三次数学危机及其影响

数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。

因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。

它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。

这是数学史上的一个里程碑。

毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。

后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。

因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。

例如， ,22,8,6,2等都是无理数。

无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。

事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。

这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。

中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。

即算术阶段。

希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。

在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。

首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。

数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。

这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。

第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。

在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。

他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。

然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。

按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。

但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。

这次危机的成因可以归结为以下几点。

首先，当时的数学观念和认知存在局限性。

人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。

其次，数学的推理和证明体系还不够完善。

在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。

第一次数学危机的影响是深远的。

它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。

数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。

第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。

在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。

微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。

然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。

例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。

无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。

造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。

一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。

科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。

另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。

对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。

1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。

今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。

讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。

国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。

入乎其内，故能写之。

出乎其外，故能观之。

入乎其内，故有生气。

出乎其外，故有高致。

”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。

只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。

所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。

正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。

我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。

数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。

基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。

今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。

赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。

二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

三次数学危机及在课本中的体现在数学的发展史上，出现了三次震动较大的数学危机。

三次数学危机都有其产生的背景、解决的过程、相应的产物和作出重大贡献的数学家。

哲学修养是第一流数学家与其他人的又一显著差别。

他们对整个数学的内在统一性，对数学的基础有着深刻的理解，能从哲学的高度看问题。

他们重视技巧，但不舍本逐末。

他们能够不像一般人那样只见树木，不见森林，使人对他们的广博深邃，高瞻远瞩惊叹不已。

本文以数学发展中的三次数学危机为线索，讲述在此过程发生的背景、人物思想等，联系中学课本，具体体现数学史与中学数学教材的联系。

英国科学史家丹皮尔曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。

”可以说，不了解数学史是不可能全面了解数学的。

随着数学教学改革的逐步深入，数学史越来越受到教育工作者的重视，中学数学新课程标准中将数学史列为高中阶段的选修内容。

不仅如此，初中数学课本各章中也介绍了有关的数学史。

随着数学知识学习难度的加深,相当多的中学生正逐步丧失了对数学的学习兴趣,在他们眼里数学只是符号和方程式的堆砌,数学成为了他们心目中一门枯燥无味的学科。

即使有些学生在数学考试中能够取得好成绩,也是为了考试而学好数学,并不是出于对数学本身的热爱。

事实上,数学史对于揭示数学知识的来源和背景,对于引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,激发学生对数学的兴趣,培养探索精神和审美能力都有重要意义。

学生学习数学史从而了解数学，主动学习数学，爱上数学。

数学史教学中折射出的人生哲理、数学文化与数学人文精神是任何说教无法比拟的。

数学史寓于数学知识和课堂教学之中，其教育潜力十分巨大。

本文以数学发展中的三次数学危机为线索，讲述在此过程发生的背景、人物思想等，联系中学课本，具体研究数学史与中学数学教材的联系。

第一次数学危机1.1 第一次数学危机产生的背景第一次数学危机发生在公元前5世纪古希腊时期。

当人类逐渐脱离蒙昧走向文明的时候，不同的民族都会利用他们的原始文明中的经验、思维方式给这个奇妙变化的世界一种解释：这个世界如何构成的？怎样发展变化的？不同的民族文化对这种世界的解释表现出各自的智慧形态。

从数学的三大危机看数学与哲学数学，这门古老而又充满活力的学科，一直以来都是人类智慧的结晶。

在其漫长的发展历程中，曾经历了三次重大的危机，这些危机不仅对数学的发展产生了深远的影响，也在哲学领域引发了深刻的思考。

数学的第一次危机，被称为“无理数的发现”。

在古希腊时期，毕达哥拉斯学派坚信“万物皆数”，他们所指的数仅限于有理数。

然而，当人们发现等腰直角三角形的斜边无法用有理数来准确表示时，这一发现打破了原有的数学观念。

根号 2 的出现，让人们意识到数学世界中存在着无法用已有的有理数体系来描述的量。

这一危机从根本上冲击了当时的数学基础，也引发了哲学上对于“数”的本质以及人类认知能力的反思。

从哲学角度来看，第一次数学危机促使人们思考什么是真正的“存在”。

有理数一直被认为是完美和确定的，但无理数的出现让这种确定性受到了挑战。

它让人们意识到，我们所认知的世界可能远比我们想象的要复杂和神秘，我们的认知能力是有限的，还有许多未知的领域等待我们去探索。

数学的第二次危机则与无穷小量有关。

在微积分的发展过程中，无穷小量的概念被广泛应用，但对于无穷小量究竟是什么，却一直没有一个清晰的定义。

它时而被当作零，时而又参与运算，这种模糊性引发了数学界的巨大争议。

从哲学层面分析，第二次数学危机反映了人类在处理极限和无限概念时所面临的困境。

它促使我们思考如何在思维中把握那些看似无法捉摸的无限和极限。

同时，也让我们反思数学中的定义和逻辑推理的严谨性。

哲学中的认识论在这里发挥了作用，我们如何确信我们所建立的数学理论是可靠的？这需要我们对认知的过程和方法进行深入的思考。

数学的第三次危机，是由集合论中的悖论引起的。

罗素悖论指出，某些集合的定义会导致自相矛盾的结果。

这一悖论让整个数学大厦的基础再次受到了质疑。

在哲学上，第三次数学危机让我们重新审视逻辑的本质和局限性。

集合论作为数学的基础，其悖论的出现表明我们的逻辑思维可能存在漏洞。

这也引发了关于真理和确定性的更深层次的哲学探讨。