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Rudin数学分析中的度量空间与完备性度量空间是数学分析中的重要概念之一。
在Rudin的经典著作《数学分析原理》中，度量空间的概念以及完备性是其重要的内容之一。
本文将探讨Rudin数学分析中度量空间与完备性的相关理论。
I. 度量空间的概念度量空间是定义了度量的集合，其中度量是衡量距离的函数。
在Rudin的书中，度量空间的定义如下：设X是一个非空集合，如果存在一个函数d: X×X→R，满足以下条件：1. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)≥0，并且当且仅当x=y时取等号；2. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)=d(y,x)（对称性）；3. 对于任意的x，y，z∈X，d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)（三角不等式）；则称(X, d)为一个度量空间，其中d称为度量。
在Rudin的书中，度量空间的定义还包括了同时满足下面两个条件的性质：4. 对于任意的x，y∈X，如果d(x,y)=0，则x=y（分离性）；5. 对于任意的x，y，z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)（广义三角不等式）。
II. 完备性的概念在度量空间中，完备性是一个重要的概念。
直观上讲，一个完备的度量空间中任意一个Cauchy序列都收敛于该度量空间中的某个点。
在Rudin的书中，给出了度量空间的完备性的定义：设X是一个度量空间，如果对于X中的任意一个Cauchy序列{xn}，存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷大时，有d(x,xn)趋向于零，那么称X是一个完备度量空间。
III. 度量空间与完备性的相关性质在Rudin的书中，给出了度量空间与完备性之间一些重要的性质和定理，如下所示：1. 空间的子空间：如果(X, d)是一个度量空间，A是X的一个子集，且令dA(x,y)=d(x,y)，那么(A, dA)也是一个度量空间。
2. 合乘性：如果(X, d)是一个度量空间，对任意的正实数h，令dh(x,y)=hd(x,y)，那么(X, dh)也是一个度量空间。
度量空间完备的定义1.引言在数学中，特别是在拓扑学和实分析中，度量空间是一个非常重要的概念。
它提供了一个衡量空间中两点之间距离的方法，从而可以量化地描述空间的结构和性质。
完备的度量空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在黎曼几何、调和分析、微分方程等领域。
理解度量空间的完备性是深入理解许多数学概念和技巧的关键。
2.度量空间的定义首先，我们需要了解什么是度量空间。
一个度量空间是一个有序对(X, d)，其中 X 是一个集合，d 是 X 中的一种度量，也就是一个使得对于任意 x, y 属于 X 的函数 d(x, y) 非负、等于零当且仅当 x=y、以及 d(x, y)=d(y, x)（对称性）和 d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)（三角不等式）的函数。
在实数集上常用的欧几里得距离就是一种度量。
3.完备性的定义在度量空间中，完备性是一个重要的性质。
一个度量空间是完备的，如果它满足任何一个柯西序列（即，对于任意小的正数ε，存在一个正整数 N，使得对于所有的 n>N 和m>N，有d(xn, xm)<ε）都收敛于这个度量空间中的某个点。
简单来说，一个完备的度量空间意味着所有的柯西序列都有极限。
4.度量空间完备性的判定在实际应用中，我们需要判断一个给定的度量空间是否完备。
一个常用的方法是使用柯西序列的极限性质。
如果对于任意的柯西序列，都存在一个唯一的点x，使得该序列收敛于x，那么这个度量空间就是完备的。
此外，还可以通过其他一些性质来判断一个度量空间的完备性，例如闭性和完备性的等价性等。
5.完备度量空间的性质在数学分析中，我们常常用到一些性质来描述完备的度量空间。
这些性质包括：完备的度量空间是闭的；完备的度量空间是紧致的；完备的度量空间是连通的；完备的度量空间具有有限的可数稠密性等。
这些性质对于理解和应用度量空间的完备性非常有帮助。
6.完备度量空间的应用在许多数学分支和应用领域中，都涉及到度量空间的完备性。
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
度量空间与完备性的概念在数学中，度量空间是一种常见的数学结构，它具有一种度量函数，用于测量集合中的元素之间的距离。
而完备性是度量空间中的一个重要性质，它表明该空间中任意柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。
本文将介绍度量空间与完备性的概念，探讨其特性和应用。
一、度量空间的定义度量空间是一个集合X，其中带有一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1. 非负性：对任意x,y∈X，都有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2. 对称性：对任意x,y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3. 三角不等式：对任意x,y,z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。
二、完备性的定义在度量空间中，如果对于任何柯西序列{xn}⊆X，都存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷时，d(x,xn)趋向于0，则称这个度量空间是完备的。
三、完备性的性质1. 完备性的等价定义：度量空间X是完备的，当且仅当每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。
在度量空间中，柯西序列是指一个序列{xn}，对任意ε>0，存在一个正整数N，当n,m>N时，有d(xn,xm)<ε。
2. 完备性的保持：完备性是度量空间的一个重要性质，而一个完备度量空间的闭子集也是完备的。
即如果度量空间X是完备的，Y是X的闭子集，则Y也是完备的。
3. 完备度量空间的例子：实数集R是一个完备的度量空间，而有理数集Q不是完备的度量空间。
四、完备性的应用1. 定义一致收敛：在函数分析中，完备性的概念常常用于定义一致收敛。
如果在度量空间X上有一列函数{fn}，对于任意ε>0，存在一个正整数N，当n>N时，对所有的x∈X，都有d(f(x),fn(x))<ε，则称该列函数在X上一致收敛。
2. 构造完备空间：通过将某个度量空间中的柯西序列等价类引入，可以构造一个完备空间。
例如，利用有理数集Q上的柯西序列等价类，可以构造实数集R，而实数集就是一个完备空间。
泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
函数论中的度量空间理论解析前言度量空间理论是函数论的基础，它为函数的收敛性、连续性和一致收敛性等概念提供了严格的数学定义和分析工具。
度量空间理论在函数论中的应用非常广泛，它不仅可以用来证明函数的各种性质，还可以用来构造新的函数空间并研究函数空间的结构。
度量空间的概念度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，使得对于任意x, y, z∈X，都有以下性质：1.非负性：d(x, y) ≥ 0，并且d(x, y) = 0当且仅当x = y。
2.对称性：d(x, y) = d(y, x)。
3.三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
函数空间的度量在函数论中，度量空间通常是函数空间。
函数空间是一个集合X，其中元素是定义在某个集合上的函数。
对于函数空间，度量函数通常是函数之间的距离，例如：1.最大范数：对于定义在[a, b]上的连续函数f和g，最大范数定义为：d(f,g)=maxx∈[a,b]|f(x)−g(x)|2.平方可积范数：对于定义在[a, b]上的平方可积函数f和g，平方可积范数定义为：d(f,g)=(∫|f(x)−g(x)|2ba dx)1/2函数的收敛性在函数论中，函数的收敛性是一个重要的概念。
函数的收敛性是指函数序列{fn}在某个度量空间中收敛到某个函数f。
函数的收敛性有以下几种类型：1.点收敛：对于任意x∈X，都有limn→∞ fn(x) = f(x)。
2.一致收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x∈X，都有|fn(x) - f(x)| < ε。
3.均匀收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x, y∈X，都有|fn(x) - fn(y)| < ε。
函数的连续性函数的连续性也是函数论中的一个重要概念。
函数的连续性是指函数在某个点的邻域内是连续的。
函数的连续性有以下几种类型：1.点连续：对于任意x∈X，存在δ>0，使得对于任意y∈X，如果|x - y| < δ，则有|f(x) - f(y)| < ε。
第一章 度量空间若在实数集R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞=． 于是人们就想，在一般的点集X 中如果也有“距离”，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1 度量空间的定义与极限1.1.1 度量空间的定义与举例定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ⨯→R ，使得,,x y z X∀∈，均满足以下三个条件：（1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )；（3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )，则称d 为X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ．下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ．设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义(,)d x y其中12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间．在证明之前，引入两个重要的不等式．引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有112222111()()n nni i iii i i a b ab ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数λ，则由222211110()2nnn ni i ii i i i i i i a b ba b a λλλ====≤+=++∑∑∑∑知右端二次三项式的判别式不大于零，即222111240n nni i i ii i i a b b a===⎛⎫∆=-≤ ⎪⎝⎭∑∑∑于是可得(1.1)式成立．□进一步有H ölder 不等式11111()()nnnpq pqi ii i i i i a ba b ===≤∑∑∑其中,1p q ≥且111p q+=，称这样的两个实数,p q 为一对共轭数． 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给2n 个实数12,,,n a a a 及12,,,n b b b ，有111222222111()nnni i i i i i k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1.2)证明 由(1.1)式得2221111()2n nn niiii i i i i i i a b aa b b ====+=++∑∑∑∑1122222211112nnnnii i i i i i i a a b b ====⎛⎫⎛⎫≤+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑211222211n n i i i i a b ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑这就证明了(1.2)式．□进一步可有Minkowski 不等式的一般形式，其中1k≥111111()()()nnnk k k kkki i i i i i i a b a b ===+≤∑∑∑例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义1k ≥(,)d x y =(1.3)其中12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个距离函数．证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的12(,,,)n n z z z z R =∈，由闵可夫斯基不等式(1.2)有()1221ni i i x z =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑()1221ni i i i i x y y z =⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦∑≤()1221ni i i x y =⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑()1221ni i i y z =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑，即(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+．从而得证d是一个距离函数．□注2：称(,)nR d 为n 维欧氏空间，d称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间n R ，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的．注3：在n R 中我们还可以定义其他的距离：1(,)max ||k k d x y x y =-；21(,)||nk k k d x y x y ==-∑．可以验证距离1d 、2d 均满足条件(1)、(2)和(3)． 注4：在2R 中比较上述三种距离d、1d 和2d ，可看看他们各表示什么？由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2 离散度量空间 设X 为非空集合，,x y X∀∈，定义距离00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时 (1.4)容易验证0d 满足距离的三个条件，并称之为离散距离，0(,)X d 为离散度量空间．例 1.1.3 连续函数空间[,]C a b[,]{:[,]|}C a b f a b R f =→连续，,[,]f g C a b ∀∈，定义[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-，证明 显然d 满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．(),(),()[,]f t g t h t C a b ∀∈及[,]t a b ∀∈均有|()()||()()||()()|f t h t f t g t g t h t -≤-+-[,][,]max |()()|max |()(|t a b t a b f t g t g t h t ∈∈≤-+-）(,)(,)d f g d g h =+，故[,](,)max |()()|t a b d fh f t h t ∈=-≤(,)(,)d f g d g h +．称([,],)C a b d 为连续函数空间，简记为[,]C a b ．□注5：在[,]C a b 中我们还可以定义如下的距离：1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰．可以验证1d 均满足条件(1)、(2)和(3)，所以1([,],)C a b d 也为一度量空间．例 1.1.4 有界数列空间l∞121{(,,,,)()| sup{||}}n i i i l x x x x x x ∞≥===<∞，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，定义1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-，可以验证d 是一个距离函数，并称(,)ld ∞为有界数列空间，简记为l ∞．例1.1.5p 次幂可和的数列空间p l121{(,,,,)()| ||,1}pp n i i i l x x x x x x p ∞====<∞<<+∞∑(),()p i i x x y y l ∀==∈，定义11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (1.5)(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及pl 的定义知其右端有界．可以证明p d 是一个距离函数．称(,)pp l d 为p 次幂可和的数列空间，简记为pl ．例1.1.6p 次幂可积函数空间[,]p L a b (1)p ≥[,]{()| |()|[a,b]}p p L a b f t f t L =在上可积即：{}[,][,]()||()|p p a b L a b f t f t dt =<+∞⎰在[,]p L a b 中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于,[,]p f g L a b ∈，定义距离1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰那么([,],)pLa b d 为度量空间． 并称([,],)p L a b d 为p 次幂可积函数空间，简记为[,]p L a b ．分析 集合[,]p L a b 具有下列重要性质：(1)对线性运算是封闭的．即若,[,]p f g L a b ∈，α是一常数，则[,],[,]p p f L a b f g L a b α∈+∈．(2)[,][,](1)p L a b L a b p ⊂≥．设[,]p f L a b ∈，令(||1)A E f =≥，(||1),[,]B E f E a b =<=，则||||||baABf dm f dm f dm =+⎰⎰⎰||()p A f dm b a ≤+-⎰||()pbaf dm b a ≤+-<+∞⎰故(,)f L a b ∈．引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设()f x 、()g x 是可测集E 上的可测函数且1k ≥()()()111()()()()kkkkkkEEEf xg x dxf x dxg x dx+≤+⎰⎰⎰(1.6)证明 因为1(,)|()()|ppba d f g f t g t dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()11()()ppppEEf x dxg x dx≤+⎰⎰≤+∞，所以(1.6)式有意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的(),(),()[,]p f x g x z x L a b ∈有1(,)|()()|ppba d f g f t g t dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰1|()()()()|pp b a f t z x z x g t dt ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰()()11()()()()ppppEEf x z x dxz x g x dx≤-+-⎰⎰(,)(,)d f z d z g =+ □上述例子涉及到常用的六个度量空间： n 维欧氏空间(,)n R d ；离散度量空间0(,)X d ；连续函数空间[,]C a b ；有界数列空间l ∞；p次幂可和的数列空间pl；p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d ．1.1.2 度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．定义1.1.2 设(,)X d 是度量空间，,{}n x X x ∈是X 中点列，若lim (,)0n n d x x →∞=， 则称点列{}n x 收敛于x ，称x 为点列{}n x 的极限． 记作lim n n x x →∞=，或()dn x x n →→∞或()n x x n →→∞．{}n x 收敛于x 用“N ε-”语言描述是: 0,N ε∀>∃∈N，当n N >时，恒有(,)n d x x ε<成立． 若点列{}n x 不收敛，则称其发散．□例1.1.7 设X 是实数集，数列1(1,2,)n x n n==．若在X 上定义欧氏距离(,)||(,),d x y x y x y X =-∈显然，数列{}n x 在度量空间(,)X d 中收敛于0．若在X 上定义离散距离00,,(,)(,),1,x y d x y x y X x y=⎧=∈⎨≠⎩则数列{}n x 在度量空间0(,)X d 中是发散的．因为对任意给定的0x X∈， 只要01x n ≠，就有01,1d x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以无论n 多么大，有 001lim ,10,n d x n →∞⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭可见数列{}n x 不收敛于0x ．虽然(,)u X d 与0(,)X d 有共同的基本集X，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一点列{}n x 在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□定义1.1.3 设(,)X d 为度量空间，A X⊂，若将距离限制在A A ⨯上，显然A 也是一个度量空间，称作X 的子空间．若,x X A X∈⊂，则点x 到A 的距离定义为：{}(,)inf (,)y Ad x A d x y ∈= (1.7)集合A 的直径定义为：{},dia sup (,)x y AA d x y ∈= (1.8)若dia A 有限，则称A 为有界集；若dia A =+∞，则称A 为无界集．□在离散度量空间0(,)d R 中点0x A ∉，A ⊂R ，那么0(,)d x A 和dia A 分别是多少？显然(1)当A 是单点集时，有0(,)1d x A =及dia 0A=；(2)当A 不是单点集时，有0(,)1d x A =及dia 1A =．定理1.1.1 极限的性质 设(,)X d 是度量空间， {}n x 是X中的一个点列．（1）若点列{}n x 收敛，则其极限唯一； （2）若点列0()n x x n →→∞，则{}n x 的任何子列0()k n x x k →→∞；（3）若收敛点列{}n x 看作是X 的子集，则它是有界的．证明 （1）设()n x x n →→∞且()n x y n →→∞，由定义知：0,ε∀>N ∃N∈，当n >N 时，有(,),(,)22n n d x x d x y εε<<，故当n >N 时，我们有(,)(,)(,)n n d x y d x x d x y ≤+22εεε<+=．由ε的任意性知，(,)0d x y =，从而x y =．（2）设()n x x n →→∞，{}k n x 是{}n x 的子列．{}n x ： 1234567,,,,,,,,,,n x x x x x x x x{}k n x ：1n x ，2n x ， 3n x ， ,,k n x由定义，0,ε∀>N∃N∈，当n >N 时，有(,)n d x x ε<，由于k >N时，k n k ≥>N，故(,)k n d x x ε<，即()k n x x k →→∞．（3）设0()n x x n →→∞，由定义知：对01ε=，N∃N∈，当n >N时，00(,)1n d x x ε<=．取10200m a x {(,),(,),,(,),1}1M d x x d x x d x x N =+，则n N ∀∈，0(,)n d x x M<，于是,n m N ∀∈，00(,)(,)(,)2n m n m d x x d x x d x x M≤+<．即{}n x 作为点集有界．□例 1.1.8 设{}()n f x 是连续函数空间[,]C a b ([,](,)max|()()|t a b d f g f t g t ∈=-)中的点列，那么 ()()n f x f x ⇒(函数列一致收敛)当且仅当()()n f x f x →(度量空间中的点列收敛)．证明()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε∀>N ∃N∈，当n >N 时，有((),())n d f x f x ε<．其中((),())n d f x f x ε<，等价于[,](,)max |()()|n n x a b d f f f x f x ε∈=-<．进一步等价于[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<．于是()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε∀>N∃N ∈，当n >N时，[,]x a b ∀∈，有|()()|n f x f x ε-<，即()()n f x f x ⇒．□例1.1.9 设(,)d x y 是X 上的一个距离，则1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离．证明 显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于(,)d x y 是X上的距离，所以,,x y z X∀∈，有(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+． 又知函数()1t f t t =+21(()0)(1)'f t t =>+为单调递增函数，于是1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+(,)(,)1(,)(,)d x z d z y d x z d z y +≤++ (()f t 单调递增)(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)d x z d z y d x z d z y d x z d z y =+++++(,)(,)1(,)1(,)d x z d z y d x z d z y ≤+++ 11(,)(,)d x z d z y =+ 因此1(,)d x y 是X上的距离． □。
