杨辉三角与二项式系数的性质ppt

n＋1 增减性 当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时取得最大值
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问 题时，往往运用组合数公式．
•
如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n
＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关
系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论， 然后再证明它的一般性．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___， 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为 A，偶次 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且 B －A＝316，

„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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0 n
1 n
2 n
n n
知识探究3:
C
函数角度： r n 可以看成以r为自变量的函数
（2）增减性与最大值
f（r），其定义域是｛0,1,·,n｝。 · ·
图象法解释
f（r） 20
f（r） 35 30
n为奇数； 如n=7
15
20
10
6 1 O O
n 2
n
3 n4
2
7
r
n
n为偶数； 如n=6
①关于r=n/2对称
n1 2
C CC CC CC
0 6
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6 6
1
6 15 20 15
6
1
课堂练习：
1） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
2）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
二项式系数的性质
（a＋b） C a ＋C a ＝
且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
11
一般地， a b)n 展开式的二项式系数 (
C , C ,C 有如下性质：
（1）C
m n
0 n
1 n
n n
C
nm n
（2）
n 2 n
C C
m n
m1 n
C
m n1
（3）当n为偶数时， C
当n为奇数时， C （4）
0 n 1 n
最大
n 1 2 = n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C C 2

第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C 1 1 C 2 1 C 3 1 C n 1 1n2 （第2条斜线 ） C C 2 2 C 3 2 C 4 2 C n 2 1n3 （第3条斜线 ）
探究３、横行规律 1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
行的
则第2n行的数字Hale Waihona Puke 什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
想从一第想三：个如数图起，，写任出一斜数线都上等各于行前数两字个的数和的，和有;什么 规这律就？是著名的斐波那契数列 。
ab4
14641
ab5 1 5 10 10 5 1
ab6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
abn
c
0 n
c
1 n
c
2 n
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是
"杨辉三角"与二项式系数 高二（16）班
教学目标
1.了解杨辉及杨辉三角的有关历史； 2. 对杨辉三角进行探究； 3.能利用杨辉三角进行简单的应用

59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.

[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，

(4)方法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项 的系数和． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
＝
Ckn－1·n－kk＋1.
所以
C
k n
相
对
于
C
k－1 n
的
增
减
情
况
由
n－k＋1 k
决
定
，
故
当
n－kk＋1>1，即 k<n＋2 1时，二项式系数__增__大______．而当n－kk＋1
≤1(即 k≥n＋2 1)时，Cnk的值转化为____递__减____．又因为与首末 两端“等距离”的两项的二项式系数__相__等______，所以二项式
0 n
＋
C
2 n
＋
C
4 n
＋
…
＝
___C__1n＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…__________
＝
___2_n_－_1____.
• 牛刀小试
• 1．(2015·陕西宝鸡市金台区高二期末)二项 式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n 等于( )
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [答案] C
二项式系数相等并且最大，最大为
.
(4)表中数字 1 以外的每个数字都等于上一行它肩上两个数 字的____和____，这又验证了组合数的性质：Cnr ＋1＝__C_rn_－_1 _______ ＋___C_nr______.

解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质 知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数 最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展 开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.

【微思考】 (1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？ 提示：不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第 一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中 的第n+1行对应数值相等. (2)杨辉三角有什么作用？ 提示：利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项 式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数.
【解析】(1)由n=11为奇数，则展开式中第111项和第 111 1
2
2
项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.
答案：6和7
(2)由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以an=2n-1 答案：2n-1
(3)展开式的通项为 Tr1 1r C令5r ar5=r 2x，r，则a2
12 C52 a3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)（x 1 ）11 的展开式中二项式系数最大的项是第______项
x
(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个 数均为_____________.
(3)已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，若a2=80，则a0+a1+a2 +…+a5=____________.
出来，使问题得解.
(2)注意二项式系数性质
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
的应用.
2.对二项式系数性质的三点说明
(1)对称性：源于组合数的性质“
Cmn
Cnm n
”，基础是
C0n
Cnn
1，
然后从两端向中间靠拢，便有
C1n
Cnn1，C2n
Cn2 n

2n C0n C1n C2n L Cnn.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3

(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 增大 的．由对称性知它的后半
部分是逐渐 减小 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所 取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项， 令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项． [解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有CC8r8r··22rr≥≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得．

0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考1求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
C C C C
0 n n n 1 n
n 1 n n n
C C
2 n 0 n
n 2 n
0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6
5 10 10 5 6 15 20 15 6
《 杨辉 三角 详 解 九 杨 章 算 辉 法 》 记 载 的 表 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角， 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪 （约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我 国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
进一步思考: （2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇
数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和. 0 2 1 3 n1
Cn 即证：
Cn
n
Cn Cn
1 n1 n
2 n
2
证明：在展开式C 0a n
n
0 n
C a
1 n
b
3 n 1 n
C b
n n 中 n
n n n
7
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1)
f (1) f (1) 1 3 a1 a3 a5 a7 2 2

(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.

1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n

对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6

(2)递推性:
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
横向：每行系数大小变化规律
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C
0 1
C
1 1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
令a=b=1，则
2n
C
0 n
Cn1
C
2 n
C
r n
Cnn
启示：在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，
因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决 二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
例 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和．
Cn0 Cn2
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
高二数学
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
变换队形
n
(a+b)n展开式1的二项式系数
n! k!(n
k )!
(k
n! 1)!(n
k
1)!
n!
(1 1 )

C
n2 n 1
C
n 1 n 1
C
0 n
C
C
……..
C
……..
C
n 1 n
C
n n
对称
图像
例2
已知
的展开式中，
第4项的二项式系数是倒数第2项的 二项式系数的7倍，求n的值．
(3 x 2 n ) x
1 3 5 1 1 CCC … C _ _ _ _ 1 1 1 1 1 1 1 1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]