第三次数学危机

第三次数学危机一、起因魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在本世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。

但必须注意到，贝克莱悖论只是在相对意义下得到了解决，因为实数理论的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性，而集合论的无矛盾性至今仍未彻底解决。

二、经过经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。

看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。

法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。

然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。

罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。

罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。

于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。

产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。

如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。

三、影响第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。

为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。

由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。

三次数学危机读书笔记《三次数学危机》是匹克特和克里舍夫斯基的合著作品，讲述了数学在过去三个世纪中所面临的三个重大危机，分别是不可能几何、代数基础危机和连续统计危机。

下面是我的读书笔记。

第一次数学危机：不可能几何。

不可能几何问题主要涉及到尺规作图的限制。

17世纪，费马提出了尺规作图三个基本问题的解决方案，但在19世纪，谢尔皮引用琴塔拉托证明了某些问题是无法通过尺规作图解决的。

这个危机迫使数学家们重新思考几何学的基础和方法，最终导致了非欧几何的产生。

第二次数学危机：代数基础危机。

20世纪初，希尔伯特提出了23个数学公理，希望通过这些公理来建立一个统一的数学体系。

然而，哥德尔在1931年的不完备性定理证明了任何一个包含基本算术的公理体系都存在无法证明或证伪的命题。

这个发现颠覆了希尔伯特的计划，数学家们纷纷转向了构造性数学和模型论的研究。

第三次数学危机：连续统计危机。

20世纪末，统计学和概率论在实际应用中的成功使得人们开始对数学中真实连续和理想离散之间的关系进行思考。

福克斯和莱利在1973年的论文中提出了连续和离散之间的桥梁——分形集合。

这个概念让人们重新审视了现实世界的物理现象和数学模型之间的联系，并使得数学家们对于数学的本质和局限性有了更加深入的理解。

通过阅读《三次数学危机》，我对数学的发展历程有了更深入的了解。

不可能几何、代数基础和连续统计问题的提出和解决过程，揭示了数学作为一门科学的内在矛盾和发展方向的变化。

这些危机和变革不仅仅是数学领域的问题，而是关于人类认识世界和建立知识体系的思考。

总而言之，《三次数学危机》是一本引人深思的书籍，它通过讲述数学中的危机和变革，展示了人类思维的发展和数学科学的进步。

它不仅适合数学爱好者阅读，也适合对科学哲学和知识体系有兴趣的读者。

数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。

因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。

它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。

这是数学史上的一个里程碑。

毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。

后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。

因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。

例如， ,22,8,6,2等都是无理数。

无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。

事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。

这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。

中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。

即算术阶段。

希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。

在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。

首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。

数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。

这次危机通过实数理论的建立得到解决。

2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。

微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。

最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。

3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。

这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。

至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

数学史上的三次危机经济上有危机，历史上数学也有三次危机。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。

第二次数学危机发生在十七世纪。

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。

无穷小量是微积分的基础概念之一。

微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。

数学界大逆袭：揭秘第三次数学危机如何神奇解决在数学的历史长河中，曾经爆发过三次著名的数学危机，它们如同数学界的“黑洞”，吞噬着数学家们的智慧和勇气。

今天，我们将重点讲述这三次危机中的最后一次——第三次数学危机，以及它是如何被解决的。

相信我，这将是一段比任何数学公式都要精彩的探秘之旅！一、危机的导火索第三次数学危机，也被称为“罗素悖论引发的危机”。

它的导火索源于英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在1901年提出的一个著名悖论。

这个悖论针对的是当时如日中天的集合论，特别是由德国数学家康托尔提出的“所有集合的集合”这一概念。

罗素构建了一个非常有趣的悖论：假设存在一个由“所有不包含自身的集合”组成的集合R。

那么，R是否包含自身呢？如果R包含自身，那么根据定义，它就不应该被包含在内；如果R不包含自身，那么它符合“所有不包含自身的集合”的定义，应该被包含在内。

这个悖论如同一个无法解开的魔法结，让数学家们陷入了深深的困惑。

二、危机的蔓延罗素悖论的提出，如同在数学界投下了一颗原子弹。

它动摇了集合论的基础，使得许多原本被认为是严谨的数学推理都变得可疑。

更糟糕的是，这个悖论似乎无法用现有的数学工具来解决。

数学家们开始怀疑，他们辛辛苦苦建立起来的数学大厦是否建立在沙滩上？三、拯救数学的英雄就在数学界陷入一片混乱之际，一位名叫库尔特·哥德尔的德国数学家站了出来。

他决定用自己的智慧来解决这个看似无解的悖论。

哥德尔采用了一种全新的方法——形式化方法。

他试图将数学建立在更加严谨的逻辑基础上，从而避免罗素悖论这类问题的出现。

经过艰苦的努力，哥德尔在1931年取得了突破性进展。

他提出了著名的“不完备性定理”，这个定理指出：任何包含算术的形式系统，如果是一致的（即无矛盾的），则必定是不完备的（即存在无法证明也无法证伪的命题）。

这一发现震惊了数学界，因为它意味着数学家们不可能构建出一个既完备又一致的形式化数学系统。

数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。

这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。

在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。

让我们来了解一下庞加莱猜想。

庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。

该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。

庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。

庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。

这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。

让我们来看看康托尔难题。

康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。

该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。

康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。

康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。

直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。

康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。

让我们来谈谈哈尔定理。

哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。

该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。

哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。

哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。