苏教版数学高二-必修5试题 等差数列的前n项和

第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。

课题：2.2.3 等差数列前n 项和（1） 总第____课时班级_______________姓名_______________1．（1）在等差数列{}n a 中，,1,164=-=a a 则8S =__________. （2）在等差数列{}n a 中，若,383-=+a a 则10S =____________. （3）在等差数列{}n a 中,若,24,1,61=-=S a 则15S =___________. 2．在等差数列{}n a 中,（1）已知999,54,201===n n S a a 则d= ，n= ；（2）已知,629,3731===n S n d ，则1a = ，n a = ;（3）已知,5,61,651-=-==n S d a 则n a = ，n= ；（4）已知,10,15,2-===n a n d 则1a = ，n S = .3．数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝_______. 4．等差数列{}n a 中的前m 项和为5，前2m 项和为20，则前3m 项和为______.5．等差数列{}n a 中，,78,24201918321=++-=++a a a a a a 则此数列前20项的和等于__________________6．在等差数列{}n a 中，若,20141084=+++a a a a 则17S =________________. 7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是_______. 8．等差数列{}n a 中，若，4128S S =则=da 1___________________. 9．在等差数列{}n a 中，，，4184==S S 则20191817a a a a +++=________.10．若等差数列{}n a 的通项公式为*)(225N n n a n ∈-=,则使前n 项和n S 取得最大值的n =______________.11．已知等差数列{a n }的通项公式，求它的前n 项和S n . （1）a n = 2n + 1；（2）a n =3n – 1；（3）a n = 9 – 4n ；（4）a n = 112 - 12n.12．（1）已知等差数列{}n a 的前10项之和为140,其中项数为奇数的各项的和为125,求数列的第6项.（2）数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列的前n 项和，2239S S =,244S S =,求数列{}n a 的通项公式.13．数列{a n}是等差数列，a1＝－60，a17＝－12.（1）求此数列的前n项和的最小值；（2）求数列{|a n|}的前n项和.三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错2．填空题具体订正：_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。

学业分层测评(九)（建议用时:45分钟）[学业达标]一、填空题1．若等差数列｛a n}的前5项和S5＝25,且a2＝3，则a7等于________．【解析】∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5,∵a2＝3，∴d＝a3－a2＝2，∴a7＝3＋5×2＝13。

【答案】132．已知等差数列｛a n｝中，a错误!＋a错误!＋2a3a8＝9，且a n〈0，则S10＝________.【解析】由a错误!＋a错误!＋2a3a8＝9，得(a3＋a8）2＝9，∵a n<0,∴a3＋a8＝－3,∴S10＝错误!＝错误!＝错误!＝－15。

【答案】－153．（2016·南京高二检测）设S n为等差数列｛a n}的前n项和,S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.【解析】由等差数列前n项和公式知S8＝错误!＝4(a1＋a8）＝4（a7＋a2）,又S8＝4a3,∴4(a7＋a2)＝4a3，∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－6。

【答案】－64．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________。

【导学号:91730033】【解析】∵S奇＝6a1＋错误!×2d＝30,∴a1＋5d＝5,S偶＝5a2＋错误!×2d＝5（a1＋5d）＝25，∴a中＝S奇－S偶＝5。

【答案】55．首项为正数的等差数列的前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．【解析】∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1〉0，∴a1〉a2〉a3〉a4〉a5〉a6＝0，a7<0。

故当n＝5或6时,S n最大．【答案】5或66．（2015·安徽高考）已知数列｛a n｝中,a1＝1，a n＝a n－1＋错误!（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于________．【解析】由a1＝1,a n＝a n－1＋错误!（n≥2)，可知数列｛a n｝是首项为1，公差为错误!的等差数列,故S9＝9a1＋错误!×错误!＝9＋18＝27。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.2等差数列的前n 项和练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9.在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案：1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=. 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列,∴1212,,,S S S 中6S 最大.。

1．掌握等差数列的前n 项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点) 2．体会等差数列前n 项和公式与二次函数间的关系．(难点) 3．等差数列前n 项和的最值的判断．(易错点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的前n 项和公式 阅读教材P 42，完成下列问题． 1．等差数列的前n 项和公式项和的方法是倒序相加法．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30＝ . 【解析】 S 30＝30(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.【答案】 4652．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝ . 【解析】 ∵a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100，∴n ＝10.【答案】 10教材整理2 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 48第8题～第12题，完成下列问题． 等差数列前n 项和常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．(2)S 奇表示奇数项之和，S 偶表示偶数项之和，公差为d . ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(3)前n 项S n 是关于n 的二次函数，不具有常数项．①当a 1>0，d <0时，S n 有最大值． ②当a 1<0，d >0时，S n 有最小值．1．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝ . 【解析】 设a 3＋a 6＋a 9＝x ，则45,39，x 成等差数列，∴45＋x ＝39×2，∴x ＝33. 【答案】 332．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－10n ，则当n ＝ 时，S n 最小． 【解析】 S n ＝n 2－10n ＝(n －5)2－25，∴当n ＝5时，S n 最小，为－25. 【答案】 5[小组合作型]n (1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ； (3)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【精彩点拨】 (1)(2)利用S n ＝n (a 1＋a n )2求解；(3)利用S n ＝na 1＋n (n －1)2d 求解．【自主解答】 (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39.又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.(3)由⎩⎨⎧ a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列的基本计算方法与技巧1．公式S n ＝n (a 1＋a n )2中涉及四个量：S n ，n ，a 1，a n ；公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 中也涉及四个量：S n ，n ，a 1，d .结合等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对于等差数列中的五个量：S n ，n ，a 1，a n ，d ，已知其中的三个可以求另外的两个量．简称“知三求二”．2．在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用．[再练一题]1．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.【解】 (1)S m ＝m ·32＋m (m －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＝－15， 整理，得m 2－7m －60＝0，解得m ＝12或m ＝－5(舍去)， ∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·(－512＋1)2＝－1 022，得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，得5a 1＋10d ＝24，即a 1＋2d ＝245，∴a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.法二 由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.n 1917n【精彩点拨】【自主解答】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.则S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169，∴数列{a n }的前13项和最大．法二 同法一解得d ＝－2，∴a n ＝25＋(－2)(n －1)＝－2n ＋27. 令a n >0，即－2n ＋27>0，解得n <13.5，即数列{a n }的前13项均为正数，第13项以后均为负数， ∴数列{a n }的前13项和最大． 法三 ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d <0.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a <0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下，∴当x ＝13时，f (x )取得最大值， ∴数列{a n }的前13项和最大．等差数列前n 项和的最值问题的三种解法1．利用a n ：当a 1>0，d <0时，前n 项和有最大值．可由a n ≥0，且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1<0，d >0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0，且a n ＋1≥0，求得n 的值．2．利用S n ：由S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n 的值． 3．利用二次函数的图象的对称性．[再练一题]2．在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值.【导学号：92862042】【解】 法一 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，d ＝2，∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<…， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42. 法二 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小， 且(S n )min ＝－42.[探究共研型]探究1 设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，d 是其公差，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】 由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d .同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .探究2 设S n ，T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明．【提示】 a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ； 同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n . 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．【精彩点拨】 (1)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解． (2)利用a 5b 5＝S 9T 9求解．【自主解答】 (1)在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30,70，S 3m －100成等差数列， ∴2×70＝30＋(S 3m －100)， ∴S 3m ＝210.(2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.1．对等差数列{a n }的前n 项和S n ，等差数列{b n }的前n 项和T n ，S 2n －1T 2n －1＝a nb n是很重要的性质，解类似题目时注意运用．2．求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．[再练一题]3．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ .(2)在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为 ．【解析】 (1)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，可得S 6S 12＝310.(2)∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150，解得n ＝10.【答案】 (1)310(2)101．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .【解析】 S 11＝11×(a 1＋a 11)2，∵a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝11×(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.【答案】 882．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝ .【解析】 ∵S 10＝4S 5，∴10a 1＋10×92d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴d ＝2a 1，∴a 1d ＝12.【答案】 123．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为 ． 【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 【答案】 －14．在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是 .【导学号：92862043】【解析】 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝95×a 5a 3＝95×43＝125.【答案】1255．已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【解】 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10， 所以，当n <5时，b n <0； 当n >5时，b n >0； 当n ＝5时，b n ＝0.由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20.。

2.2.3 等差数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做______．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝____________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝__________. 3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为________．(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.一、填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝________.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于________． 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为____________．6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是________．7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．二、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．2．2.3 等差数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3.(1)d2作业设计 1．49解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2.12解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．－15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．45解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45. 5．665解析 因为a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．－3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.7．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512 解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 9．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150.∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.10．210解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.11．解 由⎩⎨⎧a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.12．解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .13．10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 14．5解析a nb n＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7(n＋1)＋12n＋1＝7＋12n＋1，∴n＝1,2,3,5,11.。

2.2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝______________. 3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最______值；当d <0时，S n 有最______值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、填空题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ，(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是________． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为________．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.6．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列在n ＝k 时，前n 项和S n 取到最小值，则k 的值是________．8．一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，则凸n 边形的边数是________． 9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和是________． 10．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是________(只填序号)．①d <0；②a 7＝0；③S 9>S 5； ④S 6与S 7均为S n 的最大值二、解答题11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．12．已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，S n 、na 1、na n 从大到小的顺序是________．14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．2．2.3 等差数列的前n 项和(二)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d3．(1)大 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0 小 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)小 大 作业设计 1．2n －2 2．－1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 3．8解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.4.310解析 方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.5．1解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1.6．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10. 7．10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ， 得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 8．9解析 凸n 边形内角和为(n －2)×180°， 所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9. 9．－110解析 方法一 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法三 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.10．①②④解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.故①②正确．由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 故③错误，④正确．11．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).13．na 1>S n >na n解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .14．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

第2章数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10等于()A．12B．24C．36D．48解析：根据等差数列的前n项和公式S n＝（a1＋a n）n2，可得S10＝（a1＋a10）·102＝5(a1＋a10)＝120⇒a1＋a10＝24.答案：B2．在等差数列{a n}中，已知前15项的和S15＝90，则a8等于() A．3 B．4 C．6 D．12答案：C3．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝20，S2＝4，则公差d为()A．2 B．3 C．6 D．7解析：由⎩⎨⎧S2＝4，S4＝20得⎩⎨⎧2a1＋d＝4，4a1＋6d＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a1＝12，d＝3.答案：B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )A.n （3n ＋8）2B.（n ＋2）（3n ＋8）2C.（n ＋3）（3n ＋8）2D.n （3n －1）2解析：根据题意，记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，则1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝（n ＋3）（3n ＋8）2. 答案：C5．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1， 所以d ＝2，所以a 2＝a 1＋d ＝3.答案：A二、填空题6．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n （a 1＋a n ）2＝390，所以n ·602＝390，解得n ＝13. 答案：137．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝________．解析：(1)由S 奇S 偶＝（n ＋1）·（a 1＋a 2n ＋1）2n ·（a 2＋a 2n ）2＝n ＋1n ＝165150. 解得：n ＝10.答案：108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3，所以公差d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2. 法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列．a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0，得n ＝612. 所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<….故数列{a n }的前6项和最小．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36. 所以当n ＝6时，S n 最小．答案：6三、解答题9．已知等差数列51，48，45，….(1)第几项开始为负？(2)前多少项的和最大？解：(1)易得a 1＝51，d ＝48－51＝－3，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0，且a 1>0，d <0，故前17项或前18项的和最大．10．已知数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2，若b n ＝2n －1a n ，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，b 1＝S 1＝9－6×12＝3，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6， 当n ＝1时，b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式，所以b n ＝⎩⎨⎧3（n ＝1），6－12n （n ≥2）.又b n ＝2n －1a n ，所以a n ＝⎩⎨⎧3（n ＝1），6－12n 2n －1（n ≥2）. B 级 能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.由S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0得a 1＝－a m ＝－2， 所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.答案：C12．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S 9S 5＝92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案：A13．等差数列{a n }的前m 项的和为10，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．270D ．260解析：因为S m ＝10，S 2m ＝100，故S 2m －S m ＝90，故知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 构成首项为10，公差为80的等差数列，所以S 3m －S 2m ＝90＋80＝170.所以S 3m ＝100＋170＝270.答案：C二、填空题14．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1a 5＝a 22，则S 8＝________．解析：由a 1a 5＝a 22得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×1＋8×72×2＝64. 答案：6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析：设从11月1日起，第n 天的新感染者有a n 人，则a n ＋1－a n ＝50，则每天的新感染者构成以a 1＝20，d ＝50的等差数列{a n }，所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人． 答案：1 190三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2.数列{a n}的通项公式为a n＝11－2n(n∈N*)．(2)由(1)知，S n＝na1＋n（n－1）2d＝10n－n2.因为S n＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，S n取得最大值．。

高中等差数列的前 n 项和数学一、考点打破知识点课标要求题型说明1. 掌握等差数列前 n 项和的公式，并能运用公式解决一些 选择题 等差数列前 n 项和还要等差数列的注意两点：公式推导的方 简单问题；填空题前 n 项和n 项和公2. 领会等差数列前法和函数的思想式与二次函数间的关系二、重难点提示要点： 运用等差数列前 n 项和的公式解决一些问题。

难点： 等差数列前 n 项和公式与二次函数间的关系。

考点一：等差数列前 n 项和公式及推导（ 1）等差数列的前 n 项和公式S n ＝n(a1a n )＝na 1＋n(n 1)d22（ 2） 等差数列的前 n 项和公式的推导：∵ S n ＝ a 1＋ a 2＋ ＋ a n ， S n ＝ a n ＋ a n － 1＋ ＋a 1，∴ 2S n ＝（ a 1 ＋a n ）＋（ a 2＋ a n － 1）＋ ＋（ a n ＋a 1），＝ n （ a 1＋ a n ），1∴ S n ＝ n （a 1 ＋a n ）2这种推导方法称为倒序乞降法。

【中心打破】（ 1）由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知 a 1n n、d 、 n 、 a 、 S 中三个便可求出其他两个，即 “知三求二” 。

“知三求二”的本质是方程思想，即成立方程组求解。

（ 2）在运用等差数列的前n 项和公式来乞降时， 一般地， 若已知首项 a 1 及末项 a n 用公式 S n n(a 1a n )较方便；若已知首项 a 1n 1n(n 1) d 较好。

＝及公差 d 用公式 S＝ na＋22n(a 1 a n )（ 3）在运用公式 S n ＝乞降时，要 注意性质 “设 m 、 n 、 p 、 q 均为正整数，2若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 a mn p q＋ a ＝ a ＋ a ”的运用。

（ 4）在乞降时除了直接用等差数列的前n 项和公式乞降 （即已知数列是等差数列） 外，还要注意 创建运用公式条件 （马上非等差数列问题转变为等差数列问题） ，以利于乞降。