第4章：刚体力学(4)

第4章 刚体力学
4.1 刚体运动学 4.1.1 刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体。
与质点相比，刚体模型突出物体的大小和形 状，忽略形状和大小的变化，忽略物体内部各部 分之间的相对振动和形变。 换而言之，只讨论刚体的整体运动，不追究 它内部各部分之间的相互作用和运动。
4.1.2 刚体的平动和转动
2 1
1 2 mg 99 sin 1 F F F 4
2 2
1 F2 mg cos 4
F2 arctan F1
cos arctan 10 sin
4.3
刚体定轴转动中的功和能
4.3.1 力矩的功
dA F dr F cos dr
( F cos r )d dA Md
A Md
1 2
4.3.2 刚体定轴转动的动能
1 1 1 2 2 2 Eki mi vi mi ri i mi (rii ) 2 2 2 2
1 2 2 Ek Eki (mi ri ) 2
刚体的动能
1 2 Ek J 2
J
4.3.3 刚体定轴转动的动能定理
2
a
m0
m0v0 a L J
1 2 J m0 a ml 3
J m0v0 a
a
m0

势能零点
1 2 l E0 J mg (a ) 2 2
l E m0 ga(1 cos ) mg (a cos ) 2
由机械能守恒，E = E0 ，代入 =300，得：
df (dm) g
O
l
dl
m dM r df l g dl L
l
df
L m M r dM r gl dl mg 0 L 2
l M r mg 2
为什么有这样好的一个结果？
dM r df l
根据转动定律：M
J
M 3g J 2L
mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
例：如图，水平轴光滑，最初棒在水 平位置，求棒在任意位置时的角加速度和 角速度、棒受轴的力的大小和方向。
解：作用在棒上 力有二，只有重 力对转轴有力矩
M x ( dm ) g
2 '2 2
2 '2 2 '2
' i
2 ' i ' i i
mi ri mi ri mi d 2mi dx
2
(mi ri ) (mi ri ) (mi d ) 2d[(m x )]
J J C md
2
mx
' C
4.2.4
转动定律的应用
例：细棒质量为 m 长为 L，在摩擦系数为 μ 的水平桌面上旋转，求它受到的摩擦力矩；假定 初始角速度为 w0，问它转多少周后停止转动。
r
l
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
O
M
a
l
思考：如图，子弹 打入并停留在杆中后， 整体对于转轴的转动惯 量为多少？
m
1 2 2 J Ml ma 3
4.2.4 平行轴定理
ri ri d 2dri cos
2 '2 2 '
' i
ri ri d 2dx
B
C
A
解：重力矩

1 M mgl cos 2
m A Md gl sin 0 2 m gl cos d 0 2 刚体定轴转
动动能定理
mg 1 2 l sin J 0 2 2
3g sin l
3g 3g 2 sin sin l l
2
d 1 2 d mR MR dt 2 dt
2
d 1 2 d mR MR dt 2 dt
2


0
mR d
2

0
人走一周时：
2
1 2 MR d 2 1 m M 2
2m 2 2m M
4.5
回转运动
A
4.5.1 不受外力矩的回转运动
D
B
C
A Md
2 d J d Jd 1 1 dt 1 2 1 2 J2 J1 A Ek 2 Ek1 2 2
2
1
2
4.3.4 刚体的重力势能
E p mi ghi
mi hi hc m
gmi hi
E p mghC
例：如图，水平轴光滑，最初棒在水 平位置，求棒在任意位置时的角加速度和 角速度、棒受轴的力的大小和方向。
2

dl
dJ R dm R
2
2
dm
3
J mR
2
2
dl Rd
3
dm Rd
3
dJ R d
J R d R

0
d 2R 3 m R2
圆盘的转动惯量
m / R
2
2
dm 2 π rdr
dJ r dm 2 π r dr
刚体(质点系)对某一定轴所受的合外力矩为 零，则它对这一固定轴 的角动量保持不变。 1.地球自转 2.茹可夫斯基凳
例：长 l 质量 m 的匀质细杆， 可绕光滑轴 O在铅直面内摆动。杆 静止时，一质量为 m0 的子弹水平 射入与轴相距为 a处的杆内并留在 杆中，使杆能偏转到 =300，求子 弹的初速v0。 解： L0
l 3 g cos at 质心的加速度： 2 4 3 g sin 2 l an 2 2l
质心运动定理：
3 F1 m g sin m an m g sin 2 3 m g cos F2 m at m g cos 4
5 F1 mg sin 2
A
mA
C
mC
mB B
A
mA FN F T1 mA O x PA
FT1
C
mC FT2
FT2
解:
mB B
O
FT1 mA a
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
FT1
PC
FC
FT2
mB PB y
a R
mB g a mA mB mC 2
物理量 坐标系
质点匀变速直线运动
刚体匀变速定轴转动
v v0 at
1 2 x v0t at 2
0 t
1 2 0t t 2
v v 2ax
2 2 0
2
2 2 0
(t )
求导
积分
(t )
求导
积分
(t )
v rω at rα a n rω
平动
转动
滚动
进动
刚体的定轴转动
(t )
(t t ) (t )
d dt d dt
转动平面
刚体定轴转动特点 1)运动描述仅需一个坐标； 2)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 3)任一质点运动的角量均相同，但线量不同。 汽车直线运动 x(Δx, v, a ) 一维坐标 刚体定轴转动 θ(Δθ, w, a ) 一维坐标
g xdm
C
mgx
1 M mgl cos 2
M J
3g cos 2l
d d d d 3g cos d dt d dt 2l
d 3g cos d 2l


0
d

0
3 g sin 3 g cos d l 2l
3g sin l
4.4
刚体定轴转动的角动量守恒
4.4.1 刚体定轴转动的角动量定理
dL d M J dt dt
Mdt dL Jd

t2
t1
Mdt Jd J2 J1
1
2
4.4.1 刚体(质点系)定轴转动的角动量守恒定律

t2
t1
Mdt J2 J1
解：盘和人组成系统。人走动 时，系统所受竖直力矩为零， 系统对此轴的角动量守恒。 j 和J分别表示人和盘对轴的转 动惯量，w 和Ω 表示两者的角 速度，θ 和 ψ表示两者对地的 角位移，由角动量守恒有：

j J 0 d d
dt , dt
1 2 j mR , J mR 2
1 2 l 1 l 1 J mg (a ) m0 ga(1 ) mg (a ) 2 2 2 22
将上式与
J m0v0 a 联立，代入 J 值，得：
1 2 3 2 2 v0 (ml 2m0 a)( ml 3m0 a ) g m0 a 6
例：一质量为M 半径为R的 水平匀质圆盘，可绕通过中 心的光滑竖直轴自由转动。 盘缘上站一质量为 m 的人， 两者相对地面静止。当人在 盘上绕边缘走一周时，盘对 地面转多大的角度？
d 3g cos d 2 dt l dt
d 3 g cos dt 2l
再用机械能守恒定律求解： 研究对象：杆与地球组成的系统，外力 (轴对杆的作用力)作功为零，只有保守内力 (重力)作功，机械能守恒。以杆在水平位置 为重力势能的零点，有：
1 2 mg 0 J l sin 2 2
2
4.2 刚体的定轴转动定
4.2.1力矩
dL M dt
M r F
dL M dt
M