江苏省2019高考数学二轮复习第8讲空间中的平行与垂直滚动小练(附答案)

【2019最新】高考数学二轮专题复习专题五 5-2 空间中的平行与垂直能力训练新人教A版(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2015浙江五校第二次联考,文2)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2.已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直3.(2015浙江东阳模拟考试,文2)已知l,m为两条不同的直线,α为一个平面.若l∥m,则l∥α是m∥α的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,a∥c,则b∥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④5.(2015浙江镇海中学模拟,文3)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题正确的是()A.若m∥α,α∩β=n,则m∥nB.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥βC.若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥nD.若α⊥β,α∩β=m,m∥n,则n∥β6.已知α,β是两个不同的平面,下列四个条件中能推出α∥β的是()①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.A.①③B.②④C.①④D.②③7.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,给出以下平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系,其中正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)①平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直②它们两两垂直③平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直④平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直9.如图,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a=;②a=1;③a=;④a=4.当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,可以取(填正确的序号).10.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M 为线段PB的中点.有以下四个命题:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号).11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上一点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M,N,G分别是棱CC1,AB,BC的中点,且CC1=AC.(1)求证:CN∥平面AMB1;(2)求证:B1M⊥平面AMG.13.(本小题满分15分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证:AD1⊥BC.(2)在AB上是否存在点M,使得C1M∥平面ADD1A1?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.14.(本小题满分16分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M分别为AB,DE的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A'DE,F为A'C的中点,A'C=4.(1)求证:平面A'DE⊥平面BCD;(2)求证:FB∥平面A'DE.参考答案专题能力训练12空间中的平行与垂直1.D解析:对于①,没有说明是两条相交直线,不对;对于②,根据平面与平面垂直的判定定理可知其正确;对于③,垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面,不对;对于④,根据平面与平面平行的性质定理可知其正确.故选D.2.B解析:当AC=1时,由DC=1,AD=,得∠ACD为直角,DC⊥AC,又因为DC⊥BC,所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.3.D解析:若l∥m,且l∥α,则m∥α或m⊂α;反之,若l∥m,且m∥α,则l∥α或l⊂α.故选D.4.D解析:若a⊥b,b⊥c,则a∥c或a与c相交或a与c异面,所以①是假命题;平行于同一直线的两条直线平行,所以②是真命题;若a∥γ,b∥γ,则a∥b或a与b相交或a与b异面,所以③是假命题;若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,所以④是真命题.故选D.5.C解析:对于选项A,因为直线与平面平行,所以直线与平面没有公共点,所以直线m与直线n可能异面,可能相等,此选项不正确;对于选项B,因为当α∩β=n时,满足m⊥α,n⊂β,m⊥n,但α不一定垂直β,所以此选项不正确;对于选项C,因为α∥β,m⊥α,所以m⊥β,又因为n∥β,所以m⊥n;对于选项D,当n⊂β时,满足α⊥β,α∩β=m,m∥n,所以此选项不正确;故选C.6.C解析:对于①,垂直于同一直线的两个平面平行,故当a⊥α,a⊥β时,α∥β,故①正确;对于②,若γ⊥α,γ⊥β,α与β可能平行,也可能相交(此时α,β的交线与γ垂直),故②不正确;对于③,若a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则α与β可能平行,也可能相交(此时a,b均与交线平行),故③不正确;对于④,存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.可将α内的直线平移到β内的直线c,则有相交直线b,c都与平面α平行,根据面面平行的判定定理,可得④正确.故选C.7.A解析:易知PA,PE,PF两两垂直,所以PA⊥平面PEF.因为EF⊂平面PEF,所以PA⊥EF.因为PO⊥平面AEF,EF⊂平面AEF,所以PO⊥EF.所以EF⊥平面PAO.因为AO⊂平面PAO,所以EF⊥AO.同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.8.①解析:∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB.又DA⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,∠CD1D=∠APB,∴∠CD1D<90°.故平面PAD与平面PBC不垂直.9.①②解析:如图,连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ.又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD.故Rt△ABQ∽Rt△QCD.令BQ=x,则有,整理得x2-2x+a2=0.由题意可知方程x2-2x+a2=0有正实根,所以0<a≤1.故应填“①②”.10.②④解析:①错误,PA⊂平面MOB;②正确;③错误,若OC⊥平面PAC,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾;④正确,因为BC⊥平面PAC.11. 解析:如图,过点D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,∵平面ABD⊥平面ABCF,DK⊥AB,∴DK⊥平面ABCF.∴DK⊥AF.又DG⊥AF,DK∩DG=D,∴AF⊥平面DKG.∴AF⊥GK.容易得到,当F运动到点E时,K为AB的中点,t=AK==1;当F运动到点C时,在Rt △ADF中,易得AF=,且AG=,GF=.又易知Rt△AGK∽Rt△ABF,则,又AB=2,AK=t,∴t=.∴t的取值范围是.12.证明:(1)取AB1的中点P,连接NP,MP.∵CM AA1,NP AA1,∴CM NP.∴四边形CNPM是平行四边形.∴CN∥MP.∵CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC,∴平面CC1B1B⊥平面ABC.∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,∴B1M⊥AG.∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.设AC=2a,则CC1=2a.在Rt△MCA中,AM=a.同理,B1M=a.∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,∴AB1==2a,∴AM2+B1M2=A,∴B1M⊥AM.又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.13.(1)证明:连接D1C,则D1C⊥平面ABCD,∴D1C⊥BC.在等腰梯形ABCD中,连接AC.∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,∴BC⊥AC.∵D1C∩AC=C,∴BC⊥平面AD1C.∵AD1⊂平面AD1C,∴AD1⊥BC.(2)解:设M是AB上的点,连接C1M,∵AB∥CD,∴AM∥D1C1.经过AM,D1C1的平面与平面ADD1A1相交于AD1,要使C1M∥平面ADD1A1, 则C1M∥AD1,即四边形AD1C1M为平行四边形,此时D1C1=DC=AM=AB,即点M为AB的中点.∴在AB上存在点M,使得C1M∥平面ADD1A1,此时点M为AB的中点.14.证明:(1)由题意,得△A'DE是△ADE沿DE翻折而成的,因此△A'DE≌△ADE.∵∠ABC=120°,四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=60°.又∵AD=AE=2,∴△A'DE和△ADE都是等边三角形.如图,连接A'M,MC,∵M是DE的中点,∴A'M⊥DE,A'M=.在△DMC中,MC2=DC2+DM2-2DC·DM cos 60°=42+12-2×4×1×cos 60°,∴MC=.在△A'MC中,A'M2+MC2=()2+()2=42=A'C2.∴△A'MC是直角三角形.∴A'M⊥MC.∵A'M⊥DE,MC∩DE=M,∴A'M⊥平面BCD.∵A'M⊂平面A'DE,∴平面A'DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N,连接FN,NB.∵A'C=DC=4,F,N分别是A'C,DC的中点,∴FN∥A'D.∵N,E分别是平行四边形ABCD的边DC,AB的中点,∴BN∥DE.∵A'D∩DE=D,FN∩NB=N,∴平面A'DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB,∴FB∥平面A'DE.。

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

[真题感悟]
1．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC 的体积为V2，则V1∶V2＝______.
解析设三棱锥F－ADE的高为h，则V1
V2
＝
1 3h
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
AD·AE·sin∠DAE
2h 1
2
2AD2AE sin∠DAE
＝
1
24
答案1∶24
2．(2013·江苏卷)如图，在三棱锥中S－ABC中，平面SAB⊥平面
SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分
别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点，则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，因此平面EFG∥平面ABC.
(2)由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，因此BC⊥SA.
[考题分析]
高考对本内容的考查主要有：
(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A 级要求
(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求。

专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。

第二讲大题考法——平行与垂直题型(一)线线、线面地点关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考察线面平行、垂直的判断定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转变等 .[ 典例感悟 ][例 1] (2017 ·江苏高考 ) 如图，在三棱锥A- BCD中，AB⊥AD，BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F( E与 A，D不重合)分别在棱 AD，BD上，且 EF⊥ AD.求证： (1) EF∥平面ABC；(2)AD⊥ AC.[ 证明 ](1) 在平面ABD内，由于AB⊥AD，EF⊥AD，所以 EF∥ AB.又由于 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.(2)由于平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝ BD，BC?平面 BCD，BC⊥ BD，所以 BC⊥平面 ABD.由于 AD?平面 ABD，所以 BC⊥ AD.又 AB⊥ AD， BC∩ AB＝ B，AB?平面 ABC， BC?平面 ABC，所以 AD⊥平面 ABC.又由于 AC?平面 ABC，所以 AD⊥ AC.[ 方法技巧 ]立体几何证明问题的 2 个注意点(1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时一定依照定理建立的条件进行推理．如线面平行的判断定理中要求此中一条直线在平面内，另一条直线一定说明它在平面外；线面垂直的判断定理中要求平面内的两条直线一定是订交直线等，假如定理的条件不完好，则结论不必定正确．(2)证明立体几何问题，重要密联合图形，有时要利用平面几何的有关知识，所以需要多画出一些图形协助使用．[ 操练冲关 ]1.(2018 ·苏锡常镇调研) 如图，在四棱锥P- ABCD中，∠ ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若 PB＝ PD，求证： PC⊥ BD；(2)求证： CE∥平面 PAD.证明： (1) 取BD的中点O，连结CO，PO，由于 CD＝ CB，所以 BD⊥ CO.由于 PB＝ PD，所以 BD⊥ PO.又 PO∩ CO＝ O，所以 BD⊥平面 PCO.由于 PC?平面 PCO，所以 PC⊥ BD.(2)由 E 为 PB中点，连结 EO，则 EO∥ PD，又 EO?平面 PAD， PD?平面 PAD，所以 EO∥平面 PAD.由∠ ADB＝90°，以及BD⊥ CO，所以 CO∥ AD，又 CO?平面 PAD，所以 CO∥平面 PAD.又 CO∩ EO＝ O，所以平面 CEO∥平面 PAD，而 CE?平面 CEO，所以 CE∥平面 PAD.2．(2018 ·苏州模拟 ) 在以下图的空间几何体ABCDPE中，底面ABCD 是边长为 4 的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝ 4，EB＝ 2.(1)若点 Q是 PD的中点，求证： AQ⊥平面 PCD；(2)证明： BD∥平面 PEC.证明： (1) 由于PA＝AD，Q是PD的中点，所以 AQ⊥ PD.又 PA⊥平面 ABCD，所以 CD⊥ PA.又 CD⊥ DA， PA∩ DA＝ A，所以 CD⊥平面 ADP.又由于 AQ?平面 ADP，所以 CD⊥ AQ，又 PD∩ CD＝ D，所以 AQ⊥平面 PCD.(2) 如图，取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME，1在△ PAC中，易知 MN＝2PA， MN∥ PA，1又 PA∥ EB， EB＝2PA，所以 MN＝ EB， MN∥ EB，所以四边形BEMN是平行四边形，所以 EM∥ BN.又 EM?平面 PEC， BN?平面 PEC，所以 BN∥平面 PEC，即 BD∥平面 PEC.题型(二)两平面之间地点关系的证明考察面面平行和面面垂直，都需要用判断定理，其实质是考察线面垂直和平行.[ 典例感悟 ][例 2] (2018 ·南京模拟 ) 如图，直线PA 垂直于圆 O 所在的平面，△ABC内接于圆 O，且 AB为圆 O的直径， M为线段 PB 的中点， N 为线段BC的中点．求证： (1) 平面MON∥平面PAC；(2)平面 PBC⊥平面 MON.[证明] (1) 由于M， O，N分别是PB， AB， BC的中点，所以MO∥ PA，NO∥ AC，又 MO∩ NO＝ O，PA∩ AC＝A，所以平面 MON∥平面 PAC.(2) 由于PA⊥平面ABC，BC? 平面ABC，所以PA⊥BC.由 (1) 知，MO∥PA，所以MO⊥BC.连结 OC，则 OC＝ OB，由于 N为 BC的中点，所以ON⊥BC.又 MO∩ ON＝ O，MO?平面 MON， ON?平面 MON，所以 BC⊥平面 MON.又 BC?平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 MON.[ 方法技巧 ]证明两平面地点关系的求解思路(1)证明面面平行依照判断定理，只需找到一个面内两条订交直线与另一个平面平行即可，进而将证明面面平行转变为证明线面平行，再转变为证明线线平行．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判断定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转变为证明线面垂直，一般先从现有直线中找寻，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或增添协助线解决.[ 操练冲关 ](2018 ·江苏高考) 在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中， AA1＝ AB， AB1 ⊥B1C1.求证： (1) AB∥平面A1B1C；(2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.证明： (1) 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥ A1B1.由于 AB?平面 A1B1C，A1B1?平面 A1B1C，所以 AB∥平面 A1B1 C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形．又由于 AA1＝ AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以 AB1⊥ A1B.由于 AB1⊥ B1C1， BC∥B1C1，所以 AB1⊥ BC.由于 A1B∩ BC＝ B，A1B?平面 A1BC，BC?平面 A1BC，所以由于AB1⊥平面AB1?平面A1BC.ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.题型(三) 主要考察空间线面、面面平行或垂直的地点空间地点关系的综合问题关系的证明与翻折或存在性问题相联合的综合问题 .[ 典例感悟 ][ 例 3] 如图 1，在矩形ABCD中，AB＝ 4，AD＝ 2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，获得如图 2 所示的四棱锥D1- ABCE，此中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明： BE⊥平面 D1AE；(2)设 F 为 CD1的中点，在线段 AB上能否存在一点 M，使得 MF∥平面 D1AE，若存在，求AM出的值；若不存在，请说明原因．ABAD＝ DE＝ EC＝BC＝2，∴ AE＝ BE＝2 2.[ 解 ] (1) 证明：∵四边形ABCD为矩形且22 2又 AB＝4，∴ AE＋BE＝ AB，∴∠ AEB＝90°，即 BE⊥AE.又平面 D1AE⊥平面 ABCE，平面 D1AE∩平面 ABCE＝AE，BE?平面 ABCE，∴ BE⊥平面 D1AE.AM 1(2)＝，原因以下：AB 4取 D1E 的中点 L，连结 FL，AL，1∴FL∥EC， FL＝2EC＝1.1又 EC∥ AB，∴ FL∥ AB，且 FL＝4AB，∴ M， F， L， A四点共面．若 MF∥平面 AD1E，则 MF∥AL.∴四边形 AMFL为平行四边形，1AM 1∴AM＝FL＝4AB，即AB＝4.[ 方法技巧 ]与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤[ 操练冲关 ](2018 ·全国卷Ⅰ) 如图，在平行四边形ABCM中， AB＝ AC＝3，∠ ACM＝90°.以AC为折痕将△ ACM折起，使点M抵达点 D的地点，且AB⊥ DA.(1) 证明：平面ACD⊥平面 ABC；2(2)Q为线段 AD上一点， P 为线段 BC上一点，且 BP＝ DQ＝ DA，求三棱锥 Q- ABP的体积．3解： (1) 证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥ AC.又由于 BA⊥ AD， AC∩ AD＝A，所以 AB⊥平面 ACD.由于 AB?平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.(2)由已知可得， DC＝ CM＝ AB＝3，DA＝3 2.2又 BP＝ DQ＝3DA，所以 BP＝2 2.1如图，过点Q作 QE⊥ AC，垂足为 E，则 QE綊3DC.由已知及 (1) 可得，DC⊥平面ABC，所以 QE⊥平面 ABC， QE＝1.1 1 1所以，三棱锥Q- ABP的体积V Q- ABP＝3× S△ABP× QE＝3×2×3×22sin 45 °× 1＝ 1.为[ 课时达标训练]A组——大题保分练1.如图，在三棱锥 V- ABC中， O，M分别为 AB，VA的中点，平面 VAB⊥平面 ABC，△ VAB是边长为2的等边三角形，AC⊥ BC且 AC＝ BC.(1)求证： VB∥平面 MOC；(2)求线段 VC的长．解： (1) 证明：由于点O，M分别为 AB， VA的中点，所以MO∥VB.又 MO?平面 MOC， VB?平面 MOC，所以 VB∥平面 MOC.(2) 由于AC＝BC，O为AB的中点，AC⊥BC，AB＝ 2，所以OC⊥AB，且CO＝1.连结 VO，由于△ VAB是边长为2的等边三角形，所以VO＝ 3. 又平面VAB⊥平面ABC，OC⊥ AB，平面 VAB∩平面 ABC＝ AB， OC?平面 ABC，所以 OC⊥平面 VAB，所以 OC⊥ VO，2 2所以 VC＝OC＋VO＝2.2．(2018 ·南通二调) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥ BC，A1B与 AB1交于点 D， A1C与 AC1交于点 E.求证： (1) DE∥平面B1BCC1；(2)平面 A1BC⊥平面 A1ACC1.证明： (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ACC1为平行四边形．又 E 为 A1C与 AC1的交点，所以E为A1C的中点.同理， D为 A1B 的中点，所以DE∥ BC.又 BC?平面 B1BCC1，DE?平面B1BCC1，所以 DE∥平面 B1BCC1.(2) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又 BC?平面 ABC，所以 AA1⊥ BC.又 AC⊥ BC， AC∩ AA1＝ A， AC?平面 A1ACC1， AA1?平面 A1ACC1，所以 BC⊥平面 A1ACC1.由于 BC?平面 A1BC，所以平面A1BC⊥平面 A1ACC1.3.如图，在三棱锥 A- BCD中， E，F 分别为棱 BC，CD上的点，且 BD∥平面 AEF.(1)求证： EF∥平面 ABD；(2)若 BD⊥ CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD.证明： (1) 由于BD∥平面AEF，BD?平面 BCD，平面 AEF∩平面 BCD＝ EF，所以 BD∥ EF.由于 BD?平面 ABD， EF?平面 ABD，所以 EF∥平面 ABD.(2)由于 AE⊥平面 BCD， CD?平面BCD，所以 AE⊥ CD.由于 BD⊥ CD， BD∥ EF，所以CD⊥EF，又 AE∩ EF＝ E，AE?平面 AEF， EF?平面 AEF，所以 CD⊥平面 AEF.又 CD?平面 ACD，所以平面 AEF⊥平面 ACD.4．(2018 ·无锡期末) 如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝ 2AF.求证： (1) AC⊥平面BDE；(2)AC∥平面 BEF.证明： (1) 由于DE⊥平面ABCD，AC? 平面ABCD，所以DE⊥AC.由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥ BD，由于 DE?平面 BDE， BD?平面 BDE，且 DE∩ BD＝ D，所以 AC⊥平面 BDE.(2)设 AC∩ BD＝O，取 BE中点 G，连结 FG， OG，1易知 OG∥ DE且 OG＝2DE.由于 AF∥ DE， DE＝2AF，所以 AF∥ OG且 AF＝ OG，进而四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO.由于 FG?平面 BEF， AO?平面 BEF，所以 AO∥平面 BEF，即 AC∥平面 BEF.B组——大题增分练1．(2018 ·盐城三模 ) 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形， M，N分别是棱 A1D1， D1C1的中点．求证： (1) AC∥平面DMN；(2)平面 DMN⊥平面 BB1D1D.BB1， BB1 证明： (1) 连结A1C1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由于AA1綊綊 CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥ AC.又M，N 分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MN∥ A1C1，所以 AC∥ MN.又 AC?平面 DMN， MN?平面DMN，所以 AC∥平面 DMN.(2)由于四棱柱 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 DD1⊥平面 A1B1C1D1，而 MN?平面A1B1C1D1，所以 MN⊥ DD1.又由于棱柱的底面 ABCD是菱形，所以底面 A1B1C1D1也是菱形，所以 A1C1⊥B1D1，而 MN∥A1C1，所以 MN⊥ B1D1.又 MN⊥ DD1， DD1?平面 BB1D1D， B1D1?平面 BB1D1D，且 DD1∩ B1D1＝ D1，所以 MN⊥平面 BB1D1D.而 MN?平面 DMN，所以平面 DMN⊥平面 BB1D1D.2.如图，在四棱锥 P- ABCD中， PA⊥底面 ABCD， AB∥CD， AB⊥BC，AB＝ BC＝1， DC＝2，点 E 在 PB上．(1)求证：平面 AEC⊥平面 PAD；(2)当 PD∥平面 AEC时，求 PE∶ EB的值．解： (1) 证明：在平面ABCD中，过 A 作 AF⊥ DC于 F，则 CF＝ DF ＝AF＝1，∴∠ DAC＝∠ DAF＋∠ FAC＝45°＋45°＝90°，即AC⊥ DA.又 PA⊥平面 ABCD， AC?平面 ABCD，∴ AC⊥PA.∵PA?平面 PAD， AD?平面 PAD，且 PA∩ AD＝A，∴ AC⊥平面 PAD.又 AC?平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 PAD.(2)连结 BD交 AC于 O，连结 EO.∵PD∥平面 AEC， PD?平面 PBD，平面 PBD∩平面 AEC＝ EO，∴PD∥ EO，则 PE∶ EB＝ DO∶ OB.又△ DOC∽△ BOA，∴ DO∶OB＝ DC∶AB＝2∶1，∴PE∶EB的值为 2.3.(2018 ·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC，点 E，F 分别在棱 BB1，CC1上(均异于端点 ) ，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证： (1) 平面AEF⊥平面BB1C1C；(2)BC∥平面 AEF.证明： (1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中， BB1∥ CC1.由于 AF⊥ CC1，所以 AF⊥ BB1.又 AE⊥ BB1， AE∩ AF＝ A， AE?平面 AEF， AF?平面 AEF，所以 BB1⊥平面 AEF.又由于 BB1?平面 BB1C1C，所以平面 AEF⊥平面 BB1C1C.(2)由于 AE⊥ BB1，AF⊥ CC1，∠ ABE＝∠ ACF， AB＝AC，所以 Rt△AEB≌Rt △AFC.所以 BE＝ CF.又 BE∥ CF，所以四边形 BEFC是平行四边形．进而 BC∥ EF.又 BC?平面 AEF， EF?平面 AEF，所以 BC∥平面 AEF.4．(2018 ·常州期末 ) 如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是平行四边形， PC⊥平面 ABCD， PB＝ PD，点 Q是棱 PC上异于 P， C的一点．(1) 求证： BD ⊥ AC ；(2) 过点Q 和 的平面截四棱锥获得截面 ( 点 F 在棱 PB 上 ) ，求证： ∥ .AD ADQFQF BC证明： (1) 由于 PC ⊥平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ，所以 BD ⊥ PC .记 AC ， BD 交于点 O ，连结 OP .由于平行四边形对角线相互均分，则O 为 的中点．BD在△ PBD 中， PB ＝ PD ，所以 BD ⊥ OP .又 PC ∩ OP ＝ P ，PC ? 平面 PAC ， OP ? 平面 PAC .所以 BD ⊥平面 PAC ，又 AC ? 平面 PAC ，所以 BD ⊥ AC .(2) 由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥ BC .又 AD ?平面 PBC ， BC ? 平面 PBC ，所以 AD ∥平面 PBC .又 AD ? 平面 ADQF ，平面 ADQF ∩平面 PBC ＝QF ，所以 AD ∥ QF ，所以 QF ∥ BC .。

第8讲空间中的平行与垂直1.设l,m表示直线,m是平面α内的任意一条直线,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)2.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β.3.(2018南京高三第三次模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:①若l⊥α,l⊥β,则α∥β;②若l⊥α,α⊥β,则l∥β;③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.其中真命题为(填所有真命题的序号).4.若α、β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.5.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是.(填所正确命题的序号)①x,y,z为直线;②x,y,z为平面;③x,y为直线,z为平面;④x为直线,y,z为平面.6.给出下面命题:(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.则其中所有真命题的序号为.7.(2018扬州高三考前调研)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面PAC,AB⊥BP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB∥平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB⊥平面CMN.8.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面BB1C1C⊥平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,且B1D⊥BC1,求证:(1)A1C∥平面B1AD;(2)BC1⊥平面B1AD.答案精解精析1.答案充要条件解析因为m是平面α内的任意一条直线,若l⊥m,则l⊥α,所以充分性成立;反过来,若l⊥α,则l⊥m,所以必要性成立,故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件.2.答案①②解析若m⊥α,n∥α,则m⊥n,①正确;若α∥β,β∥γ,则α∥γ,又m⊥α,则m⊥γ,②正确;若α⊥β,a⊥γ,则β,γ可能平行或相交,③错误;若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α,β可能平行或相交,④错误,正确命题的序号是①②.3.答案①③解析若l⊥α,l⊥β,则α∥β,①正确;若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,②错误;若l∥α,l⊥β,则α⊥β,③正确;若l∥α,α⊥β,则l与β的位置关系不确定,可能平行、相交或l⊂β,④错误.故真命题为①③.4.答案②④解析当平面α、β垂直相交时,若直线m⊥α,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,①是假命题;若直线m⊥α,则m垂直于平面α、β的交线,则在平面β内,平行于交线的直线都与直线m垂直,即一定存在无数条直线与直线m垂直,②是真命题;若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,③是假命题,④是真命题.5.答案③解析若x,y,z为直线,则直线x,y可以平行、相交、异面,①错误;若x,y,z为平面,则平面x,y可能平行或相交,②错误;若x,y为直线,z为平面,由线面垂直的性质定理可知③正确;若x为直线,y,z为平面,则直线x可以在平面y内,也可以与平面y 平行,④错误.6.答案(1)(2)解析由面面平行的性质可知(1)正确;由线面垂直的性质可知(2)正确;若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线可能与另一个平面平行,也可能在另一个平面内,所以(3)错误;若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直于另一个平面,所以(4)错误.故真命题的序号是(1)(2).7.证明(1)在平面PAB中,M,N分别为PA,AB的中点,所以MN∥PB,又PB⊄平面CMN,MN⊂平面CMN,所以PB∥平面CMN.(2)在平面PAB中,AB⊥BP,MN∥PB,所以AB⊥MN,在平面PAC中,AC=PC,M为PA中点,所以CM⊥PA.因为平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,所以CM⊥平面PAB.因为AB⊂平面PAB,所以CM⊥AB,又CM∩MN=M,CM⊂平面CMN,MN⊂平面CMN,所以AB⊥平面CMN.8.证明(1)记BA1交AB1于点O,连接OD,由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形,∵O为BA1的中点,D是BC的中点,∴OD∥A1C.∵A1C⊄平面B1AD,OD⊂平面B1AD,∴A1C∥平面B1AD.(2)∵D是BC的中点,AB=AC,∴AD⊥BC.∵平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥平面BB1C1C.∵BC1⊂平面BB1C1C,∴AD⊥BC1,又BC1⊥B1D,且AD∩B1D=D,∴BC1⊥平面B1AD.。

第8讲　空间中的平行与垂直1.(2017江苏启东中学检测)设l,m为直线,α,β为平面,且l⊂α,m⊂β,则“l∩m=⌀”是“α∥β”的 条件.答案　必要不充分解析　若l⊂α,m⊂β,l∩m=⌀,则α,β可能平行或相交;反之,若l⊂α,m⊂β,且α∥β,则必有l∩m=⌀,所以“l∩m=⌀”是“α∥β”的必要不充分条件.2.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是 (填上所有正确命题的序号).①若α∥β,m⊂α,则m∥β;②若m∥α,n⊂α,则m∥n;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.答案　①④解析　由面面平行的性质可得①正确;若m∥α,n⊂α,则m,n平行或异面,②错误;由面面垂直的性质定理可知③中缺少条件“m⊂α”,错误;若n⊥α,n⊥β,则α∥β,又m⊥α,则m⊥β,④正确.3.下列命题中,正确的序号是 .(1)平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;(2)平行于同一个平面的两个平面平行;(3)若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行;(4)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面.答案　(1)(2)(4)解析　若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行或异面,(3)错误;由面面平行的判定和性质可得(1)(2)(4)都正确.4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,直线m⊂α,直线n⊂β,且m⊥n,有以下四个结论:①若n∥l,则m⊥β;②若m⊥β,则n∥l;③m⊥β和n⊥α同时成立;④m⊥β和n⊥α中至少有一个成立.其中正确结论的序号是 .答案　①④解析　若n∥l,则m⊥l,由面面垂直的性质定理可得m⊥β,①正确;若m⊥β,则m⊥l,又m⊥n,此时n,l的位置关系不确定,可能平行或相交,②错误;m⊥β和n⊥α可能同时成立,也可能只有一个成立,③错误;④正确.题型一　以锥体为载体的空间线面关系例1 (2018江苏南京高三模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA 其余棱长均为2,M是棱PC上的一点,D,E分别为棱AB,BC的中点.(1)求证: 平面PBC⊥平面ABC;(2)若PD∥平面AEM,求PM的长.6解析　(1)证明:如图,连接PE.因为△PBC是边长为2的正三角形,E为BC中点,所以PE⊥BC,336且PE= ,同理AE= 因为PA 所以PE2+AE2=PA2,所以PE⊥AE.因为PE⊥BC,PE⊥AE,BC∩AE=E,AE,BC⊂平面ABC,所以PE⊥平面ABC.因为PE⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.(2)如图,连接CD交AE于O,连接OM.因为PD∥平面AEM,PD⊂平面PDC,平面AEM∩平面PDC=OM,所以PD ∥OM ,所以 = .因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点,CD ∩AE =O ,所以O 为△ABC 的重心,所以 = ,所以PM = PC = .PM PC DO DCDO DC 131323【方法归纳】 以锥体为载体的空间线面关系问题,首先要考虑锥体的几何特征,然后根据要证明的问题选择相应的判定定理或性质定理.1-1 (2018苏锡常镇四市高三调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ADB=90°, CB=CD,点E为棱PB的中点.(1)若PB=PD,求证:PC⊥BD;(2)求证:CE∥平面PAD.证明　(1)取BD的中点O,连接CO,PO,因为CD=CB,所以△CBD为等腰三角形,所以BD⊥CO.因为PB=PD,所以△PBD为等腰三角形,所以BD⊥PO.又PO∩CO=O,所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO,所以PC⊥BD.(2)由E为PB中点,连接EO,则EO∥PD,又EO⊄平面PAD,所以EO∥平面PAD.由于∠ADB=90°,以及BD⊥CO,所以CO∥AD,又CO⊄平面PAD,所以CO∥平面PAD.又CO∩EO=O,所以平面CEO∥平面PAD,而CE⊂平面CEO,所以CE∥平面PAD.题型二　以柱体为载体的空间线面关系例2 (2018南通高三调研)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在BB1,CC1上(均异于端点),且∠ABE=∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.求证:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;(2)BC∥平面AEF.证明　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1.因为AF⊥CC1,所以AF⊥BB1.又AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以BB1⊥平面AEF.又因为BB1⊂平面BB1C1C,所以平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)因为AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE=∠ACF,AB=AC,所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE=CF.又由(1)知,BE∥CF,所以四边形BEFC是平行四边形,从而BC∥EF.又BC⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以BC∥平面AEF.【方法归纳】 (1)面面垂直的证明依据是面面垂直的判定定理,即要证面面垂直,则必须证明线面垂直,所以又要寻找线线垂直.(2)证明线面平行的方法一般有两种:一是利用线面平行的判定定理,利用三角形中位线的性质或平行四边形对边互相平行的性质寻找线线平行;二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行,再由面面平行的性质证明线面平行.2-1　如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,C1B=C1D.求证:(1)B1D1∥平面C1BD;(2)平面C1BD⊥平面AA1C1C.证明　(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD.又BD⊂平面C1BD,B1D1⊄平面C1BD,所以B1D1∥平面C1BD.(2)设AC与BD交于点O,连接C1O.因为底面ABCD为平行四边形,所以O为BD的中点,又C1B=C1D,所以C1O⊥BD.。

高考数学精品复习资料2019.5第2讲空间中的平行与垂直1．(20xx·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(20xx·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3．(20xx·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1 (1)(20xx·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (20xx·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 (20xx·广东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．提醒：完成作业专题五第2讲二轮专题强化练专题五第2讲空间中的平行与垂直A组专题通关1．(20xx·西北工大附中四模)已知a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列条件中，能推导出a⊥α的是( )A．a⊥b，a⊥c，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α2．(20xx·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是( )A．① B．②C．③ D．④4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )A．① B．②C．③ D．①③5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC6．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．7.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．9．(20xx·山东)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.10．(20xx·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.B组能力提高11．(20xx·辽宁师范大学附属中学期中)已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( ) A．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥αB．α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．学生用书答案精析第2讲空间中的平行与垂直高考真题体验1．B [m⊂α，m∥β⇏α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．]2．D [对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．]3．证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.热点分类突破例1 (1)D (2)D解析(1)若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l 1，l 2中的一条相交．(2)若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D. 跟踪演练1 C [对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n 可能在平面α内，所以推不出n ∥α，②错误；对于③，举一反例，m ⊂β且m 与α，β的交线平行时，也有m ∥α，③错误； 对于④，可以证明其正确性，④正确．故选C.]例2 (1)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA .(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE .因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt△PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥PACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.跟踪演练2 证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .例3 (1)证明 因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明 由题图(1)得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD .所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ，又BE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE .(3)解 线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP .由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP .从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .跟踪演练3 (1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝ 3342－342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.高考押题精练1．C [构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.] 2．(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.二轮专题强化练答案精析第2讲 空间中的平行与垂直1．D [选项A 中缺少b ，c 相交；选项B ，由a ⊥b ，b ∥α可能a ⊂α；选项C 可能a ⊂α或a ∥α，选项D 正确．]2．A [由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇏p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.]3．B [作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行， 故结论②不正确．]4．D [对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B 、C. 对于③，存在两条垂直的直线a ，b ，则直线a ，b 所成的角为90°，因为a ⊥β，b ⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A ，选D.]5．D [∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]6．平行解析 由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD . 而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .7．②④解析①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.8．①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.9．证明(1)方法一连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 10．(1)解点F，G，H的位置如图所示．(2)解平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.11．D [选项A 中，缺少条件b ⊂β，错误；B 中，α、β、γ的关系可参考教室墙角处三个平面的关系，易知错误；C 中的a ，b 可能平行或斜交．由两平面平行的性质可知D 正确．]12．a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a x ＝3a －x a ，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .13．①②③解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①、②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V 为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误． 14．(1)证明 如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1.因为A 1B ⊂面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE .(2)解 当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D . 设AB 1∩A 1B ＝O ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ， 所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ，所以四边形B 1OEF 为平行四边形．所以B 1F ∥OE .又因为B 1F ⊄面A 1BE ，OE ⊂面A 1BE .所以B1F∥面A1BE.。

8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。

第8讲空间中的平行与垂直1.(2021江苏盐城高三期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),假定c=xa+yb(x,y∈R),那么x+y=.2.角α的终边经过点P(-1,2),那么()c(-)=.m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.以下命题:①假定m∥α,m?β,那么α∥β;②假定m∥α,m⊥,那么⊥α;③假定m⊥α,m⊥β,那么α∥β;④假定α⊥β,m⊥α,那么m∥β.此中全部真命题的序号为.4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,且=,=,那么·=.5.(2021苏锡常镇四市高三状况调研)a>0,b>0,且+=,那么ab的最小值是.6.(2021镇江高三期末)锐角θ知足tanθ=cosθ,那么 c-= .c7.(2021江苏盐城中学高三阶段性检测)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且2asin = b.求A的值;求cos2B+2cosAsinB的取值范围.8.(2021常州教育学会学业水平检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q是棱PC上异于P、C的一点.(1)求证:BD⊥AC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥获得截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.答案精解精析答案分析依据题意,向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),假定c=xa+yb(x,y∈R),那么有,,解得,那么x+y=.,2.答案-4由得sinα=,cosα=-,原式=-c --分析==-4.c-答案③分析假定m∥α,m?β,那么α∥β或α,β订交,①错误;假定m∥α,m⊥,那么n?α或n,α平行或订交,②错误;假定m⊥α,m⊥β,那么α∥β,③正确;假定α⊥β,m⊥α,那么m∥β或m?β,④错误,故真命题的序号为③.答案-4分析·=·(-)= ·- =-·+=-6+2=-4.答案2分析由于a>0,b>0,因此=+≥,解得ab≥,当且仅当=时取等号,故ab的最小值是2 .6.答案3+2分析由tanθ=cosθ得sinθ=cos2θ=(1-sin2θ),又θ是锐角,解得7.s inθ== (舍负),那么cosθ=- = ,因此分析(1)由正弦定理和两角和的正弦公式可得c= = =3+2 . -c --2sinA c = sinB,sinAsinC+ sinAcosC= sin(A+C)= sinAcosC+ cosAsinC,化简得sinAsinC=那么C≠0,A= 那么锐角A=.cosAsinC,CcosA,tanA=是锐角,,(2)由于△ABC是锐角三角形,因此C=-B∈0,,B∈,, B∈,,那么cos2B+2cosAsinB=cos2B+sinB=-2sin2B+sinB+1=-2-+,因此c B+cAB∈(0,).8.证明()PC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,因此BD⊥PC,记AC,BD交于点O,连结OP,平行四边形对角线相互均分,那么O为BD的中点.又△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.又PC∩OP=P,PC,OP?平面PAC,因此BD⊥平面PAC,又AC?平面PAC,因此BD⊥AC.四边形ABCD是平行四边形,因此AD∥BC,又AD?平面PBC,BC?平面PBC,因此AD∥平面PBC,又AD?平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,因此AD∥QF,又AD∥BC,因此QF∥BC.。