第三章 恒定磁场(3)-new

AZ1 =
µJ z
4
(a
2
−ρ
2
),
AZ 2 =
µ0 J z a
2
2
ln
a
ρ
磁感应强度
eφ r r ∂Az v 2 B = ∇× A = − eφ = 2 µ0 J z a v ∂ρ eφ 2ρ
µ Jzρ v
0<ρ ≤a a<ρ <∞
磁位 ϕm与磁矢位 A 磁位 (ϕm ) 适用区域 无电流分布区域
（2）根据 H1t − H2t = K
µ1 µ 2 r r 1 1 ∴ (∇ × A1 ) t − (∇ × A2 ) t = K µ1 µ2 r r v 1 1 v 或 ∴ ( ∇ × A1 − ∇ × A2 ) × en = K µ1 µ2
对于平行平面场， 对于平行平面场，则可写成
, 有
B1t
s s l
wb
在工程数值中经常用此公式计算磁通， 在工程数值中经常用此公式计算磁通，并由此 得到其它等效参数。 得到其它等效参数。 4.边值型问题 边值型问题 当电流分布已知，利用磁矢位A的泊松方程 当电流分布已知，利用磁矢位 的泊松方程 和边界条件求A与 。 和边界条件求 与B。
v v 长直圆柱， 例：长直圆柱，均匀分布体积电流 J = J z ez ，圆 柱半径为 a ，磁导率为 µ ，求圆柱导体内外的磁
0r
a<ρ ≤∞
通解为， 通解为， 边界条件
4 Az 2 ( ρ ) = C3 ln ρ + C4
Az1(ρ) = −
µJ z
ρ + C1 ln ρ + C2
2
(1)
( 2)
(5)
Az1
∂A ∂Az1 ∂ρ
ρ =a
ρ =0
=0
（参考磁矢位） 参考磁矢位）
→ 有限值 ( ρ = 0 处 B = 0)
三.库仑规范 r r =0 已知 ∇ ×r∇ϕ = 0 r 令 A' = A + ∇ϕ r 则 ∇ × A' = ∇ × ( A + ∇ϕ ) = ∇ × A + ∇ × ∇ϕ r r = ∇× A = B
即，对于一个B有多个矢量磁位可以选择， 对于一个B有多个矢量磁位可以选择， 为使问题简化，须给A规定限制条件。 为使问题简化，须给A规定限制条件。已知在一 定条件下，当一个矢量的旋度和散度都确定之后， 定条件下，当一个矢量的旋度和散度都确定之后， 这个矢量被唯一地确定，因此，必须规定A 这个矢量被唯一地确定，因此，必须规定A的散 度。 r 恒定磁场中， r ——库仑规范 恒定磁场中，令 ∇ ⋅ A = 0 ——库仑规范 r r r 唯一确定。 ∇× A= B, ∇⋅ A= 0 使得 A 唯一确定。
ρ2 x + ( y + b) 2 = 2 =K 2 2 x + ( y − b) ρ1
2 2 2
k +1 2 2bk 2 x + ( y − 2 b) = ( 2 ) k −1 k −1
2 2
等A线（B线）是一束包围导线的偏心圆族。 是一束包围导线的偏心圆族。
k 2 +1 其圆心坐标是 0, h(= 2 b) , k −1
r 二.由已知电流分布求 A r v r µ Idl '×eR 线电流 B = ∫l ' R 2 4π v r 1 µI r R µI dl '× 3 = = − dl '×∇ R R 4π ∫l ' 4π ∫l '
r r r 矢量恒等式∇ × ( µH ) = µ∇ × H − H × ∇µ r r r µI dl ' 1 B= ∫l[∇ × ( R ) − R∇ × dl ' ] = 0 4π ' r r dl ' µI 1 µI = ∇× − ∇ × dl ' ∫l ' R 4π ∫l ' R 4π
2 2
∇ Ax = − µJ x
从而
∇ Ay = − µJ y
∇ Az = − µJ z
2
2. 分界面上的衔接条件 a）围绕 P点作一矩形回 r r 路，则 r r （1） A1 = A2
Φm =
∫ B ⋅ drS r = ∫ (∇ × A) ⋅ dS r r
s
s
= ∫ A ⋅ dl
l
当 ∆L2 → 0 时, r r Φ m → 0 , ∫ A ⋅ dl = 0 ,
x
ρ2
ρ1
P
(0, = ln ( + ez ) 2π ρ1 y r µ0 I 2 L v A2 = ln ⋅ ( −e z ) 2π ρ2
r µ0 I ρ 2 v µ0 I ρ 2 2 v z A= ln ez = ln 2 ez ρ1 2π 4π ρ1 2 2 I I µ 0 I x + ( y + b) v e = ln 2 2 z x + ( y − b) 4π (0,−b,0) (0, b,0) y 0 ρ1 r ∂AZ v ∂AZ v r ρ2 B = ∇× A = ex − ey x ∂y ∂x P r v 2. 在平行平面磁场中， = Az ez，等 A 线可表示磁 在平行平面磁场中， A
v J =0
r 磁矢位 ( A)
全部场域空间
r 引入位函数 ∇× H = 0 的依据 r H = −∇ϕm 位与场的关系 r Q r ϕm = ∫ H ⋅ dl
P
r ∇⋅ B =0
r r r r ∫ A ⋅ dl =∫ B ⋅ dS
l S
r r B = ∇× A
磁位 (ϕm ) 微分方程
∇ ϕm = 0
z I
(0,−b,0)
平行平面磁场 解：这是一个平行平面磁场。 这是一个平行平面磁场。
I
0
由上例计算结果, 两导线在 由上例计算结果, P点的磁矢位
r r r v 2L 2 L v = µ 0 I ln ρ 2 e µ0 I A = A1 + A2 = (ln − ln )ez z 2π ρ1 2π ρ1 ρ2
r r r ∫SA ⋅ dS =∫V∇ ⋅ AdV =0 r 四.向量磁位 A 的边值问题
r r 的库仑规范下， 在 ∇ ⋅ A = 0 的库仑规范下，向量磁位 A 对任一闭 合曲面的通量为0 合曲面的通量为0。
r 库仑规范∇ ⋅ A = 0 r r r v r 2 则 ∇× B = ∇×∇× A = ∇(∇⋅ A) − ∇ A = µJ
当 L >> ρ 时，
r 与场源的关系式， 由 A 与场源的关系式，有 r r r A A = µ 0 Idz ' ∫l ' R 4π y µ0 I v L dz ' = ez ∫ P 1 −L 2 2 4π (ρ + z' ) 2
[
]
（2）应用磁矢位分析两线传输线的磁场。 ）应用磁矢位分析两线传输线的磁场。
2
r v 2 ∇ A = −µJ r 2 或 ∇ A=0
v r µ JdV ' A= ∫V ' R 4π
r 磁矢位 ( A)
位与源的关系
I ϕm = − Ω 4π
下一节
场分布。 场分布。
µ0
z v J
0
求解方法： 用安培环路定律求解 用安培环路定律求解。 求解方法：一.用安培环路定律求解。
µ
用泊松方程求解。 二.用泊松方程求解。 用泊松方程求解
r y ∇2 A =
v − µJ
0<ρ ≤a
v 解：采用圆柱坐标系 A = Az ez , x 且，Az = f ( ρ ) 1 ∂ ∂Az1 2 ∇ AZ1 = (ρ ) = −µ Jz 0< ρ ≤ a ρ ∂ρ ∂ρ 1 ∂ ∂Az2 2 ∇ AZ2 = (ρ ) =0 a < ρ ≤∞ ρ ∂ρ ∂ρ
感应强度B 线。
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，B 线方程为
r r Q B = ∇× A
∂ Az ∴ Bx = ∂y 的等值线方程： A的等值线方程：
∂Az v ∂Az v v v ex − e y = Bx e x + B y e y ∂y ∂x ∂Az (2) By = − ∂x
Bx By = dx dy
r r v B v ∇× H = J →∇× = J r µ r 又 B = ∇× A
1. 微分方程
r v ∇ × B = µJ
v 当 J = 0， 时
r v 2 ∇ A = − µJ r 2 ∇ A=0
( 泊松方程 ) ( 拉普拉斯方程 )
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，
r v v v 2 2 2 2 ∇ A = ∇ Axex + ∇ Ayey + ∇ Azez
1 ∂Az1 µ ∂ρ 1 ∂Az 2 ρ =a = µ 0 ∂ρ
ρ =a
2
(6)
(7)
Az1 ρ=a = Az2 ρ=a
由式 (5) `(6)
得 C1 = 0 ,
C2 = µJ z a 4
1 1 2 2 由式(7)得 C3 = − µ0 J Z a , C4 = µ0 J Z a ln a 2 2 代入通解式 (1) ` (2) 得
l
∴ A1t = A2 t
b）围绕P点作一扁圆 围绕P 柱，则 r r r ∫ A ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ AdV = 0
s V
当 ∆L → 0 时，
− A1n ∆S + A2n ∆S = 0,
∴ A1 n = A 2 n
r r 综合两个结论， 综合两个结论，有 A1 = A2
是连续的。 表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。
−