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方法技巧专题一 数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．[2017·怀化] 一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( )A ．12 B.14C ．4D ．8 4．[2017·聊城] 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．[2016·天津] 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48．[2017·十堰] 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________． 三、解答题14．[2016·菏泽] 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．图F 1－10参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n－12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点； 第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点； 第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时， ＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…， 第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行， 即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. ∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。
题型一 规律探索类型一 数与式规律探索 1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B )A ．－121B ．－100C ．100D ．121 2．(2017·武汉)按照一定规律排列的n 个数：－2、4、－8、16、－32、64、…，若最后三个数的和为768，则n 为(导学号 35694235)(B )A ．9B ．10C ．11D ．123．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，则x n ＋x n＋1＝__(n ＋1)2__．4．若x 是不等于1的实数，我们把11－x 称为x 的差倒数，如2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12，现已知x 1＝－13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，以此类推，则x 2018＝__34__．5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝__1016064__．6．小明写出如下一组数：15，－39，717，－1533，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为__－22014－122015＋1__．7．(2017·云南)观察下列各个等式的规律： 第一个等式：22－12－12＝1，第二个等式：32－22－12＝2，第三个等式：42－32－12＝3，…请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的． 解：(1)第四个等式为：52－42－12＝4；(2)第n 个等式为：（n ＋1）2－n 2－12＝n;证明如下：∵（n ＋1）2－n 2－12＝n 2＋2n ＋1－n 2－12＝2n 2＝n ，∴左边＝右边，等式成立．类型二 图形规律探索 1．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C )A ．121B ．362C ．364D ．7292．如图，在△ABC 中，BC ＝1，点P 1，M 1分别是AB ，AC 边的中点，点P 2，M 2分别是AP 1，AM 1的中点，点P 3，M 3分别是AP 2，AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为__12n__(n 为正整数)．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2016BC 和∠A 2016CD 的平分线交于点A 2017，则∠A 2017＝__m22017__°.4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图⑤中三角形的个数是(C )A ．8B ．9C ．16D ．17 5．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需(B )根火柴．A ．156B ．157C ．158D ．1596．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为__(n ＋1)2__(用含n 的代数式表示)．(导学号 35694237)类型三 与坐标系结合的规律探索1．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A (53，0)，B (0，4)，则点B 2016的横坐标为(D )A ．5B ．12C ．10070D ．100802．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)…，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D )A ．(14，0)B ．(14，－1)C ．(14，1)D ．(14，2)3．如图，已知菱形OABC 的两个顶点O (0，0)，B (2，2)，若将菱形绕点O 以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为．4．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P (x ，y )经过某种变换后得到点P ′(－y ＋1，x ＋2)，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋2)叫做点P (x ，y )的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为(2，0)，则点P 2017的坐标为__(2，0)__．(导学号 35694238)5．如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且∠A＝120°，点O、B在y轴上，OA ＝1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__(1345.5，2)__．题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1．(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)(导学号35694239)解：如解图，点P即为所求．2．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)解：如解图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和P1都是所求的点．3．(2017·绥化)如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明，只保留作图痕迹)解：如解图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P.点P即为所求的点．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点D即为所求．类型二作角平分线和垂直平分线1．(2017·福建)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ.2．(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：CE＝CF.(1)解：如解图所示，AF即为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴CE＝CF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.(1)作边AB的垂直平分线MN；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．(导学号35694240)解：(1)如解图①即为所求垂直平分线MN；(2)如解图②，连接BD，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD＝BD，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A)＝70°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)①作线段AC 的垂直平分线l ，交AC 于点O ；②连接BO 并延长，在BO 的延长线上截取OD ，使得OD ＝OB ； ③连接DA 、DC ；(2)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由． (1)①②③如解图所示； (2)四边形ABCD 是矩形，理由：∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BO 是AC 边上的中线， ∴BO ＝12AC ，∵BO ＝DO ，AO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是矩形．类型三 作圆1．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如解图所示，⊙P 即为所作的圆．2．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B ＝60°，AB ＝3，求⊙P 的面积．解：(1)如解图所示， ⊙P 为所求作的圆； (2)∵∠B ＝60°， BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝30°， ∵tan ∠ABP ＝AP AB， ∴AP ＝3， ∴S ⊙P ＝3π.3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；(2)如解图②，连接OD ，OE ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ， ∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°， ∵∠B ＝40°，∴∠DOE ＝140°，∴∠EFD ＝70°.4．已知△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝40°.(1)求作：⊙O ，使得⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC 是(1)中所作⊙O 的切线． (1)解：作图如解图①；(2)证明：如解图②，连接OC ，∵OA ＝OC ，∠A ＝25°，∴∠BOC ＝50°， 又∵∠B ＝40°，∴∠BOC ＋∠B ＝90°， ∴∠OCB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．5．如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°. (1)先作∠ACB 的平分线，设它交AB 边于点O ，再以点O 为圆心OB 为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC 是所作⊙O 的切线；(3)若BC ＝3，sin A ＝12，求△AOC 的面积．(1)解：作图如解图所示：(2)证明：过点O 作OE ⊥AC 于点E ， ∵FC 平分∠ACB ，∴OB ＝OE ，∴AC 是所作⊙O 的切线；(3)解：∵sin A ＝12，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，∴∠ACO ＝∠OCB ＝12∠ACB ＝30°，∵BC ＝3，∴AC ＝23，BO ＝BC tan 30°＝3³33＝1， ∴S △AOC ＝12AC·OE ＝12³23³1＝ 3.题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算类型一 与三角形有关的证明与计算 1．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM ， 在△BAD 和△NAM 中，⎩⎨⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS )，∴∠B ＝∠ANM. 2．(2017·孝感)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.证明：∵AE ⊥BD ， CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， ∵BF ＝DE ，∴BF ＋EF ＝DE ＋EF ， ∴BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )， ∴∠B ＝∠D ，∴AB ∥CD. 3．(2017·连云港)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ，连接BE 、CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC.(1)解：∠ABE ＝∠ACD ；理由如下：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )，∴∠ABE ＝∠ACD ； (2)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ， ∴FB ＝FC ， ∵AB ＝AC ，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC. 4．(2017·荆门)已知：如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠DCF ＝120°，DE ＝2，求BC 的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ，∴∠BAF ＝∠AFC ， 在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠AFC ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )； (2)解：由(1)得，CD ＝2DE ， ∵DE ＝2，∴CD ＝4.∵点D 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB.∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12³60°＝30°，∴BC ＝12AB ＝12³8＝4.5．(2017·重庆A )在△ABM 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB ＝32，BC ＝5，求AC 的长；(2)如图②，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF.(导学号 35694241)(1)解：AC ＝13；(2)证明：如解图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG. ∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ， BM ＝AM ，∴△BMD ≌△AMC(SAS )， ∴AC ＝BD ，又∵CE ＝AC ，∴BD ＝CE ， ∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠CFE ， FG ＝FE ，∴△BFG ≌△CFE(SAS )，∴BG ＝CE ，∠G ＝∠CEF ，∴BD ＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G ＝∠CEF. 6．(2017·呼和浩特)如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． (1)求证：BD ＝CE ；(2)设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．(1)证明：由题意得，AB ＝AC ， ∵BD ，CE 分别是两腰上的中线， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB ，∴AD ＝AE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ； (2)解：四边形DEMN 是正方形，证明：略7．△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D. (1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由； ②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．(1)证明：∵AI 、BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC ，∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB ，∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB ，∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°，∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB ，∴∠AIB ＝∠ADI ；(2)解：①结论：DI ∥CF.理由：∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ，∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴∠IDC ＝∠ACF ，∴DI ∥CF ；②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°， ∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ， ∴∠F ＝∠FCE －∠FBC ，∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ，∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC)＝35°.8．(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．(导学号 35694242)解：(1)∠AMQ ＝45°＋α；理由如下：∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α， ∵QH ⊥AP ， ∴∠AHM ＝90°， ∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α；(2)PQ ＝2MB.理由如下：如解图，连接AQ ，作ME ⊥QB ， ∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ， ∴∠QAC ＝∠PAC ＝α， ∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ ，∴AP ＝AQ ＝QM ， 在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠MQE ＝∠PAC ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )，∴PC ＝ME ， ∴△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ ＝22MB ，∴PQ＝2MB.类型二 与四边形有关的证明与计算1．在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且AE ＝CF. (1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若DF ＝BF ，求证：四边形DEBF 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ， 在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∵AE ＝CF ，∴DF ＝EB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，又∵DF ＝FB ，∴四边形DEBF 为菱形．2．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥AC.(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长． (导学号 35694243)(1)证明：∵AE ⊥AC ，BD 垂直平分AC ， ∴AE ∥BD ，∵∠ADE ＝∠BAD ， ∴DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形； (2)解：∵DA 平分∠BDE ， ∴∠BAD ＝∠ADB ， ∴AB ＝BD ＝5，设BF ＝x ，则52－x 2＝62－(5－x)2， 解得x ＝75，∴AF ＝AB 2－BF 2＝245，∴AC ＝2AF ＝485. 3．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝E C .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE(SSS )， ∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ， ∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ， ∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ， ∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3， ∴∠CBE ＝180°³22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°， ∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．4．如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F ＝45°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝14，DE ＝8，求sin ∠AEB 的值．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠F ＝45°.∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAB ＝∠DAE ＝45°， ∴∠DAB ＝90°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：如解图，过点B 作BH ⊥AE 于点H ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∠DCB ＝∠D ＝90°，∵AB ＝14，DE ＝8，∴CE ＝6. 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝45°， ∴AD ＝DE ＝8，∴BC ＝8. 在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝10， 在Rt △AHB 中，∠HAB ＝45°， ∴BH ＝AB·sin 45°＝72， ∵在Rt △BHE 中，∠BHE ＝90°， ∴sin ∠AEB ＝BH BE ＝7210.5．(2017·大庆)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF.(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形； (2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D ，F 两点间的距离．(导学号 35694244) (1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC ＝∠C ，∵EG ∥BC ，DE ∥AC ， ∴∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，∴四边形CDEG 是平行四边形， ∴∠DEG ＝∠C ， ∵BE ＝BF ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝∠AEG ＝∠ABC ， ∴∠F ＝∠DEG ，∴BF ∥DE ， ∴四边形BDEF 为平行四边形； (2)解：∵∠C ＝45°，∴∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°， ∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形，∴BF ＝BE ＝22BD ＝2， 作FM ⊥BD 于点M ，连接DF ，如解图所示，则△BFM 是等腰直角三角形， ∴FM ＝BM ＝22BF ＝1， ∴DM ＝3，在Rt △DFM 中，由勾股定理得： DF ＝12＋32＝10，即D ，F 两点间的距离为10. 6．(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E ，交CB 的延长线于点F ，连接AF ，BE.(1)求证：△AGE ≌△BGF ；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠AEG ＝∠BFG ， ∵EF 垂直平分AB ， ∴AG ＝BG ，在△AGE 和△BGF 中，⎩⎨⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴△AGE ≌△BGF(AAS )；(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌△BGF ，∴AE ＝BF ，∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形， 又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形.7．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC ＋∠ADC ＝180°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°. 8．(2017·娄底)如图，在▱ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H. (1)求证：△ABG ≌△CDE ；(2)猜一猜：四边形EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想； (3)若AB ＝6，BC ＝4，∠DAB ＝60°，求四边形EFGH 的面积．(1)证明：∵GA 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ， ∴∠BAG ＝12∠BAD ，∠DCE ＝12∠DCB ，∵在▱ABCD 中，∠BAD ＝∠DCB ，AB ＝CD ，∴∠BAG ＝∠DCE ，同理可得，∠ABG ＝∠CDE ，∵在△ABG 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠BAG ＝∠DCE ，AB ＝CD ，∠ABG ＝∠CDE ，∴△ABG ≌△CDE(ASA )； (2)解：四边形EFGH 是矩形．证明：∵GA 平分∠BAD ，GB 平分∠ABC ， ∴∠GAB ＝12∠BAD ，∠GBA ＝12∠ABC ，∵在▱ABCD 中，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴∠GAB ＋∠GBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC)＝90°，即∠AGB ＝90°，同理可得，∠DEC ＝90°，∠AHD ＝90°＝∠EHG ， ∴四边形EFGH 是矩形；(3)解：依题意得：∠BAG ＝12∠BAD ＝30°，∵AB ＝6，∴BG ＝12AB ＝3，AG ＝33＝CE ，∵BC ＝4，∠BCF ＝12∠BCD ＝30°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝23，∴EF ＝33－23＝3，GF ＝3－2＝1， ∴S 矩形EFGH 的面积＝EF·GF ＝ 3.题型四解直角三角形的实际应用1．(2017·镇江)如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD长．(精确到1 m，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：作AE⊥CD于E，如解图，∵AB＝15 m，∴DE＝AB＝15 m，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝15 m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE，则CE＝AE·tan37°＝15³0.75≈11 m，∴CD＝CE＋DE＝11＋15＝26 m.答：实验楼的垂直高度CD长为26 m.2．(2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，如解图，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC，设AD＝DC＝x m，则tan 30°＝x x ＋100＝33， 解得x ＝50(3＋1)．答：河的宽度为50(3＋1) m . 3．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得正前方小岛C 的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10 km 到达B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)(导学号 35694245)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如解图，设CD ＝x ， ∵∠CBD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中， ∵tan ∠CAD ＝CDAD，∴AD ＝CD tan ∠CAD ＝x tan 30°＝x33＝3x ，由AD ＋BD ＝AB 可得3x ＋x ＝10，解得x ＝53－5.答：飞机飞行的高度为(53－5) km . 4．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东45°方向上，A 位于B 的北偏西30°的方向上，求A 、C 之间的距离．解：如解图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD ＝45°， ∠ABD ＝30°.设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝3x，又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC，即x＋3x＝20(1＋3)，解得：x＝20，∴AC＝2x＝202(海里)．答：A、C之间的距离为20 2 海里．5．(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如解图，过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝3x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝33，在Rt △AMC 中， ∠ACM ＝45°，∴∠MAC ＝∠ACM ＝45°，∴MA ＝MC ， ∵ED ＝CM ，∴AM ＝ED ，∵AM ＝AE －ME ，ED ＝EF ＋DF ， ∴3x －3＝x ＋33，解得x ＝6＋33， ∴AE ＝3(6＋33)＝63＋9，∴AB ＝AE －BE ＝9＋63－1≈18.4米． 答：旗杆AB 的高度约为18.4米． 6．(2016·贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面10米处有一建筑物HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(导学号 35694246)解：由题意得，AH ＝10米，BC ＝10米， 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°， ∴AB ＝BC ＝10，在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°， ∴DB ＝BCtan ∠CDB＝103，∴DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)， ∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．7．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A 处，测得树顶端E 的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D 处，测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA ＝30°，且B 、C 、D 三点在同一直线上．(1)求树DE 的高度；(2)求食堂MN 的高度． 解：(1)如解图，设DE ＝x ，∵AB ＝DF ＝2，∴EF ＝DE －DF ＝x －2， ∵∠EAF ＝30°， ∴AF ＝EFtan ∠EAF ＝x －233＝3(x －2)，又∵CD ＝DE tan ∠DCE ＝x 3＝33x ，BC ＝AB tan ∠ACB ＝233＝23，∴BD ＝BC ＋CD ＝23＋33x ， 由AF ＝BD 可得3(x －2)＝23＋33x ， 解得：x ＝6，∴树DE 的高度为6米；(2)延长NM 交DB 延长线于点P ，如解图，则AM ＝BP ＝3， 由(1)知CD ＝33x ＝33³6＝23，BC ＝23， ∴PD ＝BP ＋BC ＋CD ＝3＋23＋23＝3＋43，∵∠NDP ＝45°，且MP ＝AB ＝2， ∴NP ＝PD ＝3＋43，∴NM ＝NP －MP ＝3＋43－2＝1＋43， ∴食堂MN 的高度为1＋4 3 米．题型五 与圆有关的证明与计算类型一 与切线判定有关的证明与计算1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，BC ＝22，求DF 的长． (导学号 35694247)(1)证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC ∽△DFC ，∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42，∴DF ＝72. 2．如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠ABD ＝∠ACB. (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan ∠AEB ＝53，AB ∶BC ＝2∶3，求⊙O 的直径．(1)证明：∵BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴∠ACB ＋∠DBC ＝90°，∵∠ABD ＝∠ACB ， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ， ∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203， 在Rt △ABC 中，AB BC ＝23，∴BC ＝32AB ＝10，∴⊙O 的直径为10.3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OF ＝2，求AC 的长度．(导学号 35694248)(1)证明：如解图①，连接OD 、AD ， ∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC ， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，图①∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ， ∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线；图②(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.4．(2017·张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OD，如解图所示，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∵DF ⊥OD ，∴∠ODG ＝90°，∴∠G ＝30°， ∴DG ＝3OD ＝63，∴S 阴影部分＝S △ODG －S 扇形OBD ＝12³6³63－60π³62360＝183－6π.5．(2017·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE.(1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝1，BC ＝23，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OC ，如解图， ∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ， ∴∠OCE ＝90°，∵OD ⊥BC ，∴CD ＝BD ， 即OD 垂中平分BC ， ∴EC ＝EB ，在△OCE 和△OBE 中，⎩⎨⎧OC ＝OB ，OE ＝OE ，EC ＝EB ，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE ＝∠OCE ＝90°， ∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1， 在Rt △OBD 中，BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴(r －1)2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∵tan ∠BOD ＝BDOD ＝3，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝120°， 在Rt △OBE 中，BE ＝3OB ＝23， ∴S 阴影部分＝S 四边形OBEC －S 扇形BOC ＝2S △OBE －S 扇形BOC＝2³12³2³23－120π³22360＝43－43π.类型二 与切线性质有关的证明与计算 1．(2017·绵阳)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连接OF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径的长度．(1)证明：连接OF ，则∠OAF ＝∠OFA ，如解图①所示， ∵ME 与⊙O 相切， ∴OF ⊥ME. ∵CD ⊥AB ，∴∠M ＋∠FOH ＝180°.∵∠BOF ＝∠OAF ＋∠OFA ＝2∠OAF ，∠FOH ＋∠BOF ＝180°， ∴∠M ＝2∠OAF. ∵ME ∥AC ，∴∠M ＝∠C ＝2∠OAF.∵CD ⊥AB ，∴∠ANC ＋∠OAF ＝∠BAC ＋∠C ＝90°， ∴∠ANC ＝90°－∠OAF ，∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－2∠OAF ， ∴∠CAN ＝∠OAF ＋∠BAC ＝90°－∠OAF ＝∠ANC ， ∴CA ＝CN ；(2)解：连接OC ，如解图②所示． ∵cos ∠DFA ＝45，∠DFA ＝∠ACH ， ∴CH AC ＝45. 设CH ＝4a ，则AC ＝5a ，AH ＝3a ， ∵CA ＝CN ，∴NH ＝a ，∴AN ＝AH 2＋NH 2＝（3a ）2＋a 2＝10a ＝210， ∴a ＝2，AH ＝3a ＝6，CH ＝4a ＝8. 设⊙O 的半径为r ，则OH ＝r －6，在Rt △OCH 中，OC ＝r ，CH ＝8，OH ＝r －6， ∴OC 2＝CH 2＋OH 2，r 2＝82＋(r －6)2， 解得：r ＝253，∴⊙O 的直径的长度为2r ＝503.2．(2017·大连)如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E.(1)求证：BD ＝BE ；(2)若DE ＝2，BD ＝5，求CE 的长． (导学号 35694249)(1)证明：设∠BAD ＝α，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝α，∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－2α，∵BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB ，∴∠DBE ＝2α，∠BED ＝∠BAD ＋∠ABC ＝90°－α， ∴∠D ＝180°－∠DBE －∠BED ＝90°－α， ∴∠D ＝∠BED ，∴BD ＝BE ；(2)解：设AD 交⊙O 于点F ，CE ＝x ，则AC ＝2x ，连接BF ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2， ∵∠BAD ＋∠D ＝90°，∠D ＋∠FBD ＝90°， ∴∠FBD ＝∠BAD ＝α，∴tan α＝FD BF ＝12，∴AB ＝BF sin α＝255＝25，在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2， 解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355.3．(2017·南京)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D.(1)求证：PO 平分∠APC ； (2)连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC.证明：(1)如解图，连接OB ， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， 又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°， ∴∠APC ＝90°－30°＝60°， ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12³60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC.4．如图，直线l 经过点A(4，0)，B(0，3)．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标．(1)∵A(4，0)，B(0，3)，∴直线l 的解析式为：y ＝－34x ＋3；(2)作MH ⊥AB ，垂足为H ，如解图所示， ∵M 在y 轴上，∴设M(0，t)，2S △ABM ＝BM·AO ＝AB·MH ， ∴|3－t|³4＝5³2， 解得t 1＝12，t 2＝112，∴M 1(0，12)，M 2(0，112)．题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 探究特殊三角形的存在性问题 1．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与直线y ＝x ＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.①当PE ＝2ED 时，求P 点坐标；②是否存在点P ，使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694250)解：(1)∵点B(4，m)在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝4＋1＝5，∴B(4，5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝5，25a ＋5b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)①设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，则E(x ，x ＋1)，D(x ，0)，则PE ＝|－x 2＋4x ＋5－(x ＋1)|＝|－x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1|， ∵PE ＝2ED ，∴|－x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|，当－x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝2，但当x ＝－1时，P 与A 重合不合题意，舍去，∴P(2，9)；当－x 2＋3x ＋4＝－2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝6，但当x ＝－1时，P 与A 重合，不合题意，舍去，∴P(6，－7)；综上可知，P 点坐标为(2，9)或(6，－7)；②点P 的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)时，△BEC 为等腰三角形．2．(2017·阜新)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，点E(x ，y)为抛物线上一点，且－5<x<－2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；(3)如图②，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－5，0)，B(1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得到⎩⎨⎧－25－5b ＋c ＝0，－1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝5.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2－4x ＋5；(2)如解图①，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－2，E(x ，－x 2－4x ＋5)， ∴EH ＝－x 2－4x ＋5， EF ＝－2－x ，∴矩形EFDH 的周长＝2(EH ＋EF)＝2(－x 2－5x ＋3)＝－2(x ＋52)2＋372，∵－2<0，∴x ＝－52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(3) 如解图②，设P(－2，m)，①当∠ACP ＝90°时， AC 2＋PC 2＝PA 2，∴(52)2＋22＋(m －5)2＝32＋m 2， 解得m ＝7， ∴P 1(－2，7)．②当∠CAP ＝90°时， AC 2＋PA 2＝PC 2，∴(52)2＋32＋m 2＝22＋(m －5)2， 解得m ＝－3，∴P 2(－2，－3)．③当∠APC ＝90°时，PA 2＋PC 2＝AC 2，∴32＋m 2＋22＋(m －5)2＝(52)2， 解得m ＝6或m ＝－1，∴P 3(－2，6)，P 4(－2，－1)，综上所述，满足条件的点P 坐标为(－2，7)或(－2，－3)或(－2，6)或(－2，－1)． 3．(2017·重庆A )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝33x 2－233x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE 的解析式；(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE.当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM ＋MN ＋NK 的最小值；(3)点G 是线段CE 的中点，将抛物线y ＝33x 2－233x －3沿x 轴正方向平移得到抛物线y′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q ，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线AE 的解析式为y ＝33x ＋33.(2)设直线CE 的解析式为y ＝mx －3， ∴直线CE 的解析式为y ＝233x － 3. 过点P 作PF ∥y 轴，交CE 于点F.如解图①， 设点P 的坐标为(x ，33x 2－233x －3)， 则点F(x ，233x －3)，则FP ＝－33x 2＋433x.∴△EPC 的面积＝－233x 2＋833x.∴当x ＝2时，△EPC 的面积最大．∴P(2，－3)．如解图②，作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 于N 、M.∵K 是CB 的中点，∴K(32，32)．∴tan ∠KCP ＝33.∵OD ＝1，OC ＝3， ∴tan ∠OCD ＝33. ∴∠OCD ＝∠KCP ＝30°. ∴∠KCD ＝30°.∵K 是BC 的中点，∠OCB ＝60°， ∴OC ＝CK.∴点O 与点K 关于CD 对称． ∴点G 与点O 重合． ∴点G(0，0)．∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为(32，－332)．∴KM ＋MN ＋NK ＝MH ＋MN ＋GN.当点G 、N 、M 、H 在一条直线上时，KM ＋MN ＋NK 有最小值，最小值＝GH. ∴GH ＝（32）2＋（332）2＝3. ∴KM ＋MN ＋NK 的最小值为3.(3)点Q 的坐标为(3，－43＋2213)或(3，－43－2213)或(3，23)或(3，－235)．类型二 探究特殊四边形的存在性问题1．(2017·宜宾)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C ，作CD 垂直x 轴于点D ，连接AC ，且AD ＝5，CD ＝8，将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位，当点C 落在抛物线上时，求m 的值；(3)在(2)的条件下，当点C 第一次落在抛物线上记为点E ，点P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q ，使以点B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694251)解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5； (2)∵AD ＝5，且OA ＝1，∴OD ＝6， 又∵CD ＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x 2＋4x ＋5，解得x ＝1或x ＝3，∴C ′点的坐标为(1，8)或(3，8)， ∵C(－6，8)，∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；(3)Q 点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)时，以点B 、E 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形．。
第28讲 图形的相似第1课时课时 相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例 线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本 性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金 分割分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应 的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三 角形角形 两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形 ． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边 且夹角且夹角 的两个三角形相似．的两个三角形相似． 判定4 两角分别两角分别 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形 的重心的重心 三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二 相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三 相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四 与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案 第28讲 图形的相似 第1课时 相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状 相等相等 成比例成比例 边 相等相等 成比例成比例 全等全等 4.平行平行 成比例成比例 成比例成比例 相等 相等相等 成比例成比例 5.相等相等 成比例成比例 相似比相似比 平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在． 例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )． 【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。
2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【 】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则 【 】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足 【 】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是 ．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是 ．2． 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【 】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23． 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．4． 设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝ ． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【 】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
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新疆自治区2018年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．的相反数是（ ）A．﹣B．2C．﹣2D．0.5【解答】解：的相反数是﹣．故选：A．2．某市有一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，则这天的最高气温比最低气温高（ ）A．10℃B．6℃C．﹣6℃D．﹣10℃【解答】解：2﹣（﹣8）=2+8=10（℃）．故选：A．的相反数是解题的关键．3．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．故选：C．4．下列计算正确的是（ ）A．a2?a3=a6B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2C．（ab3）2=a2b6D．5a﹣2a=3【解答】解：A、a2?a3=a2+3=a5，故此选项错误；B、（a+b）（a﹣2b）=a?a﹣a?2b+b?a﹣b?2b=a2﹣2ab+ab﹣2b2=a2﹣ab ﹣2b2．故此选项错误；C、（ab3）2=a2?（b3）2=a2b6，故此选项正确；D、5a﹣2a=（5﹣2）a=3a，故此选项错误．故选：C．5．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（ ）A．85°B．75°C．60°D．30°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选：B．6．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：班级参加人数平均数中位数方差甲55135149191乙55135151110某同学分析上表后得出如下结论：（1）甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；（3）甲班成绩的波动比乙班大．上述结论中，正确的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．故（1）（2）（3）正确，故选：D．7．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．8．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，根据总价36得到的方程为20x+10y=36，所以可列方程为：，故选：B．9．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：如图作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．二、填空题10．点（﹣1，2）所在的象限是第 二 象限．【解答】解：点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故答案为：二．11．如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是 x≥1 ．【解答】解：∵代数式有意义，∴实数x的取值范围是：x≥1．故答案为：x≥1．12．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是 ．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：13．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是 ．【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．所以颜色搭配正确的概率是．故答案为：．14．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据题意得：﹣=30，解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．故答案为：4．15．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 ②③ （填写所有正确结论的序号）．【解答】解：①当x＞2时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1=﹣x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＜0时，M=y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M=y1=2时，有﹣x2+4x=2，解得：x1=2﹣（舍去），x2=2+；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．三、解答题16．计算：﹣2sin45°+（）﹣1﹣|2﹣|．【解答】解：原式=4﹣2×+3﹣（2﹣）=4﹣+3﹣2+=5．17．先化简，再求值：（+1）÷，其中x是方程x2+3x=0的根．【解答】解：（+1）÷===x+1，由x2+3x=0可得，x=0或x=﹣3，当x=0时，原来的分式无意义，∴当x=﹣3时，原式=﹣3+1=﹣2．18．已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象交于点（2，1）．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）判断P（﹣1，﹣5）是否在一次函数y=kx+m的图象上，并说明原因．【解答】解：（1）∵y=经过（2，1），∴2=k．∵y=kx+m经过（2，1），∴1=2×2+m，∴m=﹣3．∴反比例函数和一次函数的解析式分别是：y=和y=2x﹣3．（2）当x=﹣1时，y=2x﹣3=2×（﹣1）﹣3=﹣5．∴点P（﹣1，﹣5）在一次函数图象上．19．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△DEO和△BOF中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是菱形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是菱形．20．如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．【解答】解：在Rt△ACF中，∵tan∠ACF=，∴tan30°=，∴=，∴AF=3m，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=3+9（m）．21．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，杨老师一共调查了 20 名学生，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．【解答】解：（1）杨老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%=20人，C类女生人数为20×25%﹣3=2人，D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1=1人，故答案为：20、2、1；（2）补全图形如下：（3）因为A类的3人中，女生有2人，所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为．22．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，∴AC=BC，∴PA=PB在△PAO和△PBO中∴△PAO和≌△PBO∴∠OBP=∠OAP=90°∴PB是⊙O的切线．（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6在Rt△ACO中，OC=3，AC=4∴AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中，∠APO=∠APO，∠PAO=∠ACO=90°∴△ACO～△PAO=∴PO=，PA=∴PB=PA=在△EPO与△EBD中，BD∥PO∴△EPO∽△EBD∴=，解得EB=，PE=，∴sinE==23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．。
中考数学总复习经典题(几何)（二）几何试题1、 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 （ ）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关2、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图4所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK △的面积为： （Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）163、如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．4、 如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （ ）A. ο30 B. ο35 C. ο40 D. ο50 5、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆1的半径）得图形34,,,,n P P P L L ，记纸板n P 的面积为n S ， 试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。
6、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18AD BC PEF =∠=o ，，则PFE ∠的度数是 ．（第16题）CFD BE A P （第6题）ADCEF GB 3题图 D ABRP F CGK图4E8题10题 12题7、如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．8、如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（ ） A ．6B ．8C ．4D ．439、将一副直角三角板按图示方法放置（直角顶点重合），则AOB DOC ∠+∠= o．10、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤11、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:412、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，AE 、DE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ． 13、如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为为圆心的上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF 的面积为_________.14、 如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C.若∠AOB = 60o,OC = 4,则点P 到OA 的距离PD 等于__________. 15、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32 B ．76 C ．256D ．2B AC D O P (第14题) AD B EC （第15题） ABE G CD（第7题）C D AO B30°45°A D EM(第11题(第13题)O A B C F 1 2 E E D（第20题）16、如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．917、如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，︒=∠36A ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则=DE （ ）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k aD ．3ka18、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是19、如图，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则矩形ABCD 的边BC 长为 ． 20、．梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ）A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB21、如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .22、如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________。
2017-2018年中考数学专题复习题：数据的收集与整理一、选择题1.中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是A. 调查方式是全面调查B. 样本容量是360C. 该校只有360个家长持反对态度D.该校约有的家长持反对态度2.为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为A. 70B. 720C. 1680D. 23703.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘再从鱼塘中捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数大约为A. bnB. anC.D.4.某校为调查1000名学生对新闻、娱乐、动画、体育四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，并利用调查数据作出如图所示的扇形统计图根据图某某息，可以估算出该校喜爱体育节目的学生共有A. 300名B. 250名C. 200名D. 150名5.从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性下面叙述正确的是A. 样本容量越大，样本平均数就越大B. 样本容量越大，样本的方差就越大C. 样本容量越大，样本的极差就越大D. 样本容量越大，对总体的估计就越准确6.为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是A. 随机抽取100位女性老人B. 随机抽取100位男性老人C. 随机抽取公园内100位老人D. 在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人7.某学校课外活动小组为了解同学们喜爱的电影类型，设计了如下的调查问卷不完整：8.准备在“国产片，科幻片，动作片，喜剧片，亿元大片”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是A. B. C. D.9.设计问卷调查时，下列说法不合理的是A. 提问不能涉及提问者的个人观点B. 问卷应简短C. 问卷越多越好D. 提问的答案要尽可能全面10.下列说法中，正确的是A. 为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式B. 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C. 小强班上有3个同学都是16岁，因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁D. 给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个11.下列说法中，正确的是A. 一组数据，，0，1，1，2的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一X福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字，，4的三X卡片卡片的大小形状都相同，从中任意抽取两X，则卡片上的两数之积为正数的概率为二、填空题12.学校为了考察我校七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共540名学生中，每班抽取了8名进行分析，在这个问题中总体是______ ，样本容量是______ ．13.一个口袋里有10个白球和一些黑球，为了估计口袋里有多少黑球，小明随机从口袋里摸出一球，记下颜色，在放回，不断重复上述过程，小明共摸了50次，有10次摸到白球，因此可以估计口袋里有______个黑球．14.为估计鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘捕100条做上记号，然后放回鱼塘，当有记号的鱼完全混合于鱼群后，再捕200条，其中带有记号的鱼有20条，估计这个鱼塘里有______条鱼．15.“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量根据得到的调查数据，绘制成如图所示的扇形统计图若本次活动共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有______名．16.近几年，人们的环保意识逐渐增加，“白色污染”现象越来越受到人们的重视小颖同学想了解班上同学家里在一年内丢弃废塑料袋的个数，你认为采用______ 方式合适一些．17.某市有100万人口，在一次对城市标志性建筑方案的民意调查中，随机调查了1万人，其中有6400人同意甲方案则由此可估计该城市中，同意甲方案的大约有______ 万人．18.某商店对一种名牌衬衫抽测结果如下表：抽检件数10 20 100 150 200 300不合格件数0 1 3 4 6 9如果销售1000件该名牌衬衫，至少要准备______ 件合格品，供顾客更换．19.某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为______人20.图1为城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是城市某女生从出生到12岁的身高统计图．21.请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为______ ，你的预测理由是______ ．22.进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还要完成以下4个步骤：展开调查得出结论记录结果选择调查方法，但它们的顺序弄乱了，正确的顺序应该是______ 填写序号即可．三、计算题23.在“创优”活动中，我市某校开展收集废电池的活动，该校初二班为了估计四月份收集电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下：单位：个：48，51，53，47，49，50，求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份天计该班收集废旧电池的个数．24.某水果店有200个菠萝，原计划以元千克的价格出售，现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的菠萝去皮后出售以下是随机抽取的5个菠萝去皮前后相应的质量统计表单位：千克：去皮前各菠萝的质量去皮后各菠萝的质量计算所抽取的5个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平均质量，并估计这200个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量．根据的结果，要使去皮后这200个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？25.今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．26.教育支出频数分布表分组频数频率26189a b2合计40注：每组数据含最小值，不含最大值根据以上提供的信息，解答下列问题：频数分布表中的______，______；补全频数分布直方图；请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？27.某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图校服型号以身高作为标准，共分为6个型号根据以上信息，解答下列问题：28.该班共有______ 名学生；29.在扇形统计图中，185型校服所对应的扇形圆心角的大小为______ ；30.该班学生所穿校服型号的众数为______ ，中位数为______ ；31.如果该校预计招收新生600名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？【答案】1. D2. C3. D4. C5. D6. D7. C8. C9. D10. D11. 七年级540名学生的视力情况；8012. 4013. 100014. 240015. 抽样调查16. 6417. 3018. 5619. 170厘米；12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米20.21. 解：这7天收集电池的平均数为：个估计四月份天计该班收集废旧电池的个数个答：这七天收集的废旧电池平均数为50个，四月份该班收集的废电池约1500个．22. 解：抽取的5个菠萝去皮前的平均质量为千克，去皮后的平均质量为千克，这200个菠萝去皮前的总质量为千克，去皮后的总质量为千克．原计划的销售额为元根据题意，得去皮后的菠萝的售价为元千克．23. 3；24. 50；；165和170；170。
中考专题复习模拟演练:全等三角形一、选择题1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带（1）去B. 带（2）去C. 带（3）去D. 带（1）（2）去2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（）A. 80°B. 70°C. 30°D. 100°3.如图,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D,BD=BC,若AC=6 cm,则AE+DE等于( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm4.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为（）A. 2B. 3C. 5D. 2.55.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE 交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8.如图已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°9.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°10.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )A. B. C. D.二、填空题11.用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是________12.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2 ．以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）13.如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________ ．14.如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________15.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有________（填序号）．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 离开点A后，运动________秒时，△DEB与△BCA全等．17.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图7，则∠EAB是多少度？请你说出∠EAB= ________度18.如图（1）所示，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面的一点，连接BD、CD；如图（2）已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面的三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第N个图形中有全等三角形的对数是________．三、解答题19.已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC．求证：ED⊥AC．20.如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？21.如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：AE∥BC；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=16，AC=10，求AE的长．23.将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=________；（2）将△BEF绕点B旋转．①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：________；（不用证明）②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．24.已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．参考答案一、选择题C A C B C CD A B C二、填空题11.SSS12.①③④13.2114.60°或120°15.①②③16.0，2，6，817.3518.n（n+1）三、解答题19.证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠CBA=90°，在Rt△ADE和中Rt△ABC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），∴∠EDA=∠C，又∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠CAB+∠C=90°∴∠CAB+∠EDA=90°，∴∠AFD=90°，∴ED⊥AC20.解：∵∠CMD=90°，∴∠CMA+∠DMB=90°，又∵∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠DMB，在△ACM和△BMD中，，∴△ACM≌△BMD（AAS），∴AC=BM=3m，∴他到达点M时，运动时间为3÷0.5=6（s），答：这个人从B点到M点运动了6s．21.（1）证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，在△BDC与△ACE中，，∴△DBC≌△ACE（SAS），∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，∴∠B+∠BAE=180，∴AE∥BC（2）成立，证明如下：∵△DBC≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，∵∠BDC=∠AEC（已证），∴∠DMC=∠EMA，∴△DMC∽△EMA，∴∠EAM=∠DCM=60°，∴∠EAC=120°，又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，∴AE∥BC22.（1）证明：如图，连接BD、CD．∵DG⊥BC，BG=GC，∴DB=DC，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴BE=CF．（2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中，，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，∴AB﹣BE=AC+CF，∴2AE=AB﹣AC=16﹣10，∴AE=323.（1）45°（2）MN=AM+CN24.（1）解：全等．∵四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）（2）解：△B1DG和△EA1G全等．与△B1DG相似，设FC= ，则B1F=BF= ，B1C= DC=1，△FCB所以，所以，所以△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3（3）解：△FCB1与△B1DG全等．设，则有，，在直角中，可得，整理得，解得 (另一解舍去)，所以，当B1C= 时，△FCB1与△B1DG全等．。
专题05 平面直角坐标系【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
知识点二点的坐标的有关性质（考点）性质一各象限内点的坐标的符号特征象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负性质二坐标轴上的点的坐标特征1.x轴上的点，纵坐标等于0；2.y轴上的点，横坐标等于0；3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +XXX性质六 平面直角坐标系内平移变化性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结：坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴Y 轴原平行X 轴平行Y 轴第一第二第三第四第一、第二、XyP2P mm -nOXy P3Pnm -nOn -XyP1Pnn -mO【考查题型】考查题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可． 【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A 选项错误； B. 小张现在位置为第3排第2列，故B 选项正确； C. 小王现在位置为第2排第3列，故C 选项错误； D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D 选项错误． 故选：B ．变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（ ）点象限 象限 象限 象限 三象限 四象限 (x,0)(0,y)(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0(m,m) (m,-m)A ．（6，3）B ．（6，4）C ．（7，4）D ．（8，4）【答案】C【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话： 小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了” 小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…” 根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( ) A ．先向北直走700米，再向西走100米 B ．先向北直走100米，再向西走700米 C ．先向北直走300米，再向西走400米 D ．先向北直走400米，再向西走300米 【答案】A【分析】根据对话画出图形即可得出答案．【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A ．考查题型二 求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：∵O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，∴OD ＝6，∵四边形OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ，OB =BC =6 ∴C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（ ） A ．()4,5- B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可. 【详解】设点M 的坐标为（x ，y ）， ∵点M 到x 轴的距离为4， ∴4y =， ∴4y =±，∵点M 到y 轴的距离为5， ∴5x =， ∴5x =±，∵点M 在第四象限内， ∴x=5，y=-4，即点M 的坐标为（5，-4） 故选：D.变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（ ）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D 的坐标（0，2），进而得出点B 的坐标即可． 【详解】连接AC ，BD ，AC 、BD 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，OA ＝4，AC ＝4， ∴ED ＝OA ＝EB ＝4，AC ＝2EA ＝4， ∴BD ＝8，OD ＝EA ＝2 ∴点B 坐标为（8，2）， 故选：D ．变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（ ） A ．()4,0 B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-【答案】A【分析】根据点P 在x 轴上，即y=0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标． 【详解】解：∵点2,24()P m m +-在x 轴上， ∴240m -=，∴2m=；∴2224m+=+=，∴点P为：（4，0）；故选：A．变式2-4．（2021·广西一模）点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3．﹣1）D．（1，3）【答案】A【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A．考查题型三点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2021÷4＝504…3，A2021在x 轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2021÷4＝504 (3)∴A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2021的横坐标为﹣（2021﹣3）×12＝﹣1008．∴A 2021的坐标为（﹣1008，0）． 故选A ．变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+， 则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0【答案】B【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上，由点A ，B 的坐标利用勾股定理可求出AB 的长，进而可得出点C 2的横坐标，同理可得出点C 4，C 6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上．∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3，∴，∴点C 2的横坐标为4+5+3=12=2×6， 同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)， ∴点C 100的横坐标为100×6=600， ∴点C 100的坐标为(600，0)． 故选：B ．考查题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1 B ．32-C ．43D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断． 【详解】解：∵点(,2)A a 是第二象限内的点， ∴0a <，四个选项中符合题意的数是32-， 故选：B变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【详解】∵x 2＋2＞0，∴点P （x 2＋2，−3）所在的象限是第四象限．故选：D ．变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据点(,)A a b -在第三象限，可得0a <，0b -<，进而判定出点B 横纵坐标的正负，即可解决．【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限，∴0a <，0b -<，∴0b >，∴0ab ->，∴点B 在第一象限，故选：A ．变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b -【答案】B 【分析】根据0,0a b ab +>>，得出0,0a b >>，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．【详解】∵0,0a b ab +>>∴0,0a b >>选项Ａ：(),a b 在第一象限选项Ｂ：(),a b -在第二象限选项Ｃ：(),a b --在第三象限选项Ｄ：(),a b -在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B考查题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)【答案】B【解析】由点P(a−4,a)在y 轴上，得a−4=0，解得a=4，P 的坐标为(0,4)，故选B.2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（）A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）【答案】D【详解】解：∵点P （m+3，m+1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m+1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：D ．3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)-【答案】A【详解】 解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，解得：2m ＝，24m ∴+＝，则点P 的坐标是：()4,0．故选：A ．4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）【答案】A【详解】解：∵点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，∴2m ﹣4＝0，解得：m ＝2，∴m+2＝4，则点P 的坐标是：（4，0）．故选：A ．5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝() A ．﹣1 B ．﹣3 C ．﹣2 D ．0【答案】A【详解】由P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，得m +1＝0．解得：m ＝﹣1，故选：A ．2.象限角的平分线上的点的坐标1.已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________【答案】-2【详解】∵点A在第二象限角平分线上∴它的横纵坐标互为相反数则-3+a+2a+9=0解得a=-22．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)【答案】C【解析】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．5【答案】B【详解】解：∵AB∥y轴，∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3故选：B．2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【答案】A【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.故选A.3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）【答案】A【详解】∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴B的纵坐标y＝﹣2，∵“B到y轴的距离等于4”，∴B的横坐标为4或﹣4．所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选A．4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣1，1）C．（5，1）或（﹣1，1）D．（2，4）或（2，﹣2）【答案】C【详解】∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交，相交B．平行，平行C．垂直，平行D．平行，垂直【答案】D【详解】由题可知，M、N两点的纵坐标相等，所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.故选:D.4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣5【答案】A【解析】∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4- 【答案】C【解析】由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣3，4）B ．（ 3，﹣4）C ．（﹣4，3）D ．（ 4，﹣3） 【答案】C【详解】由点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，得|y|=3，|x|=4．由P 是第二象限的点，得x=-4，y=3．即点P 的坐标是（-4，3），故选C ．4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P (－3，4)到x 轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．5.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)【答案】A【详解】∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)【答案】D【解析】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）【答案】C【解析】因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B的对应点1B的坐标为（1，1）故选C.5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)【答案】B【详解】将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).故选B.6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．2．（2021·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>【答案】C【详解】依题意得P点在第三象限，∴，解得：a ＜﹣1．故选C ．3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】关于x 轴对称的两个点的特点是，x 相同即横坐标，y 相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=1 4．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 【答案】B【解析】∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。
类型一根据实际问题分析函数图象行程问题各自路程与时间的函数图象1. (2017哈尔滨)周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是( )A. 小涛家离报亭的距离是900 mB. 小涛从家去报亭的平均速度是60 m/minC. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/minD. 小涛在报亭看报用了15 min第1题图2. (2017聊城)端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( )A. 乙队比甲队提前0.25 min到达终点B. 当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 mC. 0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 mD. 自1.5 min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m/min第2题图3. (2017锦州)已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分)之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为________．第3题图4. 一辆货车从A地匀速驶往相距350 km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A 地．(货车到达B 地，快递车到达A 地后分别停止运动)行驶过程中两车与B 地间的距离y (单位：km )与货车从出发所用的时间x (单位：h )间的函数关系如图所示．则货车到达B 地后，快递车再行驶________h 到达A 地．第4题图5. 快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y (千米)与所用时间x (小时)之间的函数图象如图所示，快车开始返回之后，经过________小时两车相距100千米的路程．第5题图6. (2017重庆指标到校卷)周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5 h后，因自行车损坏修理了一段时间，而后按原速前往植物园，小华离家43h 后，爸爸开车沿相同的路线前往植物园，如图是他们离家的路程y (km )与小华离家时间x (h )的函数关系图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10 min 到达植物园，则从小华家到植物园的路程是________km .第6题图7. (2017随州)在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间．甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y (km )与甲车行驶时间t (h )之间的函数关系如图所示. 下列结论：①甲车出发2 h 时，两车相遇；②乙车出发1.5 h 时，两车相距170 km ；③乙车出发257h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40 km .其中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)．第7题图两者之间的距离与时间的函数图象8. (2017重庆巴蜀模拟)一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以另一速度跑完全程，两人到达终点时均停止跑步，如图，折线图表示改变速度后两人之间的距离y(米)与改变速度后跑步所用的时间x(秒)之间的函数关系图象，则这次越野赛跑的全程为________米．第8题图9. (2018原创)一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离s(km)与慢车行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示，则快车到达甲地时，慢车距离甲地________km.第9题图10. (2017重庆南开模拟)已知A、B两港航程为60 km，甲船从A港出发顺流匀速驶向B 港，同时乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．行至某刻，甲船发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港，这样甲乙两船同时到达各自目的地．若甲、乙两船在静水中的速度相同，两船之间的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示，则水流速度为________km/h.第10题图11. (2018原创)甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发前往距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．若丙也从甲出发的地方沿相同的方向骑自行车行驶，且与甲的速度相同，当甲追上乙后45秒时，丙也追上乙，则丙比甲晚出发________秒．第11题图12. (2017重庆西大附中月考)在我校刚刚结束的缤纷体育节上，初三年级参加了60米迎面接力比赛．假设每名同学在跑步过程中是匀速的，且交接棒的时间忽略不计，如图是A、B两班的路程差y(米)与比赛开始至A班先结束第二棒的时间x(秒)之间的函数图象．则B 班第二棒的速度为________米/秒．第12题图13. (2017重庆巴蜀月考)快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地后停留了45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为60千米/时，两车之间的距离y(千米)与两车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，则快车从乙地返回时的速度为________千米/时．第13题图14. (2018原创)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，大楼C位于AB之间，甲与乙相遇在AC中点处，然后两车立即掉头，以原速原路返回，直到各自回到出发点．设甲、乙两车距大楼C的距离之和为y(千米)，甲车离开A地的时间为t(小时)，y与t的函数图象如图所示，则第21小时时，甲乙两车之间的距离为________千米．第14题图15. 已知“成渝”两地相距350千米，现有一直达高铁往返于两城市之间，该高铁每次到达成都、重庆后均需停留1小时再重新出发．暑假期间，重庆市铁路局计划在同线路上临时加开一辆慢速直达旅行专列．在试运行期间，该旅行专列与高铁同时从重庆出发，在整个行驶过程中，两车均保持各自速度匀速行驶，经过3.75小时两车第一次相遇．已知两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅行专列共行驶了________千米．第15题图16. (2017重庆一中一模)为了锻炼身体，强健体魄，小明和小强约定每天在两家之间往返长跑20分钟．两家正好在同一直线道路边上，某天小明和小强从各自的家门口同时出发，沿两家之间的直线道路按各自的速度匀速往返跑步，已知小明的速度大于小强的速度．在跑步的过程中，小明和小强两人之间的距离y(米)与他们出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，在他们3次相遇中，离小明家最近那次相遇距小明家________米．第16题图其他问题1. 我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的个数有( )①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. (2017重庆育才二模)有一个装有进、出水管的容器，先只开进水管，3分钟后，同时打开进、出水管，当容器注满水后，关闭进水管，只打开出水管，直至把容器内水全部放完．在整个过程中容器内水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，那么容器的容积为________升．第2题图答案行程问题1.D【解析】A.由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200 m, 故A不符合题意；B.由横坐标看出小涛去报亭用时15分钟，∴小涛从家去报亭的平均速度是80 m/min，故B不符合题意；C.易得返回时的解析式为y＝－60x＋3000，当y＝1200时，x＝30，由横坐标看出返回时的时间是50－30＝20 min，∴返回时的速度是1200÷20＝60 m/min，故C不符合题意；D.由横坐标看出小涛在报亭看报用了30－15＝15 min，故D符合题意．2.D【解析】由题意知，选项A正确；易求y甲＝200x，y乙＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （0<x≤0.5）240x －40（0.5<x≤2.25），当乙队划行110 m 时，所用时间为58 min ，代入甲的解析式得y 甲＝125，125－110＝15，故B 正确；由乙的解析式可知，0.5 min 后，乙队每分钟比甲队快40 m ，故C 正确；1.5 min 时，甲跑300 m ，若同时到达终点，则用的速度应为500－3002.25－1.5≈266.7 m /min ，故D 错误．所以选D .3. 9：20 【解析】∵甲30分走完全程10千米，∴甲的速度是13千米/分钟，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了(15－10)分钟，∴乙的速度为5÷5＝1千米/分钟，∴乙走完全程需要时间为10÷1＝10分钟，∴此时的时间应加上乙先前迟出发的10分，∴现在的时间为9点20.故答案为9：20.4. 11340【解析】由函数图象可知，(1，270)表示货车行驶1 h 时距B 地的距离为270 km ，则货车行驶速度为：(350－270)÷1＝80 km /h ；再由函数图象可知，在货车行驶4 h 时，与快递车返回途中相遇，设快递车速度为t km /h ，由题意得(4－1)(80＋t )＝270×2，解得t ＝100 km /h ；货车到B 地的时间为35080＝358h ，所以，当货车到达B 地后，快递车要到达A 地还需要的时间为350＋270100－358－1＝11340h . 5. 13【解析】由函数图象可知，快车从出发至回到甲地，共用时间3.5 h ，则慢车到达甲地用时3.5－0.5＝3 h ，甲乙两地相距180 km ，所以慢车的速度为180÷3＝60 km /h ，快车的速度为60×2＝120 km /h ，快车在乙地停留的时间为3.5－180×2120＝0.5 h ，设快车开始返回之后t h 两车相距100 km ，由题意可得，60(180120＋0.5＋t )－120t ＝100，解得t ＝13，所以快车开始返回之后，经过13h 两车相距100 km . 6. 30 【解析】如解图，第6题解图小明骑车速度：10÷0.5＝20 km /h ，爸爸驾车速度：20×3＝60 km /h ，设直线BC 解析式为y ＝20x ＋b 1，把点B (1，10)代入得b 1＝－10，∴y ＝20x －10，设直线DE 解析式为y ＝60x＋b 2，把点D (43，0)代入得b 2＝－80 ∴y ＝60x －80，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝20x －10y ＝60x －80，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75y ＝25，∴交点F (1.75，25)，设从爸爸追上小华的地点到植物园路程为n (km )，由题意得n 20－n 60＝16，解得n ＝5，∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km )．7. ②③④ 【解析】由函数图像可知A 地距离C 地240 km ，B 地距离C 地200 km ，甲从A 地到达C 用时4 h ，乙从B 地到C 地用时2.5 h ，所以甲车的速度＝240÷4＝60 km /h ，乙车的速度＝200÷(3.5－1)＝80 km /h .设甲车出发后x 小时两车相遇，根据题意得60x ＋80(x －1)＝240＋200，解得x ＝357.所以甲车出发357h 后两车相遇，故①错误；当乙车出发1.5 h 时，乙车行驶的距离＝80×1.5＝120 km ，甲车行驶的距离＝60×(1.5＋1)＝150 km ，两车的距离＝440－120－150＝170 km ，故②正确；乙车出发时间＝甲车出发时间－1＝357－1＝257h ，故③正确；甲车到达C 地时，乙车从C 地向A 地又行驶了0.5 h ，所以两车的距离＝0.5×80＝40 km ，故④正确．8. 1750 【解析】设变速后小明的速度为a 米/秒，小刚的速度为b 米/秒，则⎩⎪⎨⎪⎧100b －100a ＝15050b ＝200a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.5b ＝2，全程为1450＋150×2＝1750米． 9. 60 【解析】快车的速度为560÷7＝80 km /h ，慢车的速度为560÷4－80＝60 km /h ，快车到达甲地时，慢车距离甲地的距离为(80－60)×(7－4) ＝60 km .10. 2 【解析】设甲、乙两船在静水中的速度为x km /h ，水流速度为y km /h .由题意：⎩⎪⎨⎪⎧3.5（x －y ）＋2.5（x ＋y ）－（x －y ）＝603.5（x －y ）x ＋y ＝60－3.5（x －y ）x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝2，故水流速度为2 km /h . 11. 15 【解析】由图可知：①50秒时，甲追上乙，②300秒时，乙到达目的地，∴乙的速度为：1300－100300＝4(米/秒)，设甲的速度为x 米/秒，则50x －50×4＝100，解得x ＝6，设丙比甲晚出发a 秒，则(50＋45－a )×6＝(50＋45)×4＋100，解得a ＝15，则丙比甲晚出发15秒．12. 9 【解析】A 班第一棒的速度为60÷8＝7.5(米/秒)，B 班第一棒的速度为7.5－12÷8＝6(米/秒)，B 班第一棒到达终点的时间为60÷6＝10(秒)，A 班第二棒的速度为6＋(16－12)÷(10－8) ＝8(米/秒)，A 班第二棒到达终点的时间为8＋60÷8＝15.5(秒)，B 班第二棒的速度为8＋(16－10.5)÷(15.5－10) ＝9(米/秒)．13. 90 【解析】设快车从甲地到乙地的速度为a 千米/时，则3(a －60)＝120，解得a ＝100，则甲、乙两地之间的距离为3×100＝300(千米)；快车返回时距离慢车的距离为300－60 (3＋4560)＝75(千米)，设快车从乙地返回甲地的速度是b 千米/小时，根据题意得：(60＋b )[414－(3＋4560)]＝75，解得b ＝90，则快车从乙地返回甲地的速度是90千米/小时． 14. 1350 【解析】设AC 中点为E .观察函数图象可知：乙车从B 到C 需用4小时，从C到E 需用20－42＝8(小时)，甲从A 到E 需要12小时，∵点E 为AC 的中点，乙的速度不变，∴AE ＝CE ＝2BC (如解图所示)，∵2CE ＝1440(千米)，∴AE ＝720(千米)，BE ＝1080(千米)，∴甲的速度为720÷12＝60(千米/小时)，乙的速度为1080÷12＝90(千米/小时)．当第21小时时，甲乙两车之间的距离为(60＋90)×(21－12)＝1350(千米)．第14题解图15. 275 【解析】由图象可知：高铁1.75小时时，由重庆到达成都，速度为350÷1.75＝200(千米/小时)，设旅行专列的速度为a千米/小时，则 3.75a＋200×(3.75－1)＝350×2，解得a＝40，350÷40＝8.75(小时)，高铁：第一次去成都：1.75小时，休息1小时；第一次返回：2.75＋1.75＝4.5小时，休息1小时；第二次去成都：5.5＋1.75＝7.25<8.75，设当两车第二次相遇时，该旅行专列共行驶了b千米，则200×(b40－5.5)＝b，解得b＝275，则当两车第二次相遇时，该旅行专列共行驶了275千米．16. 300 【解析】如解图，第16题解图由图可知，两人相距2400米，在①段上，两人相向而行5分钟后，两人第一次相遇，在②段上两人背向而行，8分钟时，小明首先到达小强家，所以小明的速度为2400÷8＝300米/分钟，则小强的速度为2400÷5－300＝180米/分钟，③段末表示小强到达小明家往回返，④段表示小强小明相向而行，第二次相遇，⑤段表示第二次相遇后小明继续往家的方向跑，小强相反，⑥段表示小明到家后往回返，此时和小强同向，然后第三次相遇．所以第二次相遇时距离小明家最近，此时，两人跑步的时间为2400×3÷(300＋180)＝15分钟，则小明距家2400×2－300×15＝300米．其他问题1. D 【解析】由图象可得，甲队每天挖600÷6＝100米，故①正确；乙队开挖两天后，每天挖(500－300)÷(6－2)＝50米，故②正确；当甲乙挖的管道长度相等时，100x ＝300＋(x －2)×50，解得x ＝4，故③正确；甲队比乙队提前完成的天数为(600－300)÷50＋2－6＝2(天)，故④正确．2. 30 【解析】由题意知进水速度为15÷3＝5(升/分钟)，设出水速度为a 升/分钟，则容器的容量为15×5－(15－3)a ＝75－12a ，由函数图象可知75－12a ＝(23－15)a ，解得a ＝154，所以容器的容量为75－12×154＝30(升)．。
2018级中考数学专题复习—反比例函数与一次函数的综合1．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．3．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？5．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．6．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．7．已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．8．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．9．如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．11．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．12．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．13．如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．15．如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；16．如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．17．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=，tanAOC=，点B的坐标为（，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积．18．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=：（1）求反比例函数和直线的函数表达式；（2）求△OPQ的面积．19．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D两点，点B的横坐标为1，OC=OD，点P在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等．（1）求一次函数的解析式；（2）求△APB的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO=，OB=4，OD=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，﹣2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且点C为OB中点．（1）分别求双曲线及直线AE的解析式；（2）若点Q在双曲线上，且S△QAB=4S△BAC，求点Q的坐标．22．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别x轴，y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E 两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OD=1，OE=，cos∠AOE=（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．23．如图，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点为A（2，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，设点D在反比例函数图象上，且△DBC的面积等于6，请求出点D的坐标；（3）请直接写出不等式x+2＜成立的x取值范围．24．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣1，﹣4）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式y1＞y2的解集．25．如图，已知反比例函数y=（k＜0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴的交点为点C，试求出△ABC的面积．26．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OA=OB=2，OD=1．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．27．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y=（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．28．如图，直线y=﹣2和双曲线y=相交于A（b，1），点P在直线y=x﹣2上，且P点的纵坐标为﹣1，过P作PQ∥y轴交双曲线于点Q．（1）求Q点的坐标；（2）求△APQ的面积．29．如图，在一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．30．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q （4，m）两点，且tan∠BOP=．（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）求△OPQ的面积；（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．2018级中考数学专题复习-反比例函数与一次函数的交点参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．2．（2016•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．设反比例函数解析式为y=．∵AE⊥x轴，∴∠AEO=90°．在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，∠AEO=90°，∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE==4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．∵点A（﹣4，3）在反比例函数y=的图象上，∴3=，解得：k=﹣12．∴反比例函数解析式为y=﹣．（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣4=﹣，解得：m=3，∴点B的坐标为（3，﹣4）．设直线AB的解析式为y=ax+b，将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．S△AOB=OC•（y A﹣y B）=×1×[3﹣（﹣4）]=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．3．（2016•南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|•3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．【解答】解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．5．（2010•成都）如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【分析】（1）把A（1，﹣k+4）代入解析式y=，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y=x+b的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；（2）将两个函数的解析式组成方程组，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围．【解答】解：（1）∵已知反比例函数经过点A（1，﹣k+4），∴，即﹣k+4=k，∴k=2，∴A（1，2），∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），∴2=1+b，∴b=1，∴反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y=x+1．（2）由，消去y，得x2+x﹣2=0．即（x+2）（x﹣1）=0，∴x=﹣2或x=1．∴y=﹣1或y=2．∴或．∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．（2010•泸州）如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=﹣，再求出B的坐标是（1，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）在一次函数的解析式中，令x=0，得出对应的y2的值，即得出直线y2=﹣x﹣1与y轴交点C的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（﹣2，1），即1=；∴m=﹣2，即y1=﹣，又∵点B（a，﹣2）在y1=﹣上，∴a=1，∴B（1，﹣2）．又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点，即．解之得．∴y2=﹣x﹣1．（2）∵x=0，∴y2=﹣x﹣1=﹣1，即y2=﹣x﹣1与y轴交点C（0，﹣1）．设点A的横坐标为x A，∴△AOC的面积S△OAC==×1×2=1．（3）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方．∴﹣2＜x＜0，或x＞1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．7．（2008•甘南州）已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【分析】（1）反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点，把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k，得到反比例函数的解析式．将B（n，﹣1）代入反比例函数的解析式求得B点坐标，然后再把A、B点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据图象，分别在第一、三象限求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．【解答】解：（1）∵A（1，3）在y=的图象上，∴k=3，∴y=．又∵B（n，﹣1）在y=的图象上，∴n=﹣3，即B（﹣3，﹣1）∴解得：m=1，b=2，∴反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+2．（2）从图象上可知，当x＜﹣3或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．【点评】本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，另外要学会利用图象，确定x的取值范围．8．（2008•南充）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解之得．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．9．（2007•资阳）如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．【分析】（1）由A和B都在反比例函数图象上，故把两点坐标代入到反比例解析式中，列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A的坐标及反比例函数解析式，把确定出的A坐标及B的坐标代入到一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；（2）令一次函数解析式中x为0，求出此时y的值，即可得到一次函数与y轴交点C的坐标，得到OC的长，三角形AOB的面积分为三角形AOC及三角形BOC面积之和，且这两三角形底都为OC，高分别为A和B的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（3）根据图象和交点坐标即可得出结果．【解答】解：（1）∵m=﹣8，∴n=2，则y=kx+b过A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点，∴解得k=﹣1，b=﹣2．故B（2，﹣4），一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）由（1）得一次函数y=﹣x﹣2，令x=0，解得y=﹣2，∴一次函数与y轴交点为C（0，﹣2），∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC•|y点A横坐标|+OC•|y点B横坐标|=×2×4+×2×2=6．S△AOB=6；（3）一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围：﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标的意义，一次函数与坐标轴交点的求法，以及三角形的面积公式，利用了数形结合的思想．第一问利用的方法为待定系数法，即根据题意把两交点坐标分别代入两函数解析式中，得到方程组，求出方程组的解确定出函数解析式中的字母常数，从而确定出函数解析式，第二问要求学生借助图形，找出点坐标与三角形边长及边上高的关系，进而把所求三角形分为两三角形来求面积．10．（2005•四川）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）根据tan∠AOC=，且OA=，结合勾股定理可以求得点A的坐标，进一步代入y=中，得到反比例函数的解析式；然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式；（2）三角形AOB的面积可利用，求和的方法即等于S△AOC+S△COB来求．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x于点H．在RT△AHO中，tan∠AOH==，所以OH=2AH．又AH2+HO2=OA2，且OA=，所以AH=1，OH=2，即点A（﹣2，1）．代入y=得k=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．又因为点B的坐标为（，m），代入解得m=﹣4．∴B（，﹣4）．把A（﹣2，1）B（，﹣4）代入y=ax+b，得，∴a=﹣2，b=﹣3．∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3．（2）在y=﹣2x﹣3中，当y=0时，x=﹣．即C（，0）．∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（1+4）×=．【点评】此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识，难易程度适中．11．（2016•乐至县一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣2，4），B（4，﹣2）代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值；（2）先求出C点的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；（3）由图象即可得出答案；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），∵一次函数过A、B两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），∵S△AOC=×OC×|A x|，S△BOC=×OC×|B x|∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=•OC•|A x|+•OC•|B x|==6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式．12．（2016•重庆校级模拟）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）先根据解直角三角形求得点D和点B的坐标，再利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式，利用点B的坐标求得反比例函数解析式；（2）先根据解方程组求得两个函数图象的交点A的坐标，再将x轴作为分割线，求得△AOB的面积；（3）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）∵∴直角三角形OCD中，=，即CD=OD又∵OC=1∴12+OD2=（OD）2解得OD=，即D（0，﹣）将C（1，0）和D（0，﹣）代入一次函数y=ax+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y=x﹣过B作BE⊥x轴，垂足为E∵直角三角形BCE中，BC=5，∴BE=3，CE==4∴OE=4﹣1=3，即B（﹣3，﹣3）将B（﹣3，﹣3）代入反比例函数，可得k=9∴反比例函数的解析式为y=；（2）解方程组，可得，∴A（4，）∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×+×1×3=+=；（3）根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜4．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．13．（2016•重庆校级一模）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（2）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）设点A坐标为（﹣2，m），点B坐标为（n，﹣2）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣2，m）B（n，﹣2）代入反比例函数y2=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣2，4）、B（4，﹣2）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+2；（2）在一次函数y1=﹣x+2中，当x=0时，y=2，即N（0，2）；当y=0时，x=2，即M（2，0）∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=×2×2+×2×2+×2×2=2+2+2=6；（3）根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．14．（2016•重庆校级模拟）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m和n，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据函数图象得到答案；（3）求出直线与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（2，3），∴m=2×3=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵反比例函数的图象经过于B（﹣3，n），∴n==﹣2，∴点B的坐标（﹣3，﹣2），由题意得，，解得，，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2；（3）直线y=x+1与x轴的交点C的坐标为（﹣1，0），则OC=1，则S△ABO=S△OBC+S△ACO=×1×2+×1×3=．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键，注意数形结合思想的运用．15．（2016•成华区模拟）如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）由B点的坐标根据待定系数法即可求得在反比例函数的解析式，代入A（﹣2，m）即可求得m，再由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由直线解析式求得C点的坐标，从而求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵B（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴k=4×（﹣2）=﹣8，又∵A（﹣2，M）在反比例函数y=的图象上，∴﹣2m=﹣8，∴m=4，∴A（﹣2，4），又∵AB是一次函数y=ax+b的上的点，∴解得，a=﹣1，b=2，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2，反比例函数的解析式y=﹣；（2）由直线y=﹣x+2可知C（2，0），所以△AOB的面积=×2×4+×2×2=6．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•重庆校级一模）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象过A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，当x=2时，y=﹣1，即B点坐标为（2，﹣1），∵一次函数y=mx+n（m≠0）过A、B两点，∴把A、B两点坐标代入可得，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）在y=﹣x+1中，当x=0时，y=1，∴C点坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴D点坐标为（0，﹣1），∴CD=2，∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=×2×1+×2×2=3．【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键．。
2018数学中考总复习一元一次方程应用题（Day1）从实际问题到方程1. 已知矩形的周长为20厘米，设长为x厘米，则宽为 .2.学生a人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（）组.A. 10a－2B. 10－2aC. 10－(2－a)D.(10+2)/a3．一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是4．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作完成这项工程，则可以列的方程是5．一队师生共328人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？如果设还要租x辆客车，可列方程为6．民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票。
一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。
7. 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”8．某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？9．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数。
10．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数。
11．小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄。
13．某校初一年级选出的男生的和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数恰好是所剩女生人数的2倍．已知该年级共有学生156人，问男生、女生各有多少人？14．长安电冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台，经过技术革新后，效率提高了12.5％，这样提前两天完成了这一批任务，并且比原计划还多生产了35台．问实际生产电冰箱多少台？（Day2）行程问题一、本课重点，请你理一理1.航行问题的数量关系：（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程2、乙3小时走了x千米，则他的速度是（）.3、甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，则甲、乙一小时共行（）千米，y小时共行（）千米.4、某一段路程x 千米，如果火车以49千米/时的速度行驶，那么火车行完全程需要小时. 5．甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1)两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2)快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3)若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4)若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？（Day3）综合题，请你试一试1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？2. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？3．一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.4．某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两地距离为2千米，则A、B 两地之间的距离是．5．一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．（1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？6．一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。
（1）求无风时飞机的飞行速度（2）求两城之间的距离。
7．一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾离开经过18秒，客车与货车的速度比是5∶3，问两车每秒各行驶多少米？（Day4）调配问题一、基础题，请你做一做1.某人用三天做零件330个，已知第二天比第一天多做3个，第三天做的是第二天的2倍少3个，则他第一天做了多少个零件？解：设他第一天做零件x 个，则他第二天做零件__________个，第三天做零件____________________个，根据“某人用三天做零件330个”列出方程得：______________________________________.解这个方程得：______________.答：他第一天做零件________ 个.2.初一甲、乙两班各有学生48人和52人，现从外校转来12人插入甲班x 人，其余的都插入乙班，问插入后，甲班有学生＿＿＿＿＿＿人，乙班有学生＿＿＿＿＿＿＿人，若已知插入后，甲班学生人数的3倍比乙班学生人数的2倍还多4人，列出方程是：＿＿＿＿＿＿.二、综合题，请你试一试2. 甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克15元，若要配制200千克单价为每千克18元的混合糖果，并使之和分别销售两种糖果的总收入保持不变，问需甲、乙两种糖果各多少千克？3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？4．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？5．某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成，若提高工作效率百分之二十五，到期将超额完成50个，问预定期限是多少天？（Day5）工程问题一、本课重点，请你理一理1.工程问题中的基本关系式：工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和= 工作总量（常用“1”来表示）二、基础题，请你做一做1．做某件工作，甲单独做要8时才能完成，乙单独做要12时才能完成，问：①甲做1时完成全部工作量的几分之几？。
②乙做1时完成全部工作量的几分之几？。
③甲、乙合做1时完成全部工作量的几分之几？。
④甲做x时完成全部工作量的几分之几？。
⑤甲、乙合做x时完成全部工作量的几分之几？。
⑥甲先做2时完成全部工作量的几分之几？。
乙后做3时完成全部工作量的几分之几？。
结果完成了工作，则可列出方程：＿＿＿＿＿三、综合题，请你试一试1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？2.食堂存煤若干吨，原来每天烧煤4吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量.3.一水池，单开进水管3小时可将水池注满，单开出水管4小时可将满池水放完。
现对空水池先打开进水管2小时，然后打开出水管，使进水管、出水管一起开放，问再过几小时可将水池注满？四、易错题，请你想一想1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，甲单独做5天,然后甲、乙合作完成，共得到1000元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？2．一部稿件，甲打字员单独打20天可以完成，甲、乙两打字员合打，12天可以完成．现由两个合打7天后，余下的部分由乙单独打，还需多少天完成？3．一个蓄水池共有A，B两个进水管和一个排水管C．单独开A管，6小时可将空池注满水；单独开B管，10小时可将空池注满水；单独开C管，9小时可将满池水排完．现在水池中没有水．若先将A，B两管同时开2.5小时，然后打开C管，问打开C管后，几小时可将水池注满水？（五）利润问题（1）售价=标价×折数×0.1 （2）利润=售价-进价（3）利润=进价×利润率二、基础题，请你做一做1.某商品按定价的八折出售，售价14.80元，则原定价是________元。
2.盛超把爸、妈给的压岁钱1000元按定期一年存入银行。
当时一年期定期存款的年利率为1.98%，利息税的税率为20%。
到期支取时，利息为_______税后利息________,小明实得本利和为__________.3.A、B两家售货亭以同样价格出售商品，一星期后A家把价格降低了10%，再过一个星期又提高20%，B家只是在两星期后才提价10%，两星期后_____家售货亭的售价低。
4.某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售商贩__________（盈利或亏本）5. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元,小明储蓄的年利率为 .6.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．”列出方程为。
三、综合题，请你试一试1.某种商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是赚了还是赔了？2.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该项商品积压，商品准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则至多可打多少折？3.一商店将某型号彩电按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价？4．某件商品的价格是按获利润25%计算出的，后因库存积压和急需加收资金，决定降价出售，如果每件商品仍能获得10%的利润，试问应按现售价的几折出售？5．某书店出售一种优惠卡，花100元买这种卡后，可打6折，不买卡可打8折，你怎样选择购物方式。
6．某种商品的零售价为每件900元，为了适应市场竟争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%。
则进价为每件多少元？7．东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的标价为多少？8．某种商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品。
（六）收费问题1. 为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月的水费：如果每月每户用水不超过20吨，那么每吨水按1.2元收费；如果每月每户用水超过20吨，那么超过的部分按每吨2元收费。
