b ^＝∑i ＝110x i －xy i －y∑i ＝110x i －x2≈1.22，a ^＝y －－b ^x －＝72.3－1.22×71＝－14.32.所以y 关于x 的回归直线方程为y ^＝1.22x －14.32.1．线性回归分析必须进行相关性检验；若忽略，则所求回归方程没有实际意义． 2．|r |越接近于1，两变量相关性越强，|r |越接近于0，两变量相关性越弱．[再练一题]3．关于两个变量x 和y 的7组数据如下表所示：x 21 23 25 27 29 32 35 y711212466115325试判断x 与y 之间是否有线性相关关系．【解】 x －＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y －＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑7i ＝1x 2i ＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，∑7i ＝1x i y i ＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，∑7i ＝1y 2i ＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，∴r ＝∑7i ＝1x i y i －7 x － y－∑7i ＝1x 2i －7x －2∑7i ＝1y 2i －7y－2＝18 542－7×27.4×81.35 414－7×27.42124 393－7×81.32≈0.837 5. ∵0.837 5>0.755，∴x 与y 之间具有线性相关关系．[构建·体系]1．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点得到的线性回归直线(如图3­2­1)，以下结论正确的序号是__________．图3­2­1①直线l过点(x，y)；②x和y的相关系数为直线l的斜率；③x和y相关系数在0到1之间；④当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同．【解析】因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以②③错误；④中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可能不相同，所以④错误；根据回归直线方程一定经过样本中心点可知①正确．【答案】①2．根据如下样本数据：x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0 得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列说法正确的是__________．(填序号)①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.【解析】由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b<0，a>0，故②正确．【答案】②3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y ＝__________. 【导学号：29440069】【解析】 由回归系数的意义可知当变量x 增加一个单位时，y ^的平均改变量为b ^，由题目回归方程y ^＝2－2.5x ，可得当变量x 增加一个单位时，y ^平均减少2.5个单位． 【答案】 平均减少2.5个单位4．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．【解析】 由题意知x ＝2，y ＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －b ^x ＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .【答案】 y ^＝－10＋6.5x5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b ^x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵b ^＝－20，a ^＝y －b ^x ， ∴a ^＝80＋20×8.5＝250， ∴回归直线方程为y ^＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，∴该产品的单价应定为334元时，工厂获得的利润最大．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图3­2­2所示，对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断________．图3­2­2①变量x 与y 正相关，u 与v 正相关； ②变量x 与y 正相关，u 与v 负相关； ③变量x 与y 负相关，u 与v 正相关； ④变量x 与y 负相关，u 与v 负相关．【解析】 由图(1)知，x 与y 是负相关，由图(2)知，u 与v 是正相关，故③正确． 【答案】 ③2．已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则线性回归方程为________．【解析】 ∵a ^＝y －b ^x ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5≈6.65. ∴y ^＝0.51x ＋6.65. 【答案】 y ^＝0.51x ＋6.653．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型，预报广告费用为6万元时销售额为______万元．【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.【答案】 65.54．对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,14}，则y －＝________.【解析】 由x －＝8，得y －＝1.5×8＋45＝57. 【答案】 575．已知x ，y 的取值如下表：画出散点图，从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 【导学号：29440070】【解析】 因为回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，解得x －＝2，y －＝4.5，将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^，可得a ^＝2.6.【答案】 2.66．一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．【解析】 ∵样本点的中心为(10,38)，∴38＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝58，即y ^＝－2x ＋58. ∴当x ＝6时，y ＝46. 【答案】 467．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ＝3x ＋20，若∑i ＝110x i ＝18，则∑i ＝110y i ＝________.【解析】 由于∑i ＝110x i ＝18，则x －＝1.8，∵(x －，y －)在回归方程上， ∴y －＝3×1.8＋20＝25.4， ∴∑i ＝110y i ＝10y －＝254.【答案】 2548．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08 二、解答题 9．对于数据组：(1)(2)求线性回归方程．【解】 (1)作图略．x ，y 具有很好的线性相关性． (2)设y ^＝a ^＋b ^x ，因为x －＝2.5，y －＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60， ∑4i ＝1x 2i ＝30，故b ^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a ^＝y －－b ^x －＝5－2×2.5＝0，故所求的回归直线方程为y ^＝2x .10．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故的统计资料，求出y 关于x 的线性回归方程.机动车辆数x /千台95110112120129135150180交通事故数y /千件6.27.5 7.78.5 8.79.8 10.2 13【解】 ∑8i ＝1x i ＝1 031，∑8i ＝1y i ＝71.6，∑8i ＝1x 2i ＝137 835，∑8i ＝1x i y i ＝9 611.7，x ＝128.875，y －＝8.95，将它们代入⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，计算得b ^≈0.077 4.a ^＝－1.025，所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.025.[能力提升]1．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ^＝3x ＋20，若∑10i ＝1x i ＝18，则∑10i ＝1y i ＝________. 【解析】 由∑10i ＝1x i ＝18，得x ＝1.8. 因为点(x ，y )在直线y ^＝3x ＋20上，则y ＝25.4.所以∑10i ＝1y i ＝25.4×10＝254. 【答案】 2542．(2016·徐州月考)已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x －＝61.75，y －＝38.14，则线性回归方程为________．【解析】 ∵a ^＝y －－b ^x －＝38.14－0.51×61.75 ＝6.647 5≈6.65.∴y ^＝0.51x ＋6.65.【答案】 y ＝0.51x ＋6.653．(2016·南京检测)若线性回归方程中的回归系数b ^＝0，则相关系数r ＝________.【解析】 b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，r ＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2.由计算公式知，若b ＝0，则r ＝0. 【答案】 04．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽y (颗)2325302616剩下的2组数据用于回归方程检验．(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？(3)请预测温差为14 ℃的发芽数．【解】 (1)由数据求得，x ＝12，y ＝27， 由公式求得，b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． (3)当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝35－3＝32，所以当温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3.2回归分析(二)课时目标1.进一步理解回归分析的基本思想.2.了解一些非线性回归问题的解法．1．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤如下：(1)提出统计假设H0：变量x，y________________________；(2)如果以95%的把握作出推断，可以根据1－0.95＝0.05与n－2在附录2中查出一个r 的____________(其中1－0.95＝0.05称为____________)；(3)计算________________；(4)作出统计推断：若____________，则否定H0，表明有________的把握认为x与y之间具有________________；若____________，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为x与y之间有________________．2．用相关系数可以对两个变量之间的______________进行较为精确的刻画，运用________的方法研究一些非线性相关问题．一、填空题1．下列说法正确的是________．(填序号)①y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量；②正四面体的体积与其棱长具有相关关系；③电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系；④传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量．2．两个变量成负相关关系时，散点图的点散布特征是________________________．3．已知x与y之间的一组数据如下表：x 012 3y 1357则y关于x的线性回归直线必过________点．4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是______.x/万元24568y/万元30406050705.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：零件数x /个10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y /分62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 则加工时间y (分)与零件数x (个)之间的相关系数r ＝________.(精确到0.000 1)6．对有关数据的分析可知，每一立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确到0.1 kg)7．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1986 1991 1996 2001 产量8.6 10.4 12.9 16.1 根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种________．(填序号)①y ^ ＝a ^ x ＋b ^ (a ≠0)；②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；③y ＝a x (a >0且a ≠1)；④y ＝log a x (a >0且a ≠1)．8．下列说法中正确的是________(填序号)．①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．二、解答题9．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的．若10名学生的初一(x )和初二(y )数学分数如下：x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，y (单位：mg)表示未转化物质的质量.x /min 1 2 3 4 5 6y /mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3(1)设y 与x 之间具有关系y ＝cd x ，试根据测量数据估计c 和d 的值(精确到0.001)；(2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1)．能力提升11．测得某国家10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x ) 6062 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高(y ) 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．12．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y 对x 的线性回归方程．1．利用回归分析可对一些实际问题作出预测．2．非线性回归方程有时并不给出回归模型，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与我们所学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)图象进行比较，挑选一种拟和比较好的函数，把问题通过变量转换，转化为线性的回归分析问题，使之得到解决．3．2 回归分析(二)答案知识梳理1．(1)不具有线性相关关系 (2)临界值r 0.05 检验水平 (3)样本相关系数r(4)|r |>r 0.05 95% 线性相关关系 |r |≤r 0.05 线性相关关系2．线性相关程度 转化作业设计1．④解析 感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．2．从左上角到右下角区域内解析 散点图的主要作用是直观判断两个变量之间的相关关系．一般地说，当散点图中的点是呈“由左下角到右上角”的趋势时，则两个变量之间具有正相关关系；而当散点图中的点是呈“由左上角到右下角”的趋势时，则两个变量之间具有负相关关系．3．(1.5,4)解析 在本题中，样本点的中心为(1.5,4)，所以回归直线过(1.5,4)点．4．(6,50)5．0.999 8解析 x ＝55，y ＝91.7，∑10i ＝1x 2i ＝38 500， ∑10i ＝1y 2i ＝87 777，∑10i ＝1x i y i ＝55 950， 所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10·x ·y(∑10i ＝1x 2i －n x 2)(∑10i ＝1y 2i －n y 2)≈0.999 8. 6．265.7 7.①8．④⑤解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．9．解 因为x ＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以，b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2. a ^ ＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2， 线性回归方程是：y ^＝1.218 2x －14.192 2.10．解 (1)在y ＝cd x 两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得 x 1 2 3 4 5 6y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得a ^ ≈3.905 5，b ^ ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ^＝3.905 5－0.221 9x .而ln c ＝3.905 5，ln d ＝－0.221 9，故c ≈49.681，d ≈0.801，所以c 、d 的估计值分别为49.681，0.801.(2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg)．11．解 (1)x ＝66.8，y ＝67.01，∑10 i ＝1x 2i ＝44 794，∑10 i ＝1y 2i ＝44 941.93.x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34，∑10 i ＝1x i y i ＝44 842.4. 所以r ＝∑10 i ＝1x i y i －10x y⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1x 2i －10x 2⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1y 2i －10y 2 ＝44 842.4－10×4 476.27(44 794－44 622.4)(44 941.93－44 903.4) ＝79.76 611.748≈79.781.31≈0.980 2. 由于r 非常接近于1，所以y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设线性回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^.由b ^＝∑10 i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x2＝44 842.4－44 726.744 794－44 622.4＝79.7171.6≈0.4645， a ^ ＝y －b ^x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.故所求的线性回归方程为y ^ ＝0.464 5x ＋35.98. (3)当x ＝73时，y ^＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．12．解 把1x 置换为z ，则有z ＝1x， 从而z 与y 的数据为 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．z ＝110×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1， y ＝110×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14， ∑10i ＝1z 2i ＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052 ＝1.415，∑10i ＝1y 2i ＝10.152＋5.522＋…＋1.212＋1.152 ＝171.803， ∑10i ＝1z i y i ＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15＝15.221 02，所以b ^ ＝∑10i ＝1z i y i －10z y∑10i ＝1z 2i －10z 2≈8.976， a ^ ＝y －b ^ z ＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，所以所求的z 与y 的线性回归方程为y ^＝8.976z ＋1.120.又因为z ＝1x ，所以y ^ ＝8.976x＋1.120.。

§3.2 回归分析(二)课时目标1.进一步理解回归分析的基本思想.2.了解一些非线性回归问题的解法．1．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤如下：(1)提出统计假设H0：变量x，y________________________；(2)如果以95%的把握作出推断，可以根据1－0.95＝0.05与n－2在附录2中查出一个r 的____________(其中1－0.95＝0.05称为____________)；(3)计算________________；(4)作出统计推断：若____________，则否定H0，表明有________的把握认为x与y之间具有________________；若____________，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为x与y之间有________________．2．用相关系数可以对两个变量之间的______________进行较为精确的刻画，运用________的方法研究一些非线性相关问题．一、填空题1．下列说法正确的是________．(填序号)①y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量；②正四面体的体积与其棱长具有相关关系；③电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系；④传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量．2．两个变量成负相关关系时，散点图的点散布特征是________________________．3．已知x与y之间的一组数据如下表：则y 关于x 4．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是5.为此进行了10次试验，6．对有关数据的分析可知，每一立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位：kg/cm 2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ^＝0.30x ＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm 2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确到0.1 kg)7．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的回归模型是下列四种模型中的哪一种________．(填序号)①y ^＝a ^x ＋b ^(a ≠0)；②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；③y ＝a x(a >0且a ≠1)； ④y ＝log a x (a >0且a ≠1)．8．下列说法中正确的是________(填序号)．①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．二、解答题9．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的．若10名学生的初一(x )和初二(y )10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，y ((1)设y 与0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1)．能力提升11(1)(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出yx对x的线性回归方程．1．利用回归分析可对一些实际问题作出预测．2．非线性回归方程有时并不给出回归模型，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与我们所学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)图象进行比较，挑选一种拟和比较好的函数，把问题通过变量转换，转化为线性的回归分析问题，使之得到解决．3．2 回归分析(二)答案知识梳理1．(1)不具有线性相关关系 (2)临界值r 0.05 检验水平 (3)样本相关系数r (4)|r |>r 0.05 95% 线性相关关系 |r |≤r 0.05 线性相关关系 2．线性相关程度 转化 作业设计 1．④解析 感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．2．从左上角到右下角区域内解析 散点图的主要作用是直观判断两个变量之间的相关关系．一般地说，当散点图中的点是呈“由左下角到右上角”的趋势时，则两个变量之间具有正相关关系；而当散点图中的点是呈“由左上角到右下角”的趋势时，则两个变量之间具有负相关关系．3．(1.5,4)解析 在本题中，样本点的中心为(1.5,4)，所以回归直线过(1.5,4)点． 4．(6,50) 5．0.999 8解析 x ＝55，y ＝91.7，∑10i ＝1x 2i ＝38 500， ∑10i ＝1y 2i ＝87 777，∑10i ＝1x i y i ＝55 950， 所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10·x ·y(∑10i ＝1x 2i －n x 2)(∑10i ＝1y 2i －n y 2)≈0.999 8.6．265.7 7.①8．④⑤解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．9．解 因为x ＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以，b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2. a ^＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是：y ^＝1.218 2x －14.192 2.10．解 (1)在y ＝cd x两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由公式得a ≈3.905 5，b ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x .而ln c ＝3.905 5，ln d ＝－0.221 9，故c ≈49.681，d ≈0.801，所以c 、d 的估计值分别为49.681，0.801.(2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg)．11．解 (1)x ＝66.8，y ＝67.01，∑10 i ＝1x 2i ＝44 794，∑10 i ＝1y 2i ＝44 941.93.x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34，∑10i ＝1x i y i ＝44 842.4.所以r ＝∑10 i ＝1x i y i －10x y⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1x 2i －10x 2⎝⎛⎭⎫∑10 i ＝1y 2i －10y 2＝44 842.4－10×4 476.27(44 794－44 622.4)(44 941.93－44 903.4)＝79.76 611.748≈79.781.31≈0.980 2.由于r 非常接近于1，所以y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.由b ^ ＝∑10 i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x2＝44 842.4－44 726.744 794－44 622.4＝79.7171.6≈0.4645，a ^＝y －b ^x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.故所求的线性回归方程为y ^＝0.464 5x ＋35.98.(3)当x ＝73时，y ^＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．12．解 把1x 置换为z ，则有z ＝1x，从而回归方程来拟合．z ＝110×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，y ＝110×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，∑10i ＝1z 2i ＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052＝1.415，∑10i ＝1y 2i ＝10.152＋5.522＋…＋1.212＋1.152＝171.803，∑10i ＝1z i y i ＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15＝15.221 02， 所以b ^＝∑10i ＝1z i y i －10z y∑10i ＝1z 2i －10z2≈8.976，a ^＝y －b ^z ＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，所以所求的z 与y 的线性回归方程为y ^＝8.976z ＋1.120.又因为z ＝1x ，所以y ^＝8.976x＋1.120.。