题库高考数学试题库全集及参考答案

高考数学试题179道及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {1,2}答案：B3. 若直线l的方程为y=2x+1，则l的斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 已知向量a=(3,-2)，b=(1,2)，则a·b的值为：A. -1B. 1C. 3D. -3答案：A5. 若复数z=1+i，则|z|的值为：A. 1C. 2D. √5答案：B6. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)：A. 3x^2-6xB. x^2-3xC. 3x-6D. x^3-3x^2答案：A7. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=2，则a4的值为：A. 8B. 16C. 32答案：B8. 若双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，焦点在x轴上，则a和b的关系为：A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b<0D. a<0, b>0答案：A二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为______。

答案：910. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值为______。

答案：011. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，则圆心坐标为______。

答案：(2, -1)12. 已知抛物线方程为y^2=4x，求焦点坐标为______。

答案：(1, 0)13. 已知正弦函数y=sin(x)的周期为2π，求其振幅为______。

答案：114. 已知向量a=(2,3)，b=(4,-6)，则|a-b|的值为______。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且与x轴有两个交点，则下列说法正确的是：A. a > 0, b^2 - 4ac < 0B. a < 0, b^2 - 4ac < 0C. a > 0, b^2 - 4ac > 0D. a < 0, b^2 - 4ac > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S10 = 55，则第25项a25的值为：A. 6B. 7C. 8D. 93. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA + sinB + sinC = 3，则△ABC为：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上的最大值为：A. 2B. 1C. 0D. -15. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2n，且a1 = 1，则数列{an}的前n项和为：A. 3^n - 1B. 3^n + 1C. 2^n - 1D. 2^n + 17. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(-2, 1)，则线段AB的中点坐标为：A. (-1, 1.5)B. (-1, 0.5)C. (0, 1.5)D. (0, 0.5)8. 若函数f(x) = log2(x + 1) + log2(x - 1)在区间[0, 2]上单调递增，则x的取值范围为：A. 0 < x < 1B. 1 < x < 2C. 0 < x < 2D. x > 29. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极小值，则下列说法正确的是：A. a > 0, b > 0B. a > 0, b < 0C. a < 0, b > 0D. a < 0, b < 010. 若平面α与平面β所成的二面角为θ，则sinθ的最大值为：A. 1B. 0C. 1/2D. 1/√2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x - 3的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：C2. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是：A. z = 1 ± 2iB. z = 1 ± √2iC. z = 1 ± 2D. z = 1 ± √3i答案：B3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 20，a1 = 2，则公差d为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A4. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为：A. 3/5B. 4/5D. 5/3答案：A5. 函数y = log2(x - 1)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：B6. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 32，a1 = 2，则公比q为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B7. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案：A8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上单调递增，则a的值为：A. 1C. 3D. 4答案：B9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：A10. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，d = 2，则第10项an为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）11. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的顶点坐标为__________。

答案： (1, 0)12. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是__________。

高考数学试题140道及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A3. 若sin(α) = 1/2，则cos(2α)的值为：A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1答案：B4. 已知数列{an}为等差数列，且a1 = 2，a3 = 6，则数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. x^2D. 1/x^2答案：A6. 已知抛物线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标为：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A7. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a = 2，则b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B8. 已知圆的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，圆心到直线x + y - 3 = 0的距离为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 6x10. 已知三角形ABC的边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形的面积S = _______。

答案：611. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，求第n项bn = _______。

答案：2 * 3^(n-1)12. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l与x轴的交点坐标为(_______,_______)。

一、选择题1. 答案：A解析：根据函数的定义，当x=0时，f(x)=1，故选A。

2. 答案：C解析：由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=6，得a6=a1+5d，代入选项验证，只有C符合。

3. 答案：D解析：利用二次函数的顶点公式，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，代入a=1, b=2, c=1，得顶点坐标为(-1, 0)，故选D。

4. 答案：B解析：由数列的通项公式an=a1q^(n-1)，代入n=5，得a5=a1q^4，代入选项验证，只有B符合。

5. 答案：A解析：根据向量的数量积公式，a·b=|a||b|cosθ，代入向量的坐标，得a·b=34cosθ，由余弦定理，cosθ=3/5，故a·b=343/5=18/5，故选A。

二、填空题6. 答案：x=3解析：根据二次方程的解法，x^2-5x+6=0，分解因式得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

7. 答案：3解析：由等差数列的求和公式S_n=n(a1+an)/2，代入n=10，a1=1，an=19，得S_10=10(1+19)/2=100。

8. 答案：y=2x-1解析：由直线的斜截式y=kx+b，代入点(1, 1)和(2, 3)，得方程组\[\begin{cases}1=k+b \\3=2k+b\end{cases}\]解得k=2，b=-1，故直线方程为y=2x-1。

9. 答案：1/2解析：由向量的模长公式，|a|=√(a1^2+a2^2)，代入向量的坐标，得|a|=√(3^2+4^2)=5，|b|=√(2^2+3^2)=√13，a·b=32+43=18，所以cosθ=(a·b)/(|a||b|)=18/(5√13)=18/65，θ的余弦值为1/2。

10. 答案：x=5解析：由圆的标准方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，代入圆心坐标(2, 3)和半径r=1，得(x-2)^2+(y-3)^2=1，代入x=5，得(5-2)^2+(y-3)^2=1，解得y=2或y=4。

2024年高考真题汇编数学（新课标卷+全国卷）目录2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（）A.0B.1C.D.22.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >）B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >）D.221168y x +=（0y >）6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=，所以(1)1,(2)2f f==，又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.四、解答题【答案】15.（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a c b c +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得2338c =，所以c =【答案】16.（1）由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，352AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，2DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．【答案】18.（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【答案】19.（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则函数的值域为（）。

A. $(-1, +\infty)$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 1)$D. $[1, +\infty)$2. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$a^2 + b^2 - c^2 = ab$，则角C的度数为（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）。

A. $y = -x^2 + 2x - 1$B. $y = 2^x - 3$C. $y = \log_2(x + 1)$D. $y = \frac{1}{x}$4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 2^n$，则数列的前n项和$S_n$为（）。

A. $S_n = 3^n - 2^n$B. $S_n = 3^n - 2^{n+1}$C. $S_n = 2^n - 3^n$D. $S_n = 2^{n+1} - 3^n$5. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数a和b的关系为（）。

A. $a = 0$B. $b = 0$C. $a^2 = b^2$D. $a^2 + b^2 = 1$6. 下列不等式中，正确的是（）。

A. $x^2 + y^2 \geq 2xy$B. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \geq \frac{2}{xy}$C. $\log_2(x + 1) \leq \log_2(x - 1)$D. $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则函数的极值点为（）。

高考数学试题158道及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. -2B. 0C. 2D. 4答案：B2. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D3. 若直线l：y=2x+3与直线m：y=-x+1平行，则它们的斜率关系为：A. 相等B. 互为相反数C. 垂直D. 无法确定答案：A4. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 486B. 162C. 243D. 81答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+2在区间(0, 2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：D6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，三角形ABC的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：B7. 若复数z=1+i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. 1D. 0答案：A8. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，则a·b的值为：A. 3B. 1C. -1D. -3答案：B二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(0)的值。

答案：810. 已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则a10的值为。

答案：1911. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为。

答案：y=±x/212. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, -1)13. 已知直线l：y=x-1与圆x^2+y^2=4相交于点A和点B，求弦AB的长度。

答案：2√214. 已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，则|a+b|的值为。

一．复数1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i -D ．1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．2【详解】若1i z =--，则z ==故选：C.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））设5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A二．集合1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B ={}1,0-.故选：A.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D三．命题与逻辑1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.四．向量1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥- ，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-= ，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B C D ．1【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+= ，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b 故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.5.解三角形1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin2C==，又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.（2）由（1）可得π3B=，cos2C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=，由已知ABC的面积为32338c+=c=2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A A+=．(1)求A．(2)若2a=sin sin2C c B=，求ABC的周长．【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin2A A=可得1sin122A A+=，即sin()1π3A+=，由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈，故ππ32A+=，解得π6A=方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin2A A=，又22sin cos1A A+=，消去sin A得到：24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=，解得cos A=又(0,π)A∈，故π6A=方法三：利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<，则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，显然π6x=时，max()2f x=，注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅=+=，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21tA A t ==+整理可得，222(2(20((2t t t --+-==--，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+3．（2024年高考全国甲卷数学（理））在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.6.概率统计1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.3．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.4．（2024年新课标全国Ⅱ卷）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；1125．（2024年高考全国甲卷数学（理））1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是．【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.6．（2024年高考全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：7157．（2024年高考全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高）A ．B ．C ．D ．【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA=DN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r，母线长分别为()212r r-和()213r r-，则两个圆台的体积之比=VV甲乙．【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB =．(1)若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；(2)若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【详解】（1）（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC⊥，设AD x =，则CD=DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故22tan4DFEx∠==x=AD=5．（2024年新课标全国Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，8AB=，3CD=，AD=，90ADC︒∠=，30BAD︒∠=，点E，F满足25AE AD=，12AF AB=，将AEF△沿EF对折至PEF!，使得PC=．(1)证明：EF PD⊥；(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB====，得4AE AF==，又30BAD︒∠=，在AEF△中，由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=，则AE EF⊥，即EF AD⊥，所以,EF PE EF DE⊥⊥，又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD︒∠===，则22236CE ED CD=+=，在PEC中，6PC PE EC===，得222EC PE PC+=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin 65θ==，即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6．（2024年高考全国甲卷数学（理））如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．【详解】（1）因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF =，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m = ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D ．2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，()22164410PF =++=，()2226446PF =+-=，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=，因为曲线过坐标原点，故()2202004a -+⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=，而2x >-，5．（2024年高考全国甲卷数学（理）22410++-=交于Ax y yA．2B．3C．4a b c成等差数列，所以【详解】因为,,++-=，即aax by b a20故选：C．（202427．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8．（2024年高考全国甲卷数学在C上，且MF x⊥轴．(1)求C的方程；由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=，故当12k =时，过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与9.函数与导数1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m -B ．3m -C ．3mD ．3m【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.2．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．（2024年新课标全国Ⅰ卷）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.5.（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.6．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 27．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．2【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.8．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．1【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.9．（2024年新课标全国Ⅱ卷）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(204g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10．（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD11．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=.【详解】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin 3αβ+=-.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：3-.12．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.13．（2024年高考全国甲卷数学（理））函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.14．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1C ．2D ．1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.15．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【详解】（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.17．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；。

高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。

一、选择题1. 【答案】A【解析】根据三角函数的定义，cos45° = √2/2，故选A。

2. 【答案】B【解析】由二次函数的图像可知，开口向上，顶点坐标为(-1, 2)，故选B。

3. 【答案】C【解析】由等差数列的性质，a1 + a3 = 2a2，代入已知条件得3 + a3 = 2 × 2，解得a3 = 1，故选C。

4. 【答案】D【解析】根据向量的加法和减法，|AB| = |AC| + |CB|，故选D。

5. 【答案】A【解析】由不等式的性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变，故选A。

二、填空题6. 【答案】x^2 - 2x - 3【解析】根据因式分解，将x^2 - 2x - 3分解为(x - 3)(x + 1)。

7. 【答案】2π【解析】由圆的周长公式C = 2πr，代入r = 2，得C = 2π × 2 = 4π。

8. 【答案】5【解析】由等比数列的性质，a1 × a5 = a2 × a4，代入a1 = 2，a2 = 4，得2 × 4 = a2 × a4，解得a4 = 4。

9. 【答案】2【解析】由向量的数量积公式，|AB| × |AC| × cosA = |BC|^2，代入|AB| = 3，|AC| = 4，得3 × 4 × cosA = |BC|^2，解得cosA = 2/3。

10. 【答案】x^2 + 2x + 1【解析】由完全平方公式，(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1。

三、解答题11. 【答案】（1）函数的解析式为y = -2x + 4；（2）当x = 2时，y = 0；（3）函数的图像为一条斜率为-2的直线，经过点(2, 0)。

12. 【答案】（1）函数的解析式为y = x^2 - 4x + 3；（2）对称轴为x = 2；（3）顶点坐标为(2, -1)。

高考数学试题题目及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m的图像与x轴有两个交点，则实数m的取值范围是：A. m>4B. m<4C. m≥4D. m≤4答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a5的值。

A. 17B. 33C. 65D. 129答案：A3. 若直线l的倾斜角为45°，且过点(1,2)，则直线l的方程为：A. y=x+1B. y=x-1C. y=-x+3D. y=-x-1答案：A4. 对于双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），若其渐近线方程为y=±(√2)x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B5. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+2b的模长为：A. √5B. √10C. √17D. √26答案：C6. 函数f(x)=sin(x)+√3cos(x)的最小正周期为：A. 2πB. πC. 2π/3D. π/3答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，若a=3，b=4，则c的值为：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，求其前5项的和S5。

A. 31B. 32C. 63D. 64答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值为：A. -2B. 2C. 4D. 8答案：D10. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-1)^2=9，直线l的方程为y=x+m，若圆C与直线l相切，则m的值为：A. -5B. -3C. 3D. 5答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a4+a5=15，则S5的值为______。

答案：3012. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标为______。

高考数学试题真题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)在区间\( (1, +\infty) \)上单调递增，则下列说法正确的是：A. 函数的最小值为2B. 函数的最小值为1C. 函数在\( x = 2 \)处取得最小值D. 函数在\( x = 1 \)处取得最小值答案：C2. 已知向量\( \vec{a} = (3, -2) \)和\( \vec{b} = (2, 1) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为：A. 4B. 2C. -2D. -4答案：B3. 若\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)且\( \alpha \)为锐角，则\( \cos \alpha \)的值为：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)答案：A4. 已知等比数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 2 \)，公比\( q = 2 \)，则\( a_5 \)的值为：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知双曲线的方程为\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \)，其渐近线方程为\( \pm \frac{4}{3}x \)。

6. 若从5名男生和3名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生，则不同的选法共有多少种？答案：307. 函数\( f(x) = \ln(x+1) - x \)在区间\( (0, +\infty) \)上是减函数。

8. 已知\( \tan \theta = \frac{1}{2} \)，则\( \sin \theta \cos \theta \)的值为\( \frac{1}{5} \)。

2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是 ． 二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ． 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =， 答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ． 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =， 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<， 答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =， 答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ． 【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。

高考数学题库及答案文科一、选择题1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 6B. 4C. 2D. 02. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 37B. 35C. 32D. 293. 若\( \sin\theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos\theta \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. 无解二、填空题4. 已知圆的半径为5，圆心在坐标原点，求圆的面积。

__________（答案：25π）5. 某商品的进价为100元，标价为200元，若打8折出售，求利润率。

__________（答案：60%）三、解答题6. 解不等式：\( 3x - 5 > 2x + 1 \)。

解：将不等式中的\( 2x \)移到左边，\( -5 \)移到右边，得到：\[ x > 6 \]7. 已知抛物线\( y = ax^2 + bx + c \)的顶点为(-1, -2)，求抛物线的方程。

解：抛物线的顶点式为\( y = a(x + 1)^2 - 2 \)，代入顶点坐标(-1, -2)，得到：\[ -2 = a(-1 + 1)^2 - 2 \]\[ a = 1 \]所以抛物线的方程为：\[ y = x^2 - 2x - 1 \]8. 某班有50名学生，其中男生30人，女生20人。

若随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。

解：抽到男生的概率等于男生人数除以总人数，即：\[ P(\text{男生}) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \]四、证明题9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正整数，且\( a^2 + b^2= c^2 \)，则\( a \)，\( b \)，\( c \)是勾股数。

高考数学试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A3. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，圆心C的坐标是？A. (2, -1)B. (-2, 1)C. (1, -2)D. (-1, 2)答案：A4. 函数y = 2^x的反函数是？A. y = log2(x)B. y = log10(x)C. y = ln(x)D. y = log(x)答案：A5. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，求该数列的第10项。

A. 19B. 21C. 23D. 25答案：A二、填空题6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

答案：√27. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求三角形ABC的形状。

答案：直角三角形8. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a = 2，b = 1，求双曲线的渐近线方程。

答案：y = ±(1/2)x9. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求该数列的前5项和。

答案：12110. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

答案：3x^2 - 6x三、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求证f(x)在区间[1, 3]上单调递增。

解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。

在区间[1, 3]上，f'(x) ≥ 0恒成立，因此f(x)在区间[1, 3]上单调递增。

高考数学试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）。

A. 0B. 2C. 3D. -2答案：B解析：将x=1代入函数f(x)=x^2-4x+m，得到f(1)=1-4+m=-3，解得m=2。

2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a4=8，则公差d为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：根据等差数列的性质，a4=a1+3d，将已知条件代入，得到8=2+3d，解得d=2。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为（）。

A. 1B. -1C. √2D. -√2答案：A解析：直线的斜率k等于其倾斜角的正切值，即k=tan(45°)=1。

4. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值为（）。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. x^3-3D. 3x^2+3答案：A解析：对f(x)=x^3-3x求导，得到f'(x)=3x^2-3。

5. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圆C的半径为（）。

A. 5B. 3C. 4D. 2答案：A解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

将圆C的方程与标准方程对照，得到半径r=5。

二、填空题6. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，求向量a与向量b的数量积为______。

答案：-2解析：向量a与向量b的数量积为a·b=2×4+3×(-1)=-2。

7. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值为______。

答案：-4解析：将f(x)=x^2-6x+8转化为顶点式，得到f(x)=(x-3)^2-1，因此f(x)的最小值为-1。

8. 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程为______。

高考试题数学及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，满分40分。

每小题只有一个选项是正确的。

）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(1)的值。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 3an + 2，求a3的值。

A. 20B. 22C. 24D. 26答案：C3. 若三角形ABC的内角A、B、C满足A + B = 120°，求角C的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，求向量a与b的数量积。

A. 4B. -4C. 2D. -2答案：B5. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2的导数是？A. y' = 3x^2 - 6xB. y' = 3x^2 - 6x + 2C. y' = x^2 - 6x + 2D. y' = x^3 - 3x^2答案：A6. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a = 2，b = 1，求双曲线的离心率。

A. √2B. √3C. √5D. 2答案：C7. 圆x^2 + y^2 = 4与直线x + y = 0的交点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 已知等差数列{an}的前n项和Sn = 3n^2 + 2n，求a5的值。

A. 14B. 16C. 18D. 20答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分。

）9. 已知等比数列{bn}的前n项和Tn = 2^n - 1，求b3的值。

答案：410. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(x)的最小值。

答案：-111. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：(-3/2, 0)12. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，且过点(3, 0)，求a的值。

2024年高考数学试卷真题及答案真题部分：一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在区间（-∞，a）内单调递减，在区间（a，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 0B. 0 < a ≤ 1C. 1 < a ≤ 2D. a ≥ 22. 已知函数f(x) = x^2 + ax + b（a，b∈R）的图像上存在点P，使得点P处的切线斜率为1，则a +b的取值范围是（）A. a + b < 1B. a + b = 1C. a + b > 1D. a + b ≥ 13. 若三角形ABC的三个内角A、B、C满足cosA + cosB + cosC = 0，则三角形ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn = 2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = nB. an = 2n - 1C. an = 2nD. an = n^25. 已知函数g(x) = x^3 - 3x + 1，则函数g(x)在区间（-∞，+∞）内的极值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 26. 已知直线l：x + 2y + 3 = 0与圆O：x^2 +y^2 = 4相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（）A. (-1, 1)B. (-1, -1)C. (1, -1)D. (1, 1)7. 若函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|在区间（-∞，a）内单调递减，在区间（a，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 1B. 1 < a ≤ 3C. a ≥ 3D. -1 < a ≤ 18. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x + 1，则函数f(x)在区间（-∞，+∞）内的单调递增区间是（）A. (-∞，-1)B. (-1, 1)C. (1, +∞)D. (-∞，+∞)二、填空题（每题5分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4在区间（-∞，a）内单调递增，在区间（a，+∞）内单调递减，则实数a的值为______。