对称不等式

对称不等式一道值得探究的对称不等式摘要：本文主要对一个对称不等式（已知a，b都为正数，且满足a+b=1，则有a进行变式探究，并利用均值不等式进行适当的推广．关键词：探究；对称不等式；变式题目：已知a，b都为正数，且满足a+b=1，则有a+b+≥．分析：初看不等式，大家一定都会有一种似曾相识的感觉，因为不等式左边的两个因式都是两互倒数之和．而当a为正数时，a+≥2=2，这是中学数学必须掌握的重要不等式．若用这种思路发现左边是大于等于4的，原不等式不能得到证明．原因何在？我们注意到对原不等式左边两项直接用均值不等式取等号的条件为a=和b=，即a=b=1．而条件限制了a+b=1，故原不等式左边两项用均值不等式不能同时取上等号．因此，此路不通！我们知道当面对变量少而形式又简洁的不等式证明束手无策时，可以拿出此类不等式证明的通法——分析法．分析法是中学数学证明不等式的基本而又重要的方法．下面我们用分析法证明此不等式．证：欲证原不等式，只需证4（a2+1）（b2+1）≥25ab．展开，移项得4a2b2+4a2+4b2+4－25ab≥0．又因为a+b=1，即a2+b2=1－2ab，故只要证4a2b2－33ab+8≥0．又0 设f（x）=4x2－33x+80 而函数f（x）=x+（x>0）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．显然原式当ab=时取得最小值，易求得最小值为．变式2：已知a，b，c都为正数，且满足a+b+c=1，求a+b+c+的最小值．分析：此时，显然用分析法和转化为函数最值法已经显得非常复杂了，那么我们能否有新的证明方法呢？我们知道变式1当且仅当a=b=时取上最小值，可以猜测变式了应该是a=b=c=取上最小值．于是，我们考虑利用拆项法结合均值不等式取等号的条件进行证明．解：由于a，b，c都为正数，故对该式第一项进行拆项后运用均值不等式可得，a+==≥==，当且仅当a2=即a=时取上等号；同理可得b+≥，当且仅当b2=即b=时取上等号；c+=，当且仅当c2=即c=时取上等号．又因为abc≤3=，当且仅当a=b=c=时等号成立．将以上三个不等式相乘可得a+b+c+≥??=≥≥1000×3-3=，当且仅当a=b=c=时以上所有不等式等号成立．故所求式子的最小值为．类似变式2的求解可以推广得到如下：定理：已知a1，a2，…，an都为正数，且满足a1+a2+…+an=1，则有a1+?a2+…an+≥n+n，当且仅当a1=a2=…=an=等号成立．证：原不等式等价于…≥n+n．由于a1，a2，…，an都为正数，故有=≥== ，当且仅当a=即a1=时上式等号成立；同理可得≥，当且仅当a2=时等号成立；≥，当且仅当a3=时等号成立；……≥，当且仅当an=时等号成立．又a1a2…an≤n=n，当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立，于是将以上n个不等式相乘可得…≥??…?=≥==（n2+1）n（n）-n=n+n．当且仅当a1=a2=…=an=时，以上所有不等式同时取等号，于是不等式得证．。

轮换对称不等式的证明技巧轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。

本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。

一、凑项升幂法例1 已知，且， +∈R z y x ,,1=++z y x 求证：21141414≤+++++z y x 分析：由于当时，上述不等式的“=”成立，于是31===z y x 。

37141414=+=+=+z y x 证明：因为，所以，同理，143714372++≤+⋅⋅x x )52(7314+≤+x x )52(7314+≤+y y ，上述三式相加，并将代入化简即得证。

)52(7314+≤+z z 1=++z y x 二、凑项降幂法 例2 证明Cauchy 不等式na a a a a a n n22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++证明：设，则，所以，a a a a n =+⋅⋅⋅++21i i a n a n a a ⋅≥+2(22∑∑==≥⋅+ni in i i a n a n a n a 12122(即。

na a a a a a n n 22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++三、凑项去分母法例3　设是正数，且， n x x x ,,,21⋅⋅⋅121=+⋅⋅⋅++n x x x 求证：211212132222121≥++++⋅⋅⋅++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n 分析：由于当时等号成立，于是。

nx x x n 121==⋅⋅⋅==)(41112+++=+i i i i i x x x x x 证明：设，因为11x x n =+i i i i i i x x x x x x ≥+++++)(41112所以，即。

∑∑∑∑==+==+≥+++n i i n i i n i i ni i i i x x x x x x 1111112)(4121112≥∑+=+n i i i i x x x 例4　设，且，求证：+∈R c b a ,,1=abc 23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证明：原不等式等价于23)()()(222222≥+++++b a c b a a c b a c c b a c b 当a=b=c=1时等号成立，此时，所以，，)(41)(22c b a c b a c b +=+bcc b a c b a c b ≥+++)(41)(22同理，，，上述三式相加并化简得ca a c b a c b a c ≥+++)(41)(22ab b a c b a c b a ≥+++)(41)(222323)(21)()()(3222222=⋅⋅≥++≥+++++ca bc ab ca bc ab b a c b a a c b a c c b a c b 例5　设角A 、B 、C 满足 1cos cos cos 222=++C B A 求证：29sin 1sin 1sin 1222≥++CBA分析：原条件等价于，当时等号2sin sin sin 222=++C B A 32sin sin sin 222===C B A成立，于是，，上述三式相加34sin 9sin 122≥+AA34sin 9sin 122≥+BB34sin 9sin 122≥+CC并化简得证，证明略。

轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称不等式的证明技巧是一种把原本的不等式转化为等价的新不等式，以此更方便进行证明的技术。

它在统计学、代数、几何等多种数学领域中有很多应用，极大地推动着数
学研究的发展。

轮换对称不等式的证明技巧包括轮换法、比例法、移动变量法、交换变量法等。

它们的基本原理是：两边的不等式符号可以在保持不变的情况下，通过不同的方式把变量进行交换，可以得到等价的不等式。

例如，有一个不等式：
（1）x + 2y ≥ 8
此时可以使用轮换法：交换两个变量x和y，即有：
（2） y + 2x ≥ 8
此时，变量x和y的值一样，只是顺序不同，符号也不受影响，不等式（1）和不等式（2）依然是等价的。

而这可以通过证明很多不同的不等式来获得更多的结论，从而形成一种更强的证明技术。

总之，轮换对称不等式的证明技巧是一种很有用的证明技术，能够把原本不等式转变为相等的新不等式，以此更方便证明，其应用非常广泛，可以有效地提高研究效率。

构造均值不等式 证明轮换对称不等式安徽省六安第二中学 陶兴红 237005若含多个字母的代数式12(, ,f x x …，1, ,)n n x x -中字母作一次轮换：1223, x x x x →→，…，11, n n n x x x x -→→，其形式不变（最多某些项的次序变动），则称它为轮换对称式。

左右两边都是轮换对称式的不等式，叫做轮换对称不等式。

最近笔者发现一种证明轮换对称不等式的好方法，简单地说，就是构造均值不等式法，具体地说，就是先将要证不等式的左边各项添上适当的项，然后分别对它们每一个式子运用均值不等式，其结果恰好是要证不等式的右边各项的同类项，最后将各均值不等式相加，经化简便得到所要证的不等式。

下面不妨举几个这方面的例子供读者参与：例1：已知, , a b c R +∈，求证：333222a b c a b b c c a ++≥++.分析：这是一个轮换对称不等式，用排序不等式能够证明，但若用构造均值不等式法，该如何证明呢其实构造均值不等式的关键是凑项，那么对于本题来说，应该凑上什么适当的项，才能构造出所需的均值不等式。

观察要证不等式的左右两边结构，不难发现，右边各项的次数都是3，因此所凑的项的次数也都应该是3，右边2a b 项的字母a 的次数是2，字母b 的次数是1，因此需要两个3a 项和一个3b 项，运用均值不等式后，才能得到2a b 项的同类项。

这样我们便知道要给3a 项凑上一个3a 项和一个3b 项，运用均值不等式后，就能得到右边2a b 项的同类项。

同样，我们可以给3b 项和3c 项凑上适当的项，运用均值不等式后，得到2b c 项和2c a 项的同类项。

证明 分析原不等式左右两边结构，不难构造下面三个均值不等式：33323a a b a b ++≥= ①33323b b c b c ++≥= ②3332c c a c a ++≥= ③①+②+③得 3332223()3()a b c a b b c c a ++≥++ 333222a b c a b b c c a ∴++≥++ 显然，当且仅当a b c ==时，不等式取“=”号.例2：已知, , a b c R +∈，求证：444222a b c a bc ab c abc ++≥++.分析：444424a a b c a bc +++≥=，即444224a b c a bc ++≥， ①同理可得：444224a b c ab c ++≥， ②444224a b c abc ++≥ ③①+②+③得 4442224()4()a b c a bc ab c abc ++≥++ ∴444222a b c a bc ab c abc ++≥++.显然，当且仅当a b c ==时，不等式取“=”号.例3：已知, , a b c R +∈，求证：333222a b c a b c b c a ++≥++. 证明：分析原不等式左右两边结构，可以构造下面三个均值不等式：323a b b a b ++≥= ①323b c c b c ++≥= ②323c a a c a ++≥= ③ ①+②+③，并化简得：333222a b c a b c b c a++≥++. 显然，当且仅当a b c ==时，不等式取“=”号.例4：已知, , a b c R +∈，求证：333a b c a b c bc ca ab ++≥++. 证明：, , a b c R +∈33a b c a bc ∴++≥= ①33b c a b ca ++≥= ②33c a b c ab ++≥= ③ ①+②+③，并化简得：333a b c a b c bc ca ab++≥++. 显然，当且仅当a b c ==时，不等式取“=”号.例5：已知, , a b c R +∈，求证：333222a b c a b c b c a ++≥++. 证明：, , a b c R +∈32 2a ab a b ∴+≥= ①32 2b bc b c +≥= ②322c ca c a +≥= ③ ①+②+③，并移项得：333222222a b c a b c ab bc ca b c a++≥++---. 又22 2a b ab +≥ ④222b c bc +≥ ⑤22 2c a ca +≥ ⑥∴ ④+⑤+⑥，并化简得222a b c ab bc ca ++≥++，∴222222222a b c ab bc ca a b c ++---≥++.显然，当且仅当a b c ==时，不等式取“=”号.下面提供几道习题让读者练习：1．已知, , a b c R +∈，求证：444333a b c ab bc ca ++≥++．2．已知, , a b c R +∈，求证：555222222a b c a b c ab c a bc ++≥++．3．已知, , a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a ++≥++． 4．已知, , a b c R +∈，求证：444333a b c a b c b c a ++≥++． 5．已知, , a b c R +∈，求证：444222a b c a b c b c c a a b ++≥++．本人联系电话：地址：安徽省六安二中数学组E-mail:作者简介：本人名叫陶兴红，男，1972年生，安徽庐江人，汉族，研究生学历，中学数学高级教师，现在安徽省示范高中——六安二中工作，教学经验丰富，教育教学成果显著，发表论文多篇。