下载文档原格式
第三节等腰三角形与直角三角形1．(2017武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D)A．4 B．5 C．6 D．7(第1题图)(第2题图)2．(2017遵义红花岗二模)如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE ＝1，则AC的长为( D)A. 5 B．2 C. 3 D. 23．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BC＝2，则AC的长为( B)A. 3 B．1 C. 2 D．2(第3题图)(第4题图)4．(2017南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( D)A．(1，1) B．(3，1) C．(3，3) D．(1，3)5．(2017陕西中考)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( D)A．2个B．3个C．4个D．5个(第5题图)(第6题图)6．(2017东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．7．(2017绥化中考)在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角的度数为__30°或150°或90°__．8．(聊城中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是．9．(2017遵义航中二模)已知：一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为__5__．10．(2017遵义十一中二模)如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数； (2)若CD ＝2，求DF 的长． 解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B＝60°， ∵EF ⊥DE ，∴∠F ＝90°－∠EDC＝30°；(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC ＝60°， ∴△EDC 是等边三角形， ∴ED ＝CD ＝2，∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4.11．(汇川升学中考模拟)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝( B )A .78B .45C .56D .67(第11题图)(第12题图)12．(汇川升学二模)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，……，按照此规律继续下去，则S 2 015的值为( C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2 012B .⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2 013 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫122 012 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫122 01313．(2017庆阳中考)如图，一张三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6cm .现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于__154__cm .(第13题图)(第14题图)14．(淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__1.2__.15．(2017长春中考)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形，若EF＝2，DE＝8，则AB的长为__10__．图①图②16．(2017遵义升学三模)如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一个45°角的顶点放在C 处，两边分别与AB交于E，F两点．(1)将所得△ACE以C为中心，按逆时针方向旋转到△BCG，试求证：△EFC≌△GFC；(2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的长．解：(1)由旋转知：△BCG≌△ACE.∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE，∵∠ACE＋∠BCF＝45°，∴∠BCG＋∠BCF＝45°，即∠GCF＝∠ECF＝45°，而CF为公共边，∴△EFC≌△GFC(SAS)；(2)连接FG，由△BCG≌△ACE知：∠CBG＝∠A＝45°，∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°，由△EFC≌△GFC知：EF＝GF，设BG＝AE＝3x，BF＝4x，则在Rt△GBF中，GF＝5x，∴EF＝GF＝5x，于是3x＋5x＋4x＝10，解得x ＝56，∴EF ＝256.17．(菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.图①图②(1)如图①，过点A 作AF⊥AB，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明；(2)如图②，E 是直线BC 上的一点，且CE ＝BD ，直线AE ，CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．解：(1)△CDF 是等腰直角三角形． 理由如下：∵∠ABC＝90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD ＝∠DBC.∵AD ＝BC ，AF ＝BD ，∴△FAD ≌△DBC. ∴FD ＝DC ，∠DCB ＝∠FDA. ∵∠DCB ＋∠BDC＝90°，∴∠FDA ＋∠BDC＝90°.即∠CDF＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形；(2)∠APD 的度数是一个固定的值．理由如下： 过点A 作AF⊥AB，并截取AF ＝BD ，连接DF ，CF. ∵∠ABC ＝90°，AF ⊥AB ， ∴AF∥CE.又∵BD＝CE ，AF ＝BD ，∴AF ＝CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形． ∴FC ∥AE.∴∠APD ＝∠FCD＝45°.。
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线1．(2017常德中考)若一个角为75°，则它的余角的度数为( D)A．285°B．105°C．75°D．15°2．(2017自贡中考)如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝( C)A．45°B．50°C．55°D．60°(第2题图)(第3题图)3．(2017百色中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是( B)A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠74．(东营中考)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C)A．30°B．35°C．40°D．50°(第4题图)(第5题图)5．(襄阳中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C的度数为( C)A．50°B．40°C．30°D．20°6．(2017福州中考)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( B),A),B),C),D)7．(湘西中考)如图，直线CD∥EF，直线AB与CD，EF分别相交于点M，N，若∠1＝30°，则∠2＝__30°__．8．(2017荆州中考)一把直尺和一块三角板ABC(含30°，60°角)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为( D)A．40°B．45°C．50°D．10°(第8题图)(第9题图)9．(2017宁波中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( D)A．20°B．30°C．45°D．50°10．(枣庄中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( B)A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′(第10题图)(第11题图)11．(昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__40°__．12．(宜宾中考)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75°__．(第12题图)13．(2017德州中考)如图，利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l平行线的方法，其理由是__同位角相等，两直线平行__．。
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线,遵义五年中考命题规律),遵义五年中考真题及模拟)平行线的性质1．(2017遵义中考)如图，△ABC中，E是BC中点，A D是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F.若AB＝11，AC ＝15，则FC的长为( C)A．11 B．12 C．13 D．14,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2017遵义中考)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为( D) A．45°B．30°C．20°D．15°3．(2016遵义中考)如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b 上，则∠1＋∠2的值为( A)A．90°B．85°C．80°D．60°(第3题图)(第4题图)4．(2015遵义中考)如图，直线l1∥l2，∠1＝62°，则∠2的度数为( D)A．152°B．118°C．28°D．62°5．(2014遵义中考)如图，直线l1∥l2，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1＋∠2＝( A)A．30°B．35°C．36°D．40°(第5题图)(第6题图)6．(2013遵义中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是( A)A．70°B．80°C．65°D．60°直线与线段7．(2016遵义一中一模)直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有( B)A．2个B．3个C．4个D．6个,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线． (2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图①，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．如图②，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两边无限延伸所形成的图形． (2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°， 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. 4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A .如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；B ．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A .如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；B ．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A .两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；B ．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角有：∠1与∠3，∠2与__∠4__，∠5与∠7，∠6与__∠8__．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__．(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__．(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法点拨】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)补角、余角的计算【例1】(2018原创)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130°B．140°C．50°D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【答案】A1．(2016遵义二中一模)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C)A．4个B．3个C．2个D．1个(第1题图)(第2题图)2．(2018原创)如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( D)A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°C．∠2＋∠4<180°D．∠3＋∠5＝180°平行线的性质【例2】如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( )A．85°B．60°C．50°D．35°【解析】过A点作直线c∥b，则c∥a，∵a∥c，∴∠1＝∠4＝85°，又b∥c，∴∠3＝∠5，又∵∠2＝35°，∴∠5＝85°－35°＝50°，∴∠3＝50°.【答案】C3．(2016汇川升学模拟)如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数是( B)A．75°B．35°C．40°D．55°,(第3题图)),(第4题图)) 4．(2017重庆中考)如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．解：∵EF∥GH，∴∠ABD＋∠FAC＝180°，∴∠ABD＝180°－72°＝108°.∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )A．120°B．135°C．150°D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【答案】C5．(2016遵义升学样卷)如图，直线a∥b，直角三角形ABC的直角顶点B在直线b上，∠1＝36°，则∠2＝__126°__ .,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2017重庆中考)如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE 的度数．解：∵∠AEC＝42°，∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.∵EF平分∠AED，∴∠DEF＝∠AEF＝69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°.。
第三节等腰三角形与直角三角形1．(白银中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C)A．3 B．4 C．5 D．6(第1题图)(第2题图)2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( C) A．0.7 m B．1.5 mC．2.2 m D．2.4 m3．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( D)A．44°B．66°C．88°D．92°(第3题图)(第5题图)4．(2016保定十七中模拟)在△A BC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为( D) A．32 B．42C．40或42 D．32或425．(宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( B)A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形6．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( D )A ．∠A ＋∠B＝∠CB ．∠A －∠B＝∠CC ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D ．∠A ＝∠B＝3∠C7．如图，已知△ABC 的面积为10 cm 2，BP 为∠ABC 的平分线，AP 垂直BP 于点P ，则△PBC 的面积为( B )A ．4 cm 2B ．5 cm 2C ．6 cm 2D ．7 cm 28．(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m 和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( C )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝0(第7题图)(第9题图)9．(2017益阳中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为__2a ＋3b__．10．(2017绥化中考)在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角的度数为__30°或150°或90°__．11．(2017绍兴中考)如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是．12．在等边△ABC 中，点E 是AB 上的动点，点E 与点A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且EC ＝ED.(1)当BE ＝AE 时，求证：BD ＝AE ；(2)当BE≠AE 时，“BD ＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD 与AE 数量关系式；若你认为成立，请给予证明．解：(1)在等边△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB＝60°.∵BE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠ECB＝30°. 又∵CE＝DE ，∴∠D ＝∠ECD＝30°. ∴∠DEB ＝30°，∴BE ＝BD ，∴BD ＝AE ； (2)BD ＝AE 还成立．理由如下：如图②，过点E 作EF∥AC 交BC 于点F.易证△EFB 为等边三角形． ∴EF ＝FB ＝BE.∴∠EFB＝∠EBF. ∴∠CFE ＝∠EBD. ∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D. ∴△EBD ≌△EFC(AAS )，∴CF ＝BD. ∵AB ＝BC ，∴AB －BE ＝BC －BF ， 即A E ＝CF ，∴BD ＝AE.13．(威海中考)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B )A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°14．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32 B .332 C .32D ．不能确定15．(2017咸宁中考)如图，在Rt △ACB 中，BC ＝2，∠B AC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM ，ON 上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA ＝23； ②C ，O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB⊥CO； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2.其中正确的是__①②③__．(填序号)(第15题图)(第16题图)16．(2017齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__．17．(潍坊中考)已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．18．(2016邯郸十一中一模)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DF C≌△AFM，∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.理由：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC.∴∠FDE＝∠FMC＝45°.∴DE∥CM，由题意得AD⊥DE，∴AD⊥MC.19．如图，△ABC中，BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，AE⊥BE于E，AF⊥CF于F.求证：EF∥BC.证明：延长AE，AF分别交BC于点M，N.∵BE平分∠ABM，∴∠ABE＝∠CBE.∵AB⊥BE，∴∠AEB＝∠MEB＝90°.在Rt△ABE和Rt△MBE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠MBE，BE ＝BE ，∠AEB ＝∠MEB，∴Rt △ABE ≌△Rt △MBE(SAS )． ∴AE ＝EM. 同理，AF ＝FN ， ∴EF 为△AMN 的中位线， ∴EF ∥MN ， ∴EF ∥BC.。
