比较二次函数值的大小

初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
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比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。

要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。

以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。

知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。

知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。

根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。

①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。

二次函数的最大值与最小值在数学的世界中，函数是关系，它都是把输入值映射到另一个值的方法。

其中，二次函数是最重要的一类函数之一，广泛应用于数学、物理、统计学、经济学和其他领域。

本文将主要讨论二次函数的最大值与最小值问题。

首先，让我们来了解一下什么是二次函数。

二次函数是一类函数的简称，也就是满足如下形式的函数：y = ax + bx + c其中a、b、c为常数。

最重要的是，当a不等于0时，它是一个平方函数，如果a等于0，它就变成一个一次函数。

若a>0，函数图像开口向上；若a<0，函数图像开口向下。

接下来，让我们来讨论二次函数的最大值与最小值问题。

无论是最大值还是最小值，它们都是依靠函数的极值点来求得的。

通常，要找到极值点，首先需要求出函数的导数，然后将求出来的导数等于零，极值点就在d/dx=0的位置。

在二次函数y=ax+bx+c中，它的导数为：dy/dx = 2ax + b设dy/dx=0，可解得：2ax+b=0=>x = -b/2a将x的值代入二次函数中，可得：y = f(-b/2a)这里的y即为二次函数的极值点，也就是最大值或最小值，具体取决于二次函数的系数a的正负值，若a>0，极值点即为最小值；若a<0，极值点即为最大值。

有了极值点，我们就可以求得二次函数的最大值与最小值，比如有这样一个二次函数：y = 6x + 8x + 10它的导数为：dy/dx = 12x + 8将其等于零，可求出极值点的位置：=>12x + 8 = 0=>x = -8/12即极值点的位置为x = -2/3。

将x = -2/3代入原函数中，可求得极值：y = 6(-2/3) + 8(-2/3) + 10=>y = 10 - 8/3=>y = 10 - 2.66667=>y = 7.33333故二次函数y = 6x + 8x + 10的极小值y = 7.33333。

利用抛物线的特点比较函数值的大小
开口向下
观察抛物线不难发现这样的规律：
当开口向上时，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大
当开口向下时，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越小
利用这个发现做下题：
例、已知二次函数()2
32y x m =-+的图像经过A ()13,y -、B )22,y
、C ()35,y 三个点则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ） A 1y >2y > 3y B 2y >1y >3y C 1y >3y > 2y D 3y >2y >1y
在本题中抛物线开口向上，对称轴是x=2，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大
A 、
B 、
C 三点到对称轴是x=2的距离分别是32-2252
且有32-2252即A 点最远、C 点最近
所以1y >2y > 3y
使用这种方法比较函数值的大小时，你只需要比较它们到对称轴的距离就行了。

-1 1
x
O y
x =1
开口向上
－4。

二次函数值大小比较对称轴【知识文章】如何比较二次函数值大小以及对称轴的作用引言：二次函数是高中数学中重要的内容之一，在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用。

在学习二次函数时，我们经常需要比较二次函数在不同取值下的大小，并且对称轴对于二次函数的研究也尤为重要。

本文将从比较二次函数值大小和对称轴的作用两个方面，介绍二次函数的基本特性。

一、比较二次函数值大小1. 基本概念：二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

在比较二次函数值大小时，我们通常关注的是二次函数的开口方向以及顶点的位置。

2. 二次函数的开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，即函数的图像呈现一种向上凸的形状；当 a < 0 时，二次函数开口向下，即函数的图像呈现一种向下凹的形状。

3. 顶点的位置：顶点是二次函数的最极值点，它的纵坐标值决定了二次函数的最大值或最小值。

当二次函数开口向上时，最小值对应顶点；当二次函数开口向下时，最大值对应顶点。

基于以上概念，我们可以通过以下方法比较二次函数值大小：- 比较两个二次函数的开口方向，开口方向相同的二次函数，其值在相同取值范围内，顶点纵坐标较小的函数值较小；- 对于开口方向相反的二次函数，我们可以比较它们的顶点纵坐标。

二、对称轴的作用1. 对称轴的定义：二次函数的对称轴是以顶点为中心，与函数图像关于某条直线对称的轴线。

对称轴方程为 x = h，其中 h 是顶点的横坐标。

2. 对称轴的作用：对称轴对于研究二次函数的性质和图像有着重要的作用。

- 对称轴将二次函数的图像分为两部分，可以方便地研究函数在对称轴两侧的性质；- 对称轴是一个坐标轴方程，通过对称轴方程我们可以求解二次函数的顶点坐标；- 对称轴方程 x = h 可以帮助我们确定二次函数的开口方向。

个人观点与理解：二次函数值大小的比较是我们在解决实际问题时常会遇到的情况。

二次函数最大值最小值二次函数是一种常见的数学函数，在数学中具有重要的应用。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

而二次函数的最大值和最小值则是在特定条件下出现的。

我们来讨论二次函数的最大值。

对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，如果a小于0，则该二次函数开口向下，即对于任意实数x，y的值都大于二次函数的最大值。

而当a大于0时，二次函数开口向上，此时存在一个最大值。

我们可以通过求导来找到二次函数的最大值所对应的x值，然后再代入二次函数中求得最大值对应的y值。

这个最大值就是二次函数的顶点。

例如，对于二次函数y=2x^2+4x+3来说，通过求导我们可以得到x=-1所对应的y=-1，也就是说，该二次函数的最大值为-1。

接下来，我们来讨论二次函数的最小值。

与最大值相反，当二次函数开口向下时，不存在最小值，而当二次函数开口向上时，存在一个最小值。

同样，我们可以通过求导来找到二次函数的最小值所对应的x值，然后再代入二次函数中求得最小值对应的y值。

例如，对于二次函数y=-3x^2+6x-4来说，通过求导我们可以得到x=1所对应的y=-7，也就是说，该二次函数的最小值为-7。

通过上述例子，我们可以看出，二次函数的最大值和最小值是在特定条件下出现的。

当二次函数开口向上时，存在一个最小值；当二次函数开口向下时，存在一个最大值。

而要找到二次函数的最大值和最小值，我们可以通过求导的方法来求得。

我们来总结一下二次函数的最大值和最小值的特点。

当二次函数开口向上时，最小值出现在顶点处；当二次函数开口向下时，最大值出现在顶点处。

因此，通过求导求得顶点，再代入二次函数中可以求得最大值和最小值。

二次函数的最大值和最小值是在特定条件下出现的。

通过求导求得顶点，再代入二次函数中可以求得最大值和最小值。

二次函数在数学中具有重要的应用，我们可以通过研究和理解二次函数的最大值和最小值，深入探索数学的奥秘。

一、选择题1．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y x x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<C 解析：C【分析】先判断函数的开口向下，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴越远，函数值越小，再结合三点坐标即可判断1y ，2y ，3y 之间的大小关系．【详解】解：∵在22y x x c =-++中，21,122b a a =--=-=-， ∴该函数开口向下，对称轴为x=1，且距离对称轴越远，函数值越小，∵()11,y -、()20,y 、()34,y 三点距离对称轴的距离为：2,1,3，∴312y y y <<，故选：C ．【点睛】本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当a<0时距离对称轴越远的点，函数值越小是解题关键．2．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣7C解析：C【分析】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，解得：a ＝13， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小， 此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣5或1，即点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥-B ．13t -≤<C ．18t -≤<D ．38t <<C解析：C【分析】 根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答．【详解】解：对称轴为直线x=-21b ⨯=1， 解得b=-2， 所以二次函数解析式为y=x 2-2x ，y=（x-1）2-1，x=1时，y=-1，x=-2时，y=4-2×（-2）=8，∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标，∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．4．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．3C解析：C【分析】 ①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-b 2a＞0，c ＜0， 即b ＜0，∴abc ＞0，正确；②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴当x=2时，y ＜0∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．共有四个正确的，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．5．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①0abc >；②0a b c -+>；③230a b -=；④240b ac ->．你认为其中正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．【详解】①由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知a ＞0，图象与y 轴交点在负半轴，c ＜0，对称轴b 1x=-=2a 3，2b=-a 3＜0，因此0abc >，故正确； ②由图象可知x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＞0，故正确； ③对称轴b 1x=-=2a 3，2+30a b =，故错误； ④由图象与x 轴有两个交点，可知240b ac ->，故正确．所以①②④三项正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符6．抛物线28y x x q =++与x 轴有交点，则q 的取值范围是（ ）A ．16q <B ．16q >C ．16q ≤D ．16q ≥C解析：C【分析】根据抛物线与x 轴的交点情况可得到方程280x x q ++=根的情况，进而得到根的判别式大于等于0，即可得到关于q 的不等式，最后解不等式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线28y x x q =++与x 轴有交点∴方程280x x q ++=有实数根∴2248416440b ac q q ∆=-=-⨯⋅=-≥∴16q ≤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．7．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确； 故选C ．本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．要在抛物线()4y x x =-上找点(),P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下（ ）甲：若5b =，则点P 的个数为0乙：若4b =，则点P 的个数为1丙：若3b =，则点P 的个数为1A ．甲乙错，丙对B ．甲丙对，乙错C ．甲乙对，丙错D ．乙丙对，甲错C 解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x （4-x ）=-x 2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．9．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>C解析：C【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-，∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，∴231y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题11．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴ 解析：2【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒∴∠DBD FDE =∠在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF∴FE OD FD BO ==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t +∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即822OE ==，故OE 的最小值为22 故答案为：2【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上， ∴F 点的纵坐标为：2x - 又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键．13．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程()2220a x bx b c -+-+=的解是________________．【分析】由题意得当y=0时则有的两个根为进而根据同解方程可进行求解【详解】解：∵抛物线y ＝ax2+bx+c 经过点A （﹣30）B （40）两点∴当y=0时则有的两个根为∴的解为：或解得：；故答案为【点睛解析：121,6x x =-=【分析】由题意得当y=0时，则有20ax bx c ++=的两个根为123,4x x =-=，进而根据同解方程可进行求解．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，∴当y=0时，则有20ax bx c ++=的两个根为123,4x x =-=，∴()2220a x bx b c -+-+=的解为：23x -=-或24x -=， 解得：121,6x x =-=；故答案为121,6x x =-=．【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．14．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC 解析：26-【分析】连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=22，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（6-2-）,代入抛物线()20y axa =<即可求解．【详解】如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ， ∵四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴∠BOA=45°，OB=22， ∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°， ∴∠AOD=45°﹣15°=30°， ∴BD=12OB= 2，OD= 22OB BD -= 82-= 6, ∴点B 的坐标为（6-,2-）, ∵点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则：()262a -=-，解得：26a =-， 故答案为26a =- 故答案为：26-．【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．15．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可． 【详解】 解：根据题意得：24(6)4c --=±3， 解得：c =6或12．故答案为：c =6或12． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．16．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：3【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长． 【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3， 故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1， 则﹣1＝﹣13x 2， 解得：x ＝3故当水位上涨2m 时，水面宽CD 为3． 故答案为：3【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D 点横坐标是解题关键．17．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1 【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式． 【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4 ∴y=2（x+1）2-1. 故答案为：y=2（x+1）2-1. 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．18．写出一个开口向下的二次函数的表达式______．（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下二次项系数为负可据此写出满足条件的函数解析式【详解】解：二次函数的图象开口向下则二次项系数为负即a ＜0满足条件的二次函数的表达式为y=-x2故答案为：y=-解析：2y x =-（答案不唯一） 【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 则二次项系数为负，即a ＜0， 满足条件的二次函数的表达式为y=-x 2． 故答案为：y=-x 2（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单．19．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能． 【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题． 【详解】 解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线248y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：218【分析】设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意得：M （m ，m ）， ∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m ＝m 2﹣5m +8 ＝257()24m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB ＝1122EM AG EM BF ⋅+⋅ 1()2EM AG BF =+ 12=(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32=(m 2﹣5m +8) ＝23521()228m -+， 由302>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218． 故答案为：218． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．三、解答题21．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）． （1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．解析：（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元． 【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解． 【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+，由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值， ∵让利给顾客， ∴3x =，即当售价为57元时，利润最大， ∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+， 解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．22．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x ．（1）下表是y 与x 的部分对应值，请补充完整；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．解析：（1）3，4，3；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【分析】（1）把x＝1，x＝2，x＝3分别代入函数解析式，求出y的值即可；（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（3）根据函数图象即可得出结论．【详解】解：（1）∵当x＝1时，y＝﹣1+4×1＝3；当x＝2时，y＝﹣4+4×2＝4；当x＝3时，y＝﹣9+4×3＝3．故答案为：3，4，3；（2）如图所示；（3）如图所示，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数的图象，函数与方程、不等式的关系，熟知画二次函数图象的一般步骤列表、描点、连线，理解函数与方程、不等式的关系是解题关键．23．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？解析：（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值． 【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+， 由题意00AB BC >>，， 即02430x x >>，－， 解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米， 即02439x <≤－ ， 解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<，二次函数图像开口向下， 对称轴为()24423x =-=⨯-，58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y =+⨯-（-），∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米． 【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．24．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元．请直接写出结果．解析：（1）y=2101006000x x -++；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元；（3）14天 【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解； （2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解； （3）根据题意列不等式求解即可； 【详解】解：（1）()()604030010=+--y x x ，2101006000x x =-++；（2）当130x ≤≤时，2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，∵10a =-＜0，∴二次函数开口向下， 由题可知：函数对称轴为5x =， ∴当5x =时，最大值为6250；答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元．（3）∵2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，当5400y ≥时，()210562505400--+≥x ， 解得：414x -≤≤，∵130x ≤≤， ∴共有14天． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．25．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大面积8164，315,24E ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）()1,4P -或 21,3⎛⎫⎪⎝⎭或 (1,425+或(1,425- 【分析】（1）把A,B 坐标代入即可求解；（2）先求出直线AC 解析式，证明△EFG 是等腰直角三角形，再得到当EG 最大时，EFG 面积的最大故可列出EG 关于x 的二次函数，即可求解； （3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）把()3,0A 、()1,0B -代入23y ax bx =++得093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++； （2）令x=0，解得y=3 ∴C （0,3）设直线AC 解析式为y=mx+n ， 把()3,0A ，C （0,3）代入得033m nn =+⎧⎨=⎩解得13n n =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为y=-x+3， ∵CO=OA∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴∠ACO=45° ∵//EG y ∴∠FGE=45° ∵EF AC ⊥∴△EFG 是等腰直角三角形，∴EF=FG,EG 2=EF 2+FG 2=2EF 2∴S △EFG =12EF×FG=12EF 2=14EG 2 ∴当EG 最大时，EFG 面积的最大设E （x, 223x x -++）则G （x ，-x+3）∴EG=（223x x -++）-（-x+3）=-（x-32）2+94 ∴当x=32，EG 最大值为94，故此时EFG 最大面积为14×（94）2=8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）如图①AD=DP 时，∵2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4∴D （1,4）又A （3,0）∴==DP∴P 1(1,4+,P 2(1,4-②DP=AP 时设P （1，y ）∵DP 2=AP 2，A （3,0）∴（4-y ）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=23 ∴P 321,3⎛⎫ ⎪⎝⎭③当AD=AP 时，设P （1，y ）∵AD 2=AP 2，A （3,0）∴（2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=-4（4舍去）∴P 4()1,4-综上，P 点坐标为()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,4+或(1,4-．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质．26．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．解析：（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x > 【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．27．如图，直线:33l y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连结BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形ABDE,顶点E 是否在抛物线上？(3)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 横坐标为m,△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．解析：(1) 2y x 2x 3=-++，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；(3)S=21522m m +，S 的最大值为：258． 【分析】（1）求出A 、B 两点坐标，把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．（2）首先求出BD 和BD 所在直线解析式，再过A 作//AE BD 交抛物线于点F ，联立方程组2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩求出点F 的坐标，进而得出AF 的长，从而可判断出AF 和BD 的关系，故可得结；（3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），根据S=S △BOM +S △AOM -S △AOB 计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵直线l ：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，∴A （1，0），B （0，3），把点B （0，3）代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．顶点D 的坐标为（1，4）(2)不在，如图1，∵(0,3),(1,4)B D∴BD 的解析式为3y x ，22(01)(34)2,BD =-+-=过A 作//AE BD 交抛物线于点F设AE 的解析式为y x b =+将(1,0)A 代入得1b =-，∴AE 的解析式为1y x =-，∵直线AE 与抛物线相交，联立方程组得，2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩∴在第一象限的交点坐标为F 117117(,22-+ ∴3422AF -=≠ ∴点E 不在抛物线上； （3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），∴BOM AOM AOB S S S S ∆∆∆=+-211331(23)222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++- 215,(03)22m m m =-+<<． ∵22151525()22228S m m m =-+=--+， ∵-12＜0， ∴m=52时，S 有最大值为258． 【点睛】 本题考查二次函数的综合题，三角形的面积、二元二次方程组、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．28．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？解析：当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出12S AC BD =⋅，再利用配方法求出二次函数最值即可．【详解】解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ，则：211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252， 所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用．理解对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．。

二次函数通常是指带有一元二次项的代数式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。

该函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。

下面是求二次函数最大值和最小值的方法：
当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口朝上，最小值在顶点处取得。

顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

因此，可以通过求解函数的一阶导数（也就是斜率函数）等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最小值。

当二次函数的系数a小于0时，函数的图像开口朝下，最大值在顶点处取得。

同样地，可以通过求解函数的一阶导数等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值和最小值只有在函数的定义域范围内才有意义。

因此，在应用上述方法求解最大值和最小值时，需要先确定函数的定义域。

比较二次函数值大小的方法二次函数在我们的生活和数学学习中有着广泛的应用，而正确比较二次函数值的大小对于解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍几种比较二次函数值大小的方法，并对其进行深入的探讨。

一、图像比较法图像是比较二次函数大小最直观的方法，利用函数的图像可以清晰地看出两个函数的大小关系。

首先，画出需要比较的二次函数的图像，根据图像上点的位置关系来判断大小。

具体步骤如下：1. 确定开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的值，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。

2. 确定对称轴：二次函数的对称轴是其顶点坐标的横坐标，通过对称轴可以判断两个函数的大小关系。

3. 比较函数图像上的点：根据图像上点的位置关系，可以直观地判断两个函数的大小关系。

二、公式法除了图像比较法外，还可以使用公式法比较二次函数值的大小。

二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，y随x的增大而减小。

因此，可以通过比较a、b、c的值来判断两个二次函数的大小关系。

具体步骤如下：1. 确定系数a、b、c的值：根据需要比较的二次函数的表达式，求出a、b、c的值。

2. 比较系数的大小：根据系数a、b、c的绝对值大小，可以初步判断两个二次函数的大小关系。

一般来说，如果|a|>|b|，则y=ax^2+bx+c的值域大于y=bx^2+cx+d的值域；反之亦然。

3. 根据对称轴和函数值的关系进行比较：如果对称轴在y轴左侧还是右侧，以及对应的函数值的大小关系如何，就可以判断两个二次函数的大小关系。

三、求根公式法对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，可以使用求根公式法比较两个二次函数值的大小。

首先用配方法将一般形式的二次函数化成y=a(x-h)^2+k的形式，再使用求根公式求出x1和x2的值。

最后根据x1和x2的大小关系以及对应的函数值的大小关系来判断两个二次函数的大小关系。

专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()21112y x =-+-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键.2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．【答案】y 1＜y 2【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2.3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=b2a-=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=b2a-=-1，函数开口向下，又∵321>>-， ∴y 1>y 2. 【点睛】此题主要考察二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键.4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由y=（x+1）2+k 可知抛物线的对称轴为直线x=-1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵y=（x+1）2+k ，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线开口向上，而点C （3，c ）到对称轴的距离最远，B （-1，b ）是顶点， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性． 5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质计算即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ()12x 223-=-=-⨯- ，a 30=-< ，x 2∴=- 时，函数值最大，又3- 到 2- 的距离比1到 2- 的距离小，312y y y ∴<< ．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．6．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．已知A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．1y＞2y＞3y B．2y＞3y＞1y C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据三点与对称轴的远近来判断函数值的大小.【详解】因为二次函数的解析式为y＝x2+2x+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，因为A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3），所以点C离直线x=-1最远，点B离直线x=-1最近，而抛物线开口向上，离对称轴越远对应的y值越大所以y3＞y1＞y2.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴及单调性，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -（()22,B y （()35,C y ，则1y （2y （3y 的大小关系是（ （ A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 2>y 1>y 3 D ．y 3>y 1>y 2【答案】B 【解析】y=x 2-6x+c=(x-3)2+c-9，从而可知抛物线开口向上，对称轴为x=3，A 、B 、C 三点离对称轴的距离为：3-（-1）=4，3-2=1，（），开口向上时离对称轴越远的点对应的y 值越大，所以y 1＞y 3＞y 2 ；故选D ． 点睛：在对同一抛物线上的点所对应 的y 值进行大小比较时，可采用这个方法：抛物线开口向上时，离对称轴越远的点对应的y 值就越大；开口向下时，离对称轴越近的点对应的y 值 越大.9．若二次函数y（（x -3（2（k 的图象过A(（1（y 1)（B(2（y 2（y 3)三点，则y 1（y 2（y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1（y 2（y 3 B ．y 2（y 1（y 3 C ．y 1（y 3（y 2 D ．y 3（y 1（y 2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x=3（x（3时，y 随x 的增大而减小，x（3时，y 随x 的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出y 2（y 3（y 1（y 3（ 【详解】∵二次函数y =（x -3）2＋k 的对称轴为直线x =3（∴x <3时，y 随x 的增大而减小，x >3时，y 随x 的增大而增大， ∵−1<2<3（ ∴y 1＞y 2（∵x =2与x =4时的函数值相等>4（ ∴y 2（y 3（∵x =1与x =5时的函数值相等， ∴y 1（y 3（ ∴y 1＞y 3＞y 2. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.10．已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【答案】C【解析】【分析】将两点的x分别代入二次函数,求出y值比较大小即可.【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的增减性,关键在于灵活运用代点求值的方法.11．若二次函数y＝（x-3）2＋k的图象过A（－1，y1）B（2，y2）C（3＋2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得函数的对称轴为直线x=3，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大．根据题意可得：．考点：二次函数的性质．12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．【答案】y1＞y3＞y2．【解析】试题分析：根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．考点：二次函数的图象与性质13．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，得 y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4-12+c=-8+c ，即y 2=-8+c ；y 3-18-+c=-7+c ， 即y 3=-7+c ； ∵7＞-7＞-8， ∵7+c ＞-7+c ＞-8+c ， 即y 1＞y 3＞y 2． 故选B ．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 14．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 2<y 1<y 3【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数y=-x 2-4x+5配方，求对称轴，再根据A（B（C 三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l （y 2（y 3的大小． 【详解】解：∵y=-x 2-4x+5=-（x+2（2+9（ ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2（（A（B（C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， （y 2（y 1（y 3（ 故选D（ 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a（0时，开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；当二次项系数a<0时，开口向下，则离对称轴越近，函数值越大（15．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＞． 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到当1x <-时，y 随x 的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到1y 与2y 的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x =-， 而抛物线开口向上，所以当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∵-5＜-2，所以12y y >． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（（A（（3（y 1（（B（0（y 2（（（（（（y=（2（x（1（2+3（（（（（（（（（y 1（y 2（（（（（（________（（y 1（y 2（y 1=y2（y 1（y 2（（【答案】y 1＜y 2 【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2. 故答案为y 1＜y 2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位 D ．右移1个单位下移2个单位【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质即可判断. 【详解】抛物线()2311y x =-++经过右移1个单位下移2个单位，即()231112y x =-+-+-=231x --， 故选D.【点睛】此题主要考查抛物线顶点式()2y a x h k =-+的特点，熟知顶点式的性质特点是解题的关键.2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】.解：抛物线 ()2y 2x 13=-++ 向右平移3个单位，得()2y 2x-23=-+，再向下平移2个单位，得：()2y 2x 21=--+．故答案为：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x = D ．224y x =+【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，得到22(3+3)2y x =-+， 再向下平移2个单位长度，得到22(3+3)2-2y x =-+， 整理得22y x =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－1 【答案】B 【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1 B ．y =(x ﹣3)2+1 C ．y =(x ﹣3)2﹣5 D ．y =(x +1)2+2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y =x 2﹣2x ﹣1可化简为y =(x ﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y =(x ﹣1+2)2﹣2+3=(x +1)2+1； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13 D ．y ＝（x+1）2﹣5【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8，∴将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y ＝（x ﹣2+3）2﹣8+3，即y ＝（x+1）2﹣5．【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解决此题的关键．7．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）2【答案】D【解析】【分析】根据图像的平移规律：左加右减，可得答案．【详解】解：由题意，得y ＝x 2的图像向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y ＝（x+1）2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位【答案】A【解析】【分析】先把241y x x =--化为顶点式，然后根据平移的规律解答即可．【详解】∵241y x x =--=(x -2)2-5，∴把y=(x -2)2-5向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得21y x =-．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．【答案】y=2(x-1)2+5【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x -1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2+5．故答案是：y=2（x -1）2+5．【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．将抛物线y （2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____（【答案】y （2（x （1（2+3【解析】【分析】用顶点式表达式（按照抛物线平移的公式即可求解（【详解】y （2x 2向右平移1个单位长度（再向上平移3个单位长度后（函数的表达式为（y （2（x （1（2+3（故答案为：y （2（x （1（2+3（【点睛】本题考查了函数图象的平移（抛物线与坐标轴的交点坐标的求法（要求熟练掌握平移的规律（左加右减（上加下减（11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．【答案】(－1，1)【解析】【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,再利用平移规律求平移后的顶点坐标∵215322y x x =++ =2156)22x x ++（ =213)22x +-（∴图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位后,得出:y=12(x+1)2 +1; 得到顶点坐标为(-1,1).故答案为(-1,1)【点睛】 此题考查了二次函数图形与几何变换，解题关键在于用配方法将抛物线一般式转化为顶点式12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．【答案】y=5（x+2）2+3【解析】【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x 2的图象向左平移2个单位得到y=25(2)x +，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=25(2)x +的图象向上平移3个单位可得到函数y=25(2)3x ++，故答案是：y=25(2)3x ++．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．【答案】()3,16--【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+5）（x -3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．所以，抛物线y=（x+5）（x -3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），故答案为：（-3，-16）此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.【答案】2253y x x =++【解析】【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把A （0，3）代入，得3＝−1＋b ，解得b ＝4，则该函数解析式为2253y x x =++．故答案为：2253y x x =++．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。

一、选择题1．设A(﹣2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2A解析：A【分析】根据二次函数的性质解答．【详解】由抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴点离对称轴越近该点的函数值越大， ∵2(1)1(1)2(1)---<--<--，∴y 1＞y 2＞y 3，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减． 2．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定A 解析：A【分析】根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x=312-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＞y 2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．3．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B解析：B【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键4．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y x x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<C 解析：C【分析】先判断函数的开口向下，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴越远，函数值越小，再结合三点坐标即可判断1y ，2y ，3y 之间的大小关系．【详解】解：∵在22y x x c =-++中，21,122b a a =--=-=-， ∴该函数开口向下，对称轴为x=1，且距离对称轴越远，函数值越小，∵()11,y -、()20,y 、()34,y 三点距离对称轴的距离为：2,1,3，∴312y y y <<，故选：C ．【点睛】本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当a<0时距离对称轴越远的点，函数值越小是解题关键．5．设函数()()12y x x m =--，23y x =，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y <B ．当1x <时，12y y >C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >D 解析：D【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x ，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．6．对于二次函数()2532y x =-+的图象，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点是()3,2B ．开口向上C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是3x =C 解析：C【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可．【详解】解：对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为（3，2）， A ．二次函数y ＝5（x ﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B ．由于a ＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意；C ．由于y ＝5（x ﹣3）2+2＝5x 2﹣30x+47，则△＝b 2﹣4ac ＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x 轴没有交点，故本选项符合题意；D ．对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 7．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>A解析：A【分析】根据二次函数的对称性、增减性即可得．【详解】由二次函数的性质可知，当1x ≥-时，y 随x 的增大而减小，抛物线2(1)y x =-+的对称轴为1x =-， ∴0x =时的函数值与2x =-时的函数值相等，即为1y ，∴点()10y ,在此抛物线上， 又点()21,B y ，()32,C y 在此抛物线上，且1012-<<<，123y y y ∴>>，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性、增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 8．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x 时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤B解析：B【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．9．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题11．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题解析：13x【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．【详解】由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，结合图象得：当0y <时，13x， 故答案为：13x． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．12．将抛物线2y x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（- 解析：()2,1-【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,B y ，()332,C y +三点，则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是解析：231y y y <<【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23y y >，于是231y y y <<. 【详解】根据二次函数图象的对称性可知，332(),C y +中，|323||32|1+->-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.故答案为231y y y <<.【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.14．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94 【分析】 以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，解得：a ＝34-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x ＝0，则y ＝94． 即水管AB 的长为94m ， 故答案为：94．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．15．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．17．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次解析：11x =-，23x =【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解．【详解】 抛物线的对称轴212a x a-=-=， 由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)，∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，．故答案为：1213x x =-=，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键． 18．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b=++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b ++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键．20．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y xbx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．解析：（1）243y x x =-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为32P 坐标(2，1)．【分析】 （1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．【详解】解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)，将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为243y x x =-+， ∴对称轴为直线42221b x a -=-=-=⨯； （2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，在Rt OBC 中，OB=OC=3， ∴22223332BC OB OC =++=∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，把x =2代入3y x =-+得：y =1，∴点P(2，1)，∴PA+PC 的最小值为32P 的坐标为(2，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．22．如图，抛物线2123y x x =-++与直线24y x =交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）直接写出当x 取何值时，12y y >；（3）利用图象法直接写出不等式2230x x -++≥的解集．解析：（1）A （1，4），B （－3，－12）；（2）－3＜x ＜1；（3）－1≤x≤3．【分析】（1）根据函数的图象与性质可得2234x x x -++=，则可求出交点的横坐标，再由24y x =可得纵坐标，即可得出结论；（2）观察图象可得结果；（3）求出抛物线与x 轴的交点坐标，即可得解．【详解】解：（1）根据题意得：2234x x x -++=，解得：11x =，23x =-当11x =时，24y =．当23x =-时，212y =-．∴A （1，4），B （－3，－12）．（2）观察图象得：当－3＜x ＜1时，12y y >．（3）由2230x x -++=得：11x =-，23x =．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）．由图象可得，2230x x -++≥的解集为：－1≤x≤3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质并能运用数形结合的思想是解题的关键．23．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）【分析】（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得， 09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，∴MC +MA 最小，∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当x ＝1时，132y =-=-，∴点M （1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．解析：（1）二次函数的解析式为223y x x =--；（2）375(,)28P ，四边形ABPC 的面积的最大值为758；（3）Q(1，-2)，三角形QAC 1032【分析】 （1）根据待定系数法把A 、C 两点坐标代入2y x bx c =++可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B 点坐标，由B 、C 坐标可求得直线BC 解析式，可设出P 点坐标，用P 点坐标表示出四边形ABPC 的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P 点坐标；（3）求出点A 关于直线x=1对称点B ，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ+CQ 转化为BC ，在RtΔAOC 中求AC ，在RtΔBOC 中求BC 即可．【详解】（1）()()1,0,0,3A C --在曲线上，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；（2）在223y x x =--中，令y=0，得x=3或x=-1，∴B(3，0)，且C(0，-3)，设BC 的直线为y=kx+b ， 330b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得31b k =-⎧⎨=⎩， ∴经过点B ，C 的直线为y=x-3，设点P 的坐标为()2,23x x x --，如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，与直线BC 交于点E ，则(),3E x x -， ∵23375(x )228ABC BCP ABPC S S S ∆∆=+=--+四边形， ∴当32x =时，四边形ABPC 的面积的最大值为758； （3） ∵点A 关于直线x=1对称点B （3，0），∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA+QC 最小时位置，有（2）BC 的直线为y=x-3，当x=1，y=1-3=-2，∴Q(1，-2)， ()221310AC =+-=，2232AQ CQ CB OC OB +==+=，∴三角形QAC 的周长为1032+．【点睛】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理，掌握这些知识与方法，会用它们解决问题是关键．25．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．解析：(1)x=22-；（2） ABCD 372S =四边形． 【分析】（1）由正方形推出22a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，AC=2BC ，b=2c=2a2y ax bx c =+-=a (x 2+2x-1)对称轴为x=22222b a a a --==- (2) 对称轴为直线34x =-， ∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=由c>0、b>0、a>0，10ac b --=∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去），∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2272OB AB AO =-=，AD=2OB=7 ∴ABCD 1377322S =⨯⨯=四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题26．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小． （3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．解析：（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可； （3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可． 【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--， 对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =． （2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >， 当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >． ． ②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤， 若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍） 若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤， 当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =， 不符合32m <-， 故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．27．如图，已知抛物线2y ax c =+过点()2,2-，()4,5，过定点()0,2F 的直线y kx b =+与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）求证：BF BC =．（3）若1k =，在直线y kx b =+下方抛物线上是否存在点Q ，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．解析：（1）2114y x =+；（2）见解析；（3）存在，最大值为222+，此时Q 点坐标为()2,2．【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B(x ，2114x +)，而F （0，2），利用两点间的距离公式得到BF=2114x +，而BC=2114x +，所以BF=BC ； （3）作//QE y 轴交AB 于点E ，设2114Q t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，利用QBF EQF EQB S S S =+△△△和二次函数的性质即可求解．【详解】（1）把点（-2，2），（4，5）代入2y ax c =+得：42165a c a c +=⎧⎨+=⎩， 解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线解析式为2114y x =+； （2）设B(x ，2114x +)，已知F （0，2）， ∴2222222221111211444BF x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2114BF x =+， ∵BC x ⊥轴，∴2114BC x =+， ∴BF BC =； （3）作//QE y 轴交AB 于点E ．经过点F （0，2），且1k =时，∴一次函数解析式为2y x =+，解方程组22114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得24x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩24x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩则(2B ++， 设2114Q t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则()2E t t +，， ∴221121144EQ t t t t ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭， ∴QBF EQF EQB S S S =+△△△((2111221224EQ t t ⎛⎫=⋅+⋅=⋅+-++ ⎪⎝⎭)222t =-++当2t =时，QBF S △有最大值，最大值为2+，此时Q 点坐标为()22，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．28．已知二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(1,0)-，求此二次函数的解析式，并判断点(2,3)P -是否在这个二次函数图象上．解析：223y x x =--+，点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【分析】先设此二次函数解析式的交点式，再将点(0,3)代入即可得，然后将点P 的坐标代入进行验证即可得．【详解】由题意，设此二次函数的解析式为31y a x x =+-()()，将点(0,3)代入得：(03)(01)3a +⨯-=，解得1a =-，则此二次函数的解析式为2(3)(1)23y x x x x =-+-=--+，即223y x x =--+；当2x =-时，()()222233=---⨯-+=y ，则点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．。