高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案

复数的几何意义教学分析复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课,它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义,实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

教学目标1.知识与技能目标理解复数的几何意义;根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模.2。

过程与方法目标通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.3.情感与态度价值观目标通过复数的几何意义的学习,培养学生数形结合的数学思想,从而激发学生学习数学的兴趣.重点与难点重点：复数的几何意义以及复数的模;难点：复数的几何意义及模的综合应用.教法与学法教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式.学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式。

教具准备：三角板、多媒体等教学过程面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

新探究一：复数的几何意义思考1：实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示,是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗?教师提出问题学生思考，进行小组讨论。

学生回答,并总结师生共通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一知研探思考2：平面向量OZ的坐标为),(b a,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？复数的几何意义:1复数biaz+=←−−−→一一对应复平面内的点),(b a Z2复数biaz+=←−−−→一一对应平面向量OZ；复平面的有关概念介绍1复平面2实轴表示实数3虚轴除原点外都是纯虚数探究二：复数的模思考3：实数的绝对值、向量的模的几何意义是什么？通过类比,你能说出复数的模几何意义吗？同总结教师通过多媒体展示，让学生认知复平面内基本概念学生小组合作讨论对应关系。

第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A 版选修2-2的全部内容。

3。

1.2 复数的几何意义［学习目标]1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．[知识链接]1．下列命题中不正确的有________．(1)实数可以判定相等或不相等；（2）不相等的实数可以比较大小；（3)实数可以用数轴上的点表示;(4)实数可以进行四则运算；(5）负实数能进行开偶次方根运算；答案（5）2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a＋b i(a，b∈R），都和一个有序实数对(a，b）一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答案由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．［预习导引]1．复数的几何意义（1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．（2）复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋b i(a,b∈R）错误!复平面内的点Z(a，b）；②复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!平面向量错误!＝（a，b)．2．复数的模复数z＝a＋b i（a，b∈R）对应的向量为错误!,则错误!的模叫做复数z的模，记作｜z|,且|z｜＝错误!。

3.1.1数系的扩充与复数的概念教案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数系的扩充与复数的概念刘经纬教学目标知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i，理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。

过程与方法：通过回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，采用类比的思想方法，把实数系进一步扩充。

情感态度与价值观：体会数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，激发数学学习热情。

重点与难点重点：复数的有关概念；难点：虚数单位i的引进及复数的概念。

教学过程一、知识回顾及问题提出数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z⊆Q、N⊆Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集, 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾但是，数集扩到实数集R以后，是否就够用了呢？下面来看这样一个问题。

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案篇一：3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)3.1.1数系的扩充与复数的引入【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

【学情分析】学生为文科普通版班学生，基础较差，理解力一般，且个别学生学习积极性不够高。

【重点难点】教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念。

教学难点：复数概念的理解。

【教学过程】【导入】知识形成过程1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程x?1?0，没有实数根。

我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？【活动】组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程x?1?0没有实数根。

实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数。

解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题。

即一个什么样的数，它的平方会等于－1。

【讲授】引入新数1．引入新数i，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i??1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。

有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事。

这样，就可以解决前面提出的问题（?1可以开平方，而且?1的平方根是?i）。

2．提出复数的概念根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材5052P P -的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x +=无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程210x +=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．N Z Q R2.根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做 ，并规定：（1）21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．3．复数的概念：根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数；a 叫做 ，b 叫做 ；这种形式的复数叫做复数的 ．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，有：*N N Z Q R C ．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数),(R b a bi a ∈+，当且仅当0b =时，它是 ；当且仅当0a b ==，它是实数0；当0b ≠时，叫做 ；当0a =，0b ≠时，叫做 .5. 复数相等的充要条件：在复数集2{|,,1}C a bi a b R i =+∈=-中任取两个复数：a bi +，c di +，,,,abcd R ∈，规定：a bi c di a c +=+⇔=且b d =.2.师生探索，合作交流例1. 当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？( 1 ) 217i + ；( 2 )2i - ；( 3 )0 ，( 4 )2i ；( 5 )sin cos 66i ππ- . 2.已知复数2(1)()z m i m i =+-+，当m 为何值时，z 是虚数？是纯虚数？例2.已知i y y i x )3()12(--=+-，其中，,x y R ∈，求x 与y ．动动手：已知2(12)320(,)x i x mi i x m R ++--=∈，求实数m 的值.3．达标检测(1)已知(21)(3)x i y y i -+=--，则,x y 分别是________________.(2)若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为_________________. (3)若()()2223256i 0x x x x --+-+=，则实数x 的值是 .4．归纳与小结(1)在(,)z a bi a b R =+∈中，实部是a ，虚部是b ，易错为虚部是bi ；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.。