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零阶保持器传递函数零阶保持器（zero-order hold）是一种常用的模拟信号到数字信号转换的方法。
在数字信号处理中，信号必须以离散形式进行处理，而模拟信号则是连续的。
为了将模拟信号转换为数字信号，需要进行采样和量化，其中采样步骤中的零阶保持器起着至关重要的作用。
y[n]=x[nT]其中，y[n]表示输出信号，x[nT]表示输入信号，T表示采样周期。
零阶保持器的主要功能是在两个采样时刻之间将连续信号持续保持一段时间，以提供连续信号的信息。
换句话说，它将输入信号x[nT]保持为常数，直到下一个采样发生。
为了更好地理解零阶保持器的传递函数，我们可以通过将零阶保持器与连续时间系统进行比较来进行说明。
考虑一个理想的连续时间系统。
对于一个理想的连续时间系统，它的输入x(t)连续变化，而输出y(t)也是连续变化的。
然而，在实际应用中，我们通常会遇到离散时间系统，需要将连续时间信号转换为离散时间信号。
在离散时间系统中，我们使用采样和保持技术来将连续时间信号转换为离散时间信号。
采样器负责按照一定的时间间隔对连续时间信号进行采样，而保持器负责在两次采样之间保持输入信号的数值。
而零阶保持器正是保持器的一种实现方式。
它将输入信号持续保持一个样本周期的时间，然后在下一个采样时刻更新为新的输入信号值。
这样就实现了从连续时间信号到离散时间信号的转换。
对于一个理想的零阶保持器而言H(z)=1/(1-z^(-1))其中，H(z)表示传递函数，z表示拉氏变换的变量。
可以看出，传递函数与输入信号的拉氏变换形式相互对应。
将输入信号的拉氏变换表示为X(z)，输出信号的拉氏变换表示为Y(z)，则传递函数可以进一步表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，*表示拉氏变换的乘法运算。
这个表示形式可以更直观地说明传递函数的作用。
总之，零阶保持器是模拟信号到数字信号转换中一种重要的技术。
通过采样和保持，它将连续时间信号转换为离散时间信号。
零阶保持器的传递函数描述了系统的输入和输出之间的关系，是理解和设计离散时间系统的重要工具。
8－2 信号的采样和复现的数学描述一、 采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号)(t e *。
可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。
因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。
采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为∑∞∞==-n nT)-(t )(δδt T(8－1)其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为∑∞-∞=*-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ(8－2)通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ+-+)()(nT t nT e δ(8－3)或∑∞=*-=0)()()(n nT t nT e t e δ(8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。
然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。
下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j ω表示，下面我们来看)(ωj E *的具体表达式。
2326.2 信号采样与保持采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
6.2.1 信号采样1. 采样信号的数学表示一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图6-6所示。
图6-6 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ=（6-1） 理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为∑∞=-=)()(n T nT t t δδ (6-2)其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲，故式(6-1)可以写为∑∞=-=0*)()()(n nT t t e t e δ由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(<∀=t t e所以)(*t e 又可表示为*()()()n e t e nT t nT δ∞==-∑（6-3）2332. 采样信号的拉氏变换对采样信号)(*t e 进行拉氏变换，可得)]([)(])()([)]([)(0**nT t L nT e nT t nT e L t e L s E n n -=-==∑∑∞=∞=δδ (6-4)根据拉氏变换的位移定理，有nTsstnTsedt et enT t L -∞--==-⎰)()]([δδ所以，采样信号的拉氏变换∑∞=-=*)()(n nTsenT e s E (6-5)3. 连续信号与采样信号频谱的关系由于采样信号只包括连续信号采样点上的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。
式(6-2)表明，理想单位脉冲序列)(t T δ是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即∑+∞-∞==n tjn nT s ect ωδ)((6-6)式中，T s /2πω=，为采样角频率；n c 是傅氏系数，其值为/2/21()s T jn tn T T c t edt Tωδ--=⎰由于在]2,2[T T -区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且1|0==-t tjn seω，所以 0011()n c t dt TTδ+-==⎰（6-7）将式(6-7)代入式(6-6)，得∑+∞-∞==n tjn T s eTt ωδ1)( （6-8）再把式(6-8)代入式(6-1)，有∑+∞-∞==n tjn s et e Tt e ω)(1)(*（6-9）上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到234∑+∞-∞=+=n s jn s E Ts E )(1)(*ω (6-10)令ωj s =，得到采样信号)(*t e 的傅氏变换∑+∞-∞=+=n sn j E Tj E )]([1)(*ωωω （6-11)其中，)(ωj E 为非周期连续信号)(t e 的傅氏变换，即⎰+∞∞--=dt et e j E j ωω)()( （6-12）它的频谱)(ωj E 是频域中的非周期连续信号，如图6-7所示，其中h ω为频谱)(ωj E 中的最大角频率。
微分与平滑仿真实验一．实验目的1．数/模转换器得零阶保持器作用零阶保持器：zero-order holder（ZOH）。
实现采样点之间插值的元件，基于时域外推原理，把采样信号转换成连续信号。
零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。
因为在每一个采样区间内连续的阶梯信号的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器。
零阶保持器的传递函数为：2．零阶保持器在控制系统中的作用零阶保持器的作用是使采样信号e*(t) 每一采样瞬时的值e(kT) 一直保持到下一个采样瞬时e[(k+1)T]，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。
二．实验原理如下图，控制系统中，给输入阶跃信号，有函数：plot(y.time,y.signals.values,x.time,x.signals.values)可以画出其输入输出波形图1-1如下所示。
图1-1仿真原理图三．仿真过程图1-2 采样周期T-10MS时系统的输入输出波形图1-3 采样周期T-20MS时系统的输入输出波形图1-4 采样周期T-30MS时系统的输入输出波形图1-5 采样周期T-40MS时系统的输入输出波形四．思考与总结1.在微机控制系统中采样周期T的选择因注意哪些方面？采样定理只是作为控制系统确定采样周期的理论指导原则，若将采样定理直接用于计算机控制系统中还存在一些问题。
主要因为模拟系统f（t）的最高角频率不好确定，所以采样定理在计算机控制系统中的应用还不能从理论上得出确定各种类型系统采样周期的统一公式。
目前应用都是根据设计者的实践与经验公式，由系统实际运行实验最后确定。
显然，采样周期取最小值，复现精度就越高，也就是说“越真”。
当T 0时，则计算机控制系统就变成连续控制系统了。
若采样周期太长。
8－2 信号的采样和复现的数学描述
一、 采样过程
所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得
到一串脉冲序列信号)(t e *。
可见在采样瞬时，)(t e *
的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即
)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。
因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，
如图8－9所示。
采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为
∑∞
∞
==
-n nT)-(t )(δδt T
(8－1)
其中=n 0,±1,±2,…
)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为
∑∞
-∞=*
-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ
(8－2)
通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此
+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ
+-+)()(nT t nT e δ
(8－3)
或
∑∞
=*
-=0
)()()(n nT t nT e t e δ
(8－4)
式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。
然而，一个值得提出的问
题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全
部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。
下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱
假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*
()e t 的富氏变换式用*
()E j ω表示，下面我
们来看)(ωj E *
的具体表达式。
由于理想脉冲序列)(t T δ是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即
∑∞
-∞
==
n t
jn T s e
T
t ωδ1
)( （8－5）
其中T s πω2=为采样角频率。
将式(8－5)的结果代入(8－2)式得
∑∞
-∞
=*
==n t jn T s e t e T t t e t e ωδ)(1)()()(
（8－6）
根据复位移定理；若[()]()F e t E j ω=，则
[()]()at F e t e E j a ω
±=
因此，式(8－6)的富氏变换式为
∑∞
-∞
=*
*
-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([ωωω (8－7)
假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *
的频谱如图8－10(b )所示。
由图8－10，可得到如下结论：
(1)0=n 的项为
)(1
ωj E T
，通常称为基本频谱。
它正比于原连续信号)(t e 的频谱。
(2) 同时派生出以s ω为周期的，无限多个高频频谱分量
)(1
s jn j E T
ωω-，其中=n ±1， ±2,…。
h
以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。
从富氏变换及其反变换的有关定理可
知，在一定条件下，原函数)(t e 与其富氏变换式)(ωj E 是一一对应的，亦即由富氏变换式)(ωj E 可以唯一地还原成原函数)(t e 。
可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。
那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T 倍，就能完全重现原信号。
由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(t e *
来复现采
样前的连续信号)(t e ，采样频率s ω必须大于或等于连续信号)(t e 频谱中最高频率max ω的两倍，即
max 2ωω≥s
(8－8)
这就是有名的香农(Shannon)采样定理。
这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样
过程会损失任何信息。
由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max 2ωω<s 时，则将会出现如图8－12所示的频谱重
叠现象。
很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。
另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。
因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。
三、 零阶保持器的数学模型
零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。
因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT 时刻的采样信号值一直保持到第T n )1(+时刻的前一瞬时，把第T n )1(+时刻的采样值一直保持到
T n )2(+时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(t e *变成一个连续的阶梯信号)(t e h 。
因为在每一个采
样区间内)(t e h 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH ”来表示。
如果把阶梯信号)(t e h 的中点连起来，则可以得到与)(t e 形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T
的响应曲线)2
(T
t e -，如图8－13中的虚线所示。
由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。
为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。
零阶保持
器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。
零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T 的矩形波，如图8－14(a )所示。
为了求
其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图8－14(b )所示。
于是，脉冲过渡函数可表示为
)(1)(1)(T t t t y --=
相应的拉氏变换式为
s
e e s s s Y Ts
Ts ---=-=111)(
这就是零阶保持器的传递函数，即
s
e s G Ts h --=1)(
(8－9)
而零阶保持器的频率特性为
22
)
2sin(1)(T T T T j e j G T j h ωωωωωω-∠=-=-
其频率特性曲线如图8－15所示。
与理想滤波器图8－11相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。
不过
零阶保持器的频率特性不很理想。
信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。
此外，零阶保持器具有2T ω的相角迟后。
因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。
零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。
如
果将零阶保持器传递函数中的Ts
e 项展开成幂级数，并取前两项，则有
1
11111111)(+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-Ts T
Ts s e s s e s G Ts Ts h 这是就图8－16所示RC 网络的传递函数。
