高考数学排列组合解题技巧总结

高考数学排列组合解题技巧总结

一、定义

排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.

组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.

二、学习指导

1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.

2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.

3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.

4、“正难则反”是处理问题常用的策略.

三、常用方法

1、合理选择主元

例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2、“至少”型组合问题用隔板法

对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？

解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）

3、注意合理分类

元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）

的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类：

第一类：3×××，4×××，5×××，共有:$3A_5^3=180$（个）；

第二类：21××，23××，24××，25××，共有:$4A_4^2=48$（个）；

第三类：203×，204×，205×，共有:$3A_3^1$（个）

∴比2015大的四位数共有237个。

4、特殊元素（位置）用优先法

把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？

分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有$A_4^1$种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有$A_5^5$种站法，故站法共有：$A_4^1×A_5^5$＝480（种）

解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有$A_5^2$种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有$A_4^4$种，故站法共有：$A_5^2×A_4^4$=480（种）

5、分排问题用直排法

对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有$A_9^9$种。

6、复杂问题用排除法

对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。

例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种

解：从10个点中任取4个点有$C_(10)^4$种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4$C_6^4$种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：$C_(10)^4-C_6^4-6-3=141$（种）。

7、排列、组合综合问题用先选后排的策略

处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：$(C4^2×C_2^1×C_1^1)/(A_2^2)=6$（种），

第二步将这三组教师分派到3种中学任教有$A_3^3$种方法。

由分步计数原理得不同的分派方案共有：$(C4^2×C_2^1×C_1^1)/(A_2^2)×A_3^3=36$（种）。因此共有36种方案。7、排列、组合综合问题用先选后排的策略。

8、多元问题用分类法

总结：总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。