届高考数学一轮总复习第22讲三角函数的性质考点集训理新人教A版【含答案】

2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 正弦定理和余弦定理实战演练 理1．(2015·卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝1. 解析：在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos A c ＝2×4×346＝1. 2．(2015·某某卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为8. 解析：因为cos A ＝－14，0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.由315＝12bc sin A 得bc ＝24.又因为b －c ＝2，所以b ＝6，c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝36＋16＋12＝64，故a ＝8.3．(2016·卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解析：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<B <π，所以B ＝π4. (2)由(1)知A ＋C ＝3π4， 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·某某卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．解析：(1)由题意知2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B＋ sin B cos A cos B， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．从而sin A ＋sin B ＝2sin C ．由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.。

三角函数的图象及性质能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54. 答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间． 解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题． [解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2.答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D.答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值． 解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

第22讲 三角函数的图象和性质激活思维1. 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的定义域是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4(k ∈Z ) B. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠－π4 C. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π4(k ∈Z )D. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠π4 2.将函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象的解析式为( )A. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4 B. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋3π4 C. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4 D. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －3π4 3. 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的单调增区间为( ) A. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－7π6，2k π－π6(k ∈Z ) C. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 4. 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，(第4题)则该函数的解析式为( ) A. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1011x ＋π6 B. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1011x －π6 C. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6 D. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 5. (多选)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，则下列命题错误的是( ) A. f (x )的周期为2π B. f (x )的值域为RC. f (x )的图象关于直线x ＝π6成轴对称D. f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0成中心对称知识聚焦1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )R R ________(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(2) 奇偶性：若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2. 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1) y＝A sin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念第1课时三角函数的图象和性质分类解析目标1 定义域与值域、最值问题(1) 函数f(x)＝64－x2＋log2(2sin x－1)的定义域是________．(2) 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2－3B. 0C. －1D. －1－3(3) 函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值是( ) A. 14 B. 34C. －1D. 1(1) 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cosx 的定义域为________． (2)已知函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，其中x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，π3 B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π2 C. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，2π3 D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π 目标2 单调性问题(1) (2020·江门一模)若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，则( ) A. f (1)>f (2)>f (3) B. f (3)>f (2)>f (1) C. f (2)>f (1)>f (3) D. f (1)>f (3)>f (2)(2) (多选)若函数y ＝cos ωx 在x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π2上单调递减，则正整数ω的值可能为( )A. 1B. 2C. 4D. 6(3) (2020·中原名校联盟)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________．(1) 若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π(2)已知函数f (x )＝m sinωx (其中ω>0，m >0)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是________．目标3 周期性、奇偶性及对称性(1)(2020·河南期末)(多选)若函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6的图象的一条对称轴方程为x ＝π3，则实数ω的取值可能为( )A. 1B. 4C. 7D. 8(2) (2020·潍坊模拟)已知ω∈(0,1)，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω的值为________．(3)已知f (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3(x ＋1)－3cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)＋f (2022)＝________.1. (多选)关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)，有以下四个选项，其中错误的有( )A. 对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B. 存在φ，使得f (x )是偶函数C. 存在φ，使得f (x )是奇函数D. 对任意的φ，f (x )都不是偶函数2. (2020·北京模拟)下列函数中，最小正周期为π2的是( )A. y ＝sin|x |B. y ＝cos|2x |C. y ＝|tan x |D. y ＝|sin 2x |3.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是直线x ＝－512π，则φ＝________.课堂评价1. (2020·临沂模拟)(多选)下列函数中，最小正周期为π的选项有( )A. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2 B. y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2 C. y ＝tan 2x D. y ＝|sin x ＋cos x |2. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A. 2B. 3C. 3＋2D. 2－33. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π上的大致图象是( )A BC D4. (2020·山东测试卷) (多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|，sin x ≥cos x ，|cos x|，sin x ＜cos x ，则下列说法正确的是( )A. f (x )的值域是[0,1]B. f (x )是以π为最小正周期的周期函数C. f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2上单调递增 D. f (x )在[0,2π]上有2个零点5. 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，x ∈R .(1) 求f (x )的最小正周期；(2) 若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．第2课时 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象分类解析目标1 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象识别(1)(2020·长沙质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A. ω＝2，φ＝π6B. ω＝12，φ＝π6C. ω＝2，φ＝π3D. ω＝12，φ＝π3(例1(1))(例1(2))(2) (2020·济南调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A. 1B. 12 C. 22D.32(1)(2020·黄山期末)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，|φ|<π，ω>0)的部分图象如图所示，则( )A. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 B. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3 C. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 D. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3(变式(1))(变式(2))(2) 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1＋x 2＝2π3，则f (x 1)＋f (x 2)等于( )A.32B. 22C. 0D. －12目标2 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换(1)(2020·聊城期末)(多选)为了得到函数y ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的图象，可作如下变换( )A.将y ＝cosx 的图象上所有点向左平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到B.将y ＝cosx 的图象上所有点向右平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C. 将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移π4个单位长度而得到D.将y ＝cosx 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移π8个单位长度而得到(2)(2020·保定二模)已知函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则该函数图象是由y ＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到？( )A. 向左平移π3个单位长度B. 向左平移π6个单位长度C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度(1)(2020·郑州预测)已知曲线C 1：y ＝cosx ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2(2) 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )A. 向左平移π12个单位长度B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移5π12个单位长度D. 向右平移5π12个单位长度目标3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象性质的综合运用(2020·山东测试卷)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6对称；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π18，0对称；③f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值；若a 不存在，请说明理由．已知函数f (x )＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且________，是否存在正实数a ，使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π12上有最大值3?(2020·济宁质检)在①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 求函数f (x )在[0,2π]上的单调增区间．课堂评价 1.(2020·大连三模)若将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，0B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，02. 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，5π4上单调递增B. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π上单调递减C. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5π4，3π2上单调递增D. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π2，2π上单调递减3.(2020·青岛模拟)(多选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )(第3题)A. 函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B. 函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，0对称 C. 函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，－π6上单调递增 D. 函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3 4.(2020·九江质检)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，其中ω>0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π，则当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．5. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0. (1) 求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4上的最小值．。

第五章 三角函数、解三角形 第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于________．－2 2 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于________.【导学号：62172125】π3[∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．(2017·苏州期中)已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________.－1515 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝14，∴cos α＝－1－sin 2α＝－154. ∴tan α＝sin αcos α＝－1515.]4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]5．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.【导学号：62172126】－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.]7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44．5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 8．(2017·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin －190°＝________.3 [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°si n 10°＝ 3.]9．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________.【导学号：62172127】－23 [∵sin θ＋cos θ＝43， ∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23.] 10．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.2 [由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.]二、解答题11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝________.5－12 [因为tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52， 因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝5－12.] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.12[由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得 f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α.(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.4．已知f (x )＝cos2n π＋x ·sin 2n π－xcos 2[2n ＋1π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．[解] (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 22k π＋x ·sin 22k π－xcos 2[2×2k ＋1π－x ]＝cos 2x ·sin 2－x cos 2π－x ＝cos 2x ·－sin x 2－cos x 2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[2k ＋1π＋x ]·sin 2[2k ＋1π－x ]cos 2{[2×2k ＋1＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x ]·sin 2[2k π＋π－x ]cos 2[2×2k ＋1π＋π－x ]＝cos2π＋x ·sin2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。