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杨辉三角与二项式系数的性质ppt

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“杨辉三角”与二项式系数性质 课件

“杨辉三角”与二项式系数性质 课件
n＋1 增减性 当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时取得最大值
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问 题时，往往运用组合数公式．
•
如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n
＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关
系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论， 然后再证明它的一般性．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___， 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为 A，偶次 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且 B －A＝316，

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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杨辉三角与二项式系数(优秀课件1)

杨辉三角与二项式系数(优秀课件1)

0 n
1 n
2 n
n n
知识探究3:
C
函数角度： r n 可以看成以r为自变量的函数
（2）增减性与最大值
f（r），其定义域是｛0,1,·,n｝。 · ·
图象法解释
f（r） 20
f（r） 35 30
n为奇数； 如n=7
15
20
10
6 1 O O
n 2
n
3 n4
2
7
r
n
n为偶数； 如n=6
①关于r=n/2对称
n1 2
C CC CC CC
0 6
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6 6
1
6 15 20 15
6
1
课堂练习：
1） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
2）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
二项式系数的性质
（a＋b） C a ＋C a ＝
且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
11
一般地， a b)n 展开式的二项式系数 (
C , C ,C 有如下性质：
（1）C
m n
0 n
1 n
n n
C
nm n
（2）
n 2 n
C C
m n
m1 n
C
m n1
（3）当n为偶数时， C
当n为奇数时， C （4）
0 n 1 n
最大
n 1 2 = n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C C 2

杨辉三角与二项式系数PPT优秀课件

杨辉三角与二项式系数PPT优秀课件

第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C 1 1 C 2 1 C 3 1 C n 1 1n2 （第2条斜线 ） C C 2 2 C 3 2 C 4 2 C n 2 1n3 （第3条斜线 ）
探究３、横行规律 1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
行的
则第2n行的数字Hale Waihona Puke 什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
想从一第想三：个如数图起，，写任出一斜数线都上等各于行前数两字个的数和的，和有;什么 规这律就？是著名的斐波那契数列 。
ab4
14641
ab5 1 5 10 10 5 1
ab6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
abn
c
0 n
c
1 n
c
2 n
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是
"杨辉三角"与二项式系数 高二（16）班
教学目标
1.了解杨辉及杨辉三角的有关历史； 2. 对杨辉三角进行探究； 3.能利用杨辉三角进行简单的应用

“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件

“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.

“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3


(4)方法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项 的系数和． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
＝
Ckn－1·n－kk＋1.
所以
C
k n
相
对
于
C
k－1 n
的
增
减
情
况
由
n－k＋1 k
决
定
，
故
当
n－kk＋1>1，即 k<n＋2 1时，二项式系数__增__大______．而当n－kk＋1
≤1(即 k≥n＋2 1)时，Cnk的值转化为____递__减____．又因为与首末 两端“等距离”的两项的二项式系数__相__等______，所以二项式
0 n
＋
C
2 n
＋
C
4 n
＋
…
＝
___C__1n＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…__________
＝
___2_n_－_1____.
• 牛刀小试
• 1．(2015·陕西宝鸡市金台区高二期末)二项 式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n 等于( )
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [答案] C
二项式系数相等并且最大，最大为
.
(4)表中数字 1 以外的每个数字都等于上一行它肩上两个数 字的____和____，这又验证了组合数的性质：Cnr ＋1＝__C_rn_－_1 _______ ＋___C_nr______.

高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质 知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数 最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展 开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.

高中数学 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修23


【微思考】 (1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？ 提示：不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第 一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中 的第n+1行对应数值相等. (2)杨辉三角有什么作用？ 提示：利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项 式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数.
【解析】(1)由n=11为奇数，则展开式中第111项和第 111 1
2
2
项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.
答案：6和7
(2)由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以an=2n-1 答案：2n-1
(3)展开式的通项为 Tr1 1r C令5r ar5=r 2x，r，则a2
12 C52 a3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)（x 1 ）11 的展开式中二项式系数最大的项是第______项
x
(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个 数均为_____________.
(3)已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，若a2=80，则a0+a1+a2 +…+a5=____________.
出来，使问题得解.
(2)注意二项式系数性质
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
的应用.
2.对二项式系数性质的三点说明
(1)对称性：源于组合数的性质“
Cmn
Cnm n
”，基础是
C0n
Cnn
1，
然后从两端向中间靠拢，便有
C1n
Cnn1，C2n
Cn2 n

【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)

2n C0n C1n C2n L Cnn.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
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n 一般地，(a b 展开式的二项式系数 )
C , C , C
（1）C m
n
0 n
1 n
n 有如下基本性质： n
Cnnm （对称性）
（2）C
m n
C
m 1 n
C
m n 1
n 2 n
（3）当n为偶数时，C 最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
n 1 2 n
=证： Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2
例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
在二项式定理中，令
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1 1 1 1 4 3 6
+
1 2 3
+
1 1
1 4 + 10 10 5 1 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1
C
2 n
3 n
4 n
C
C C
r r r r 1
C
C
r r 2
C
r n1

C
r 1 n
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到． n 图象的对称轴： r 2
（2）增减性与最大值
k C 由于： n
n k 1 1 所以C 相对于Ck 决定． n 的增减情况由 k n k 1 n 1 由： k 1 k 2
已知 (1 2 x)
a0 a1 x a2 x a7 x 求:(1) a1 a2 a7 ； - 2
7 2
7
(2)
a1 a3 a5 a7 ； 1094
a2 a4 a6
(3) a0
(4)| a0 | | a1 | | a7 | 2187 课外作业: 1.若（2 x 3)4 a0 a1 x a2 x2 a3 x 3 a4 x 4
k n
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 Cn k (k 1)! k
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
n
T5 T41 C
4 18
x
18 4
1 4 4 3060 x 3 x
4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
类型：求展开式中系数最大的项
例5： 求1 2x 的展开式中系数最大的 项
10
方法:利用通项公式建立不等式组
变式练习：
37 1 ; 2 1093
,
1 则 （a0 a2 a4 ) (a1 a3 ) 的值是____.
2 2
1 4 4.已知 x 的展开式中只有第 10 项系数最大 , 3 x 求第五项 n 解 依题意 , n为偶数 且 1 10, n 18. 2
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
①每行两端都是1 上的两个数的和
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩
C C
5
2 3
3 C 5 10 的系数是______.
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
斐波那契数列
斐波那契 （11701250）
意大利商人兼数学家,他 的著作《算盘书》中,首 先引入阿拉伯数字，将 “十进制”介绍给欧洲 人认识，对欧洲的数学 发展有深远的影响。
二项定理: 一般地，对于n ∈ N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
课前练习: 45 项. 1． 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 2．展开 a b ，其中 a b
且最大
C C 2
n n
n
“斜线和”
…… ……… 2 r n 2 r 1 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 1 r n 1 2 1 … … 第 n行 1 C n C n Cn Cn …… … …
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行
1 1
0 n
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n 3 n
C C C C C C
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
在(3x -2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项. 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
C 3
r 20 r 20
20 r 20 r
2 C
r r
r 1 20 r 1 20
3 3
19 r 21 r
2 2
r 1 r 1
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
这就是说，
(a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于：2 n
m n
m 1 n
C
m n 1
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
C 3
即
2 C
3(r+1)>2(20-r) 解得 2(21-r)>3r
8 20 12 8
2 2 7 r8 5 5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
12 8
小 结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值.