04届 高考试题全国卷2 文科数学(必修+选修Ⅰ)(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)

2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21（B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54，53)，点O (0，0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511（C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 解题思路：1、 已知集合M={x|x 2<4}，N={x|x 2-2x-3<0},则集合M ∩N=( C )A {x|x<-2}B {x|x>3}C {x|-1<x<2}D {x|2<x<3} 解法一：(直接求解)由M={x|x 2<4}={x|-2<x<2}，N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3} 则：M ∩N={x|-2<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|-1<x<2}。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（老课程）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷参考公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题（1）设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈， 则集合M N 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）函数sin 2x y =的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π (3) 记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 3D ． 1-(4) 等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 192(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ） A ．20x -=B ．40x -=正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ． 15 B ． 15- C ． 20 D ． 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =（ ）A ． 2--B ． 2i -C ． 2+D ． 2i (8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 54 (9) 不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4-C ． ()4,0-D ． ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．(11) 在ABC 中，3,4AB BC AC ==，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.(13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 .(15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）解方程.012242=--+x x(18) （本小题满分12分）已知α为锐角，且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) （本上题满分12分）设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，S n 是数列}{n a 的前n 项和，且,9221S S = 244S S =，求数列}{n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。

2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54，53)，点O (0，0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511（C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 解题思路：1、 已知集合M={x|x 2<4}，N={x|x 2-2x-3<0},则集合M ∩N=( C )A {x|x<-2}B {x|x>3}C {x|-1<x<2}D {x|2<x<3} 解法一：(直接求解)由M={x|x 2<4}={x|-2<x<2}，N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3} 则：M ∩N={x|-2<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|-1<x<2}。

2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西等地区)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（U C B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f xx x f 则若（ ）A ．21 B ．－21 C ．2D ．－23．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a b + |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．4 4．函数1(1)y x =≥的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y球的表面积公式 S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π，其中R 表示球的半径5．73)12(xx -的展开式中常数项是 （ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ）A ．57 B ．51 C ．27D ．47．椭圆1422=+yx的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）A ．23 B ．3 C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST 等于（ ）A ．91B ．94C ．41D ．3111．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95B ．94C ．2111 D ．211012．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = . 15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cossincossin)(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a yax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.2004年高考试题全国卷1 文科数学（必修+选修I ） (河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －315．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程.24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cossin)cos(sin)(22222--+=.212s i n 41)c o s s i n 1(21)c o s s i n 1(2c o s s i n 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分………………6分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=CC ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分 21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分（II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG .又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772cos -==θ所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC.∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23.在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AEEG =23，又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a aa a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 ……8分由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， 分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a aax aaxa ax。

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2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（老课程）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷参考公式：三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题 （1）设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）函数sin2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π(3) 记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2B ． 2-C ． 3D ． 1-(4) 等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 192正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ．20D ． 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =（ ）A ． 2--B ． 2i -C ． 2+D ． 2i(8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．2 D ． 54(9) 不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4-C ． ()4,0-D ． ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．3D ．(11) 在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ．32D ．(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 . (15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分）解方程.012242=--+x x(18) （本小题满分12分）已知α为锐角，且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) （本上题满分12分）设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，S n 是数列}{n a 的前n 项和，且,9221S S =244S S =，求数列}{n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。

2004年高考试题全国卷2(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（）条 （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4（9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设＝λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ． (1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 参考答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan =设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为18．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率2481533482523=+C C C C C C19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .3311-==θ 所以所求二面角的大小为π21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，A'C'∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21ln (2ln -->-+-=+,bb a b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +). 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。

2004年高考数学试题(四川文)一、 选择题(每小题5分，共60分)1.已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝A.{x|x ＜－2}B.{x|x ＞3}C.{x|－1＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3}2.函数y ＝5x 1+(x ≠－5)的反函数是 A.y ＝x 1－5(x≠0) B.y ＝x ＋5(x ∈R) C.y ＝x1＋5(x≠0) D.y ＝x －5(x ∈R) 3.曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处的切线方程为A.y ＝3x －4B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－4x ＋3D.y ＝4x －54.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为A.(x ＋1)2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1C.x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y －1)2＝15.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 A.－6π B.6π C.－12π D.12π 6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为A.75°B.60°C.45°D.30°7.函数y ＝－e x 的图象A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称8.已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为A.4x ＋2y ＝5B.4x －2y ＝5C.x ＋2y ＝5D.x －2y ＝59.已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，|a －b|＝2，则|a ＋b|＝A.1B.2C.5D.610.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 A.31 B.33 C.32 D.36 11.函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为 A.4π B.2π C.π D.2π 12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A.56个B.57个C.58个D.60个二、 填空题(每小题4分，共16分)13.已知a 为实数，(x ＋a)10展开式中x 7的系数是－15，则a ＝＿＿＿＿。

2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21（B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2（C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1（5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是（A ）－6π（B ）6π（C ）－12π（D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 （C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称（7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31（B ）33 （C ）32 （D ）36（8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe，其中λ＝（A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 （A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π（B ）2π（C ）π （D ）2π（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ 0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2 S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(Ⅰ)数列{nS n }是等比数列；(Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；(Ⅱ)设FB＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A（3）C （4）C （5）A（6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CD BCDACD ，由AB=3得CD=2+6故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=CC C(II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+CC C CC C19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S ,111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n ,211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nS n}是首项为1，公比为2的等比数列（II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n S n S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1ABCA'B'C'DMA'CBAC'B'MD又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23，∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=∙∙-+=∙-+FGG B FB FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21),M(22,1,0),=CD(22,21,21),=BA 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=GB 1),41,43,42(--∴01=∙GB BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .33||||11-=∙∙=G B CD G B CD θ所以所求二面角的大小为π-arccos3321．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OBOA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,>=.41413||||-=∙∙OB OA OB OA所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413.解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)ABCA'B'C'DM F GzXyA 'CB A C'B'F MDG联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0), 得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时,'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln2b a +=a ba b b ba a +++2ln2ln.由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得21,02<-<->-bb a aab ,因此a ab aa b ba a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bb a bb a b a b 2)21ln(2ln-->-+-=+.所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-22=---b a ab .又,22bba ba a +<+a ba b b ba a +++2ln2ln<a .2ln )(2ln)(2ln2lna b ba b a b ba b b bba -<+-=+++综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2x a +),则.2lnln )]'2([2)(')('x a x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2b a +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x x a x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2b a +)<(b-a)ln2.。