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极限的性质和存在性的证明极限是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
在数学中，极限可以精确地定义为当自变量趋于某个特定值时，函数取得的值趋于某个确定的值。
为了更深入理解极限的性质和存在性，我们将从两个方面展开讨论，分别是极限的性质和极限的存在性的证明。
一、极限的性质1. 有界性：如果函数在某个点附近具有极限，那么它在这个点附近必然是有界的。
具体而言，如果函数极限存在，则必然存在一个包含该点的区间，在这个区间内函数取值有上界和下界。
证明：设函数f(x)在点x=a处有极限L，即limₓ→a f(x) = L。
我们取一个正数ε，根据极限的定义，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
因此，当0<|x-a|<δ时，有 |f(x)| = |f(x)-L+L| ≤ |f(x)-L|+|L| < ε+|L|，所以函数在点x=a处有界。
2. 唯一性：如果函数在某个点附近具有极限，那么极限是唯一的。
换句话说，如果函数在点x=a处的两个极限存在并且不相等，那么这个函数在x=a处的极限不存在。
证明：假设函数f(x)在点x=a处有两个极限L₁和L₂，并且L₁≠L₂。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε₁和ε₂，存在正数δ₁和δ₂，使得当0<|x-a|<δ₁时，有|f(x)-L₁|<ε₁；当0<|x-a|<δ₂时，有|f(x)-L₂|<ε₂。
那么我们可以取一个正数δ=min(δ₁,δ₂)，则当0<|x-a|<δ时，上面两个不等式同时成立，即|f(x)-L₁|<ε₁且 |f(x)-L₂|<ε₂。
然而，这是不可能的，因为根据三角不等式，上述两个不等式的和不可能小于两个正数ε₁和ε₂之和。
因此，假设不成立，可得函数在x=a处的极限是唯一的。
二、极限的存在性的证明要证明一个函数在某个点处存在极限，有多种方法。
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
函数极限的证明(精选多的篇)
函数极限的证明是数学分析中一个重要的内容，它能够让我们更好地理解函数的性质和特征。
通过证明函数极限可以更加深入地了解函数的行为，使我们能够正确应用函数来解决问题。
函数极限的证明可以从不同的角度来看，最常见的是从定义上来看。
它定义为：对于给定函数f(x)，当x的取值趋近于某一特定的数值a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数f(x)在x=a处的极限。
换句话说，就是函数f(x)的值在x取值不断靠近a 时，其值也会靠近某一特定的数值L，L就是函数f(x)在x=a处的极限。
为了证明函数极限，首先要引入极限定义，即当x取值趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数
f(x)在x=a处的极限。
然后，根据极限定义，可以将函数f(x)分成两部分：
1. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值小于极限L；
2. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值大于极限L。
然后，对于第一部分，可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然小于极限L，从而证明函数
f(x)在x=a处的极限L。
而第二部分，则可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然大于极限L，从而证明函数f(x)在x=a处的极限L。
最后，根据以上两个部分，可以得出结论：函数f(x)在x=a处的极限L是有效的，即函数f(x)的值在x取值趋近于a时，其值也会靠近某一特定的数值L。
函数极限的证明是一个简单而又实用的数学技术，它能够让我们更好地了解函数的性质和特征，使我们能够正确应用函数来解决问题。
极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
函数极限的定义证明第一篇：函数极限的定义证明习题1-31.根据函数极限的定义证明:(1)lim(3x-1)=8;x→3(2)lim(5x+2)=12;x→2x2-4=-4;(3)limx→-2x+21-4x3(4)lim=2.x→-2x+121证明(1)分析 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 要使|(3x-1)-8|<ε , 只须|x-3|<ε.31证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-3|<δ时, 有|(3x-1)-8|<ε, 所以lim(3x-1)=8.x→331(2)分析|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 要使|(5x+2)-12|<ε, 只须|x-2|<ε.51证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-2|<δ时, 有|(5x+2)-12|<ε , 所以lim(5x+2)=12.x→25(3)分析|x-(-2)|<ε.x2-4x2+4x+4x2-4-(-4)==|x+2|=|x-(-2)|, 要使-(-4)<ε, 只须x+2x+2x+2x2-4x2-4-(-4)<ε, 所以lim=-4.证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-(-2)|<δ时, 有x→-2x+2x+2(4)分析1-4x3111-4x31-2<ε, 只须|x-(-)|<ε.-2=|1-2x-2|=2|x-(-)|, 要使2x+12x+12221-4x3111-4x3-2<ε, 所以lim证明因为∀ε>0, ∃δ=ε, 当0<|x-(-)|<δ时, 有=2.12x+12x+122x→-2.根据函数极限的定义证明:(1)lim1+x32x3sinxx→∞=1;2(2)limx→+∞x=0.证明(1)分析|x|>11+x32x311+x3-x3-=22x3=12|x|3, 要使1+x32x3-11<ε, 只须<ε, 即322|x|2ε.证明因为∀ε>0, ∃X=(2)分析sinxx-0=12ε, 当|x|>X时, 有1x1+x32x311+x31-<ε, 所以lim=.x→∞2x3221x<ε, 即x>sinxx|sinx|x≤, 要使sinx证明因为∀ε>0, ∃X=ε2, 当x>X时, 有xsinxx-0<ε, 只须ε.-0<ε, 所以limx→+∞=0.3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少, 使当|x-2|解由于x→2, |x-2|→0, 不妨设|x-2|<1, 即1<x<3.要使|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001, 只要|x-2|<0.001=0.0002, 取δ=0.0002, 则当0<|x-2|<δ时, 就有|x2-4|<0.001.5x2-1x+34.当x→∞时, y=x2-1x2+3→1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01?解要使-1=4x2+3<0.01, 只|x|>-3=397, X=.0.015.证明函数f(x)=|x| 当x→0时极限为零.x|x|6.求f(x)=, ϕ(x)=当x→0时的左﹑右极限, 并说明它们在x→0时的极限是否存在.xx证明因为xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0-x→0-xx→0-xlimf(x)=lim=lim1=1,x→0+x→0+xx→0+limf(x)=limf(x),-+x→0x→0所以极限limf(x)存在.x→0因为limϕ(x)=lim--x→0x→0|x|-x=lim=-1,-x→0xx|x|x=lim=1,xx→0+xlimϕ(x)=lim++x→0x→0limϕ(x)≠limϕ(x),-+x→0x→0所以极限limϕ(x)不存在.x→07.证明: 若x→+∞及x→-∞时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)=A.x→∞证明因为limf(x)=A, limf(x)=A, 所以∀ε>0,x→-∞∃X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|<ε;∃X2>0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|<ε.取X=max{X1, X2}, 则当|x|>X时, 有|f(x)-A|<ε, 即limf(x)=A.x→∞8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)→A(x→x0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0|f(x)-A||f(x)-A|0,∃δ1>0, 使当x0-δ10, 使当x0| f(x)-A|证明设f(x)→A(x→∞),则对于ε=1,∃X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε=1.所以|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A|<1+|A|.这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M,其中M=1+|A|.第二篇：利用函数极限定义证明11习题2-21.利用函数极限定义证明:(3).limxsinx→01x=0;x|≤1，则当 0<|x|<δ时, 有证明: 对于任意给定的正数ε>0, 取δ=ε, 因为 |sinx1x1xxsin=|x|sin≤|x|<ε，所以limxsinx→0=0.2．利用无穷大量定义证明：（1）lim1+x4x→∞=∞；1+x4证明：对于任意给定的正数 G>0, 取 M=4G+1, 则当 |x|>M 时, 有|所以 lim1+x4=∞.|>G，x→∞5．证明：若limf(x)=A，则lim|f(x)|=|A|.x→x0x→x0证明：对于任意给定的正数ε>0, 由于limf(x)=A，存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时, 都有|f(x)-A|<ε，而-ε<-|f(x)-A|≤|f|-|A|≤|f-A|<ε，即||f(x)|-|A||<ε，所以lim|f(x)|=|A|.x→x0第三篇：用定义证明函数极限方法总结144163369.doc用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式limf(x)=c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节x→a不同。
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第二篇：函数极限证明函数极限证明记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。
极限证明(精选多的篇)
一、极限证明
极限证明是一种数学方法，用来确定一个函数的一个特定的值，在一个字面上的极限条件下成立。
它主要是比较一个连续函数在定义域和像素点的抵消及取值之间的关系，以便进行该函数的有限的趋向，从而了解该函数的表现趋势。
因此，极限证明的作用，是用来显示一个特定的函数给定条件下的最终值，以便确定该函数最终得到的值。
一般来说，极限证明是一种在数据和机器证明之间某种平衡而不受某些不明显结果问题的情况下，消去无穷极限的计算过程。
关于极限的证明过程，常常会开始选取被证明的函数，然后定义一组该函数的独立变量及相应的约束条件。
下一步是在所有约束条件下，计算该函数的取值范围，以便在该取值范围内最终达到一个无穷极限。
它也可以用来找到函数的解析解。
函数极限的性质证明函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会|xn+1-a|<|xn-a|/a以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a;|x2-a|<|x1-a|/a;向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：(1)lim=0n→∞(2)lim=3/2n→∞(3)lim=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第二篇：函数极限的性质§3.2 函数极限的性质§2函数极限的性质ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.ⅱ. 教学重点与难点:重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.ⅲ. 讲授内容在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???f?x?；6)limf?x?。
4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的． x?x0证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有f?x????? ，(1)当0?x?x0??2时有f?x????? ，(2)取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.定理3。
3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界． x?x0证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有x?x0f?x????1?f?x???1这就证明了f在u0?x0;??内有界．定理3．4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0)，则对任何正数r??（或x?x0r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有f?x??r?0（或f?x???r?0）证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切x?u0?x0;??f?x??????r，这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??有f?x??g?x?则limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0得当0?x?x0??1时有????f?x?，当0?x?x0??2 时有g?x?????令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有????f?x??g?x?????从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有x?x0x?x0????f?x??则limh?x???． x?x0h?x??g?x?证按假设，对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有，2????f?x?(7)当0?x?x0??2时有g?x?????(8)令??min?,?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有????f?x??h?x??g?x?????由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?定理3．7（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0f?g,f?g当x?x0时极限也存在，且1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0又若limg?x??0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x03）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．例 1求limx??x?0?x?解当x?0时有1?x?x???1， ?x??1? ?1??1?x?1?故由迫敛性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?另一方面，当x?0有1?x???1?x，故又由迫敛性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?综上，我们求得lim x???1 x?0?x?3 ?1??1??1??1?例 2求lim?xtanx?1?x??解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx sixn?si?limx???442?limcoxs， ?2x?4并按四则运算法则有limsinx?xtanx?1?=limx?limx?x??4?4x??4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??解当x?1?0时有?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的极限等于x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim例4证明lima?1?a?1? xx?0证任给??0 (不妨设??1)，为使xa?1??（9）即1???a?1??，利用对数函数logaloga?1????x?loga?1???于是，令x（当a?1时）的严格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，则当0?x??时，就有(9)式成立，从而证得结论．ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.ⅴ 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9.第三篇：§2函数极限的性质《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院§2 函数极限的性质教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：引言在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5、limf(x)；6、limf(x).x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至x?x0于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质1（唯一性）如果x?alimf(x)x?alimf(x)存在，则必定唯一. 证法一设?a，x?alimf(x)?b,则???0,??1?0,当0?|x?a|??1时，|f(x)?a|??,(1)??2?0,当0?|x?a|??2时，|f(x)?b|??.(2)??min??1,?2?取因而有，则当0?x?a??时（1）和（2）同时成立.a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)由?的任意性，（3）式只有当a?b?0时，即a?b时才成立.a?b2证法二反证,如x?a0?x?a??limf(x)?a，x?alimf(x)?b且a?b，取?0?，则???0，使当时，f(x)?a??0,f(x)?b??0即a?b2?a??0?f(x)?b??0?a?b2矛盾.性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.x?x0limf(x)?a??1x?x0证明取, 由 , ???0, 当0?x?x0??时, 有f(x)?a?1,即f(x)?a?f(x)?a?a?1a?1说明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一个界.limf(x)?bx?a性质3（保序性）设，x?alimg(x)?c0?x?a??0???01）若b?c，则0，当时有f(x)?g(x)；0?x?a??02）若??0?0，当时有f(x)?g(x)，则b?c.（保不等式性）证明1）取?0?b?c2即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中, 改“f(x)?g(x)”为“f(x)?g(x)”,未必就有a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0举例说明.推论（局部保号性）如果x?a号.limf(x)?b0?x?a??0???0且b?0，则0使当时f(x)与b同性质4（迫敛性）设limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)内有f(x)?g(x)?h(x)，x?x0x?x0则limh(x)?a.x?x0证明???0, 由x?xlimh(x)?alimf(x)?a，??1?0，使得当0?x?x0??1时，有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由x?x0，??2?0，使得当0?x?x0??2时，有h(x)?a??，即a???h(x)?a??.令??min(?1,?2)，则当0?x?x0??时，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??limg(x)?a即g(x)?a??，故 x?x.性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数f?g,fg当x?x0时极限x?x0x?x0也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0又若limg(x)?0，则x?x0fg当x?x0时极限也存在，且有 3）lim f(x)g(x)x?x0x?x0limf(x)x?x0limg(x)3）的证明只要证有x?x0lim1g(x)b21b，令?0?b2?0，由x?x0limg(x)?bb20?x?x0??1，??1?0使得当时，b2g(x)?b?，即g(x)?b?g(x)?b?b??g(x)?b?b2???0,仍然由x?x0limg(x)?b??2?0, 使得当0?x?x0??2时，，有0?x?x0??取??min(?1,?2)，则当时，有1g(x)?1b?g(x)?bg(x)b2bg(x)?b?2bb2即x?x0lim1g(x)1b.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;x?x0x?x0x?x0x?x0lim1xx???0,limarctgx??x???.（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx??.x?0?x??1?例2 求lim?(xtgx?1).x?例3 求lim(1x??1x?13x3?1例4lim5x?3x?73x3?2x2?5x??注关于x的有理分式当x??时的极限.参阅[4]p37. 7 例5limx?1nx10利用公式x?1?1.[a?1?(a?1)(an?1?an?2???a?1)例6limx?2x?2?1x?1x2例7lim2x?3x?1x???3x?5例8limxsin(2x?x?10)3?2xx??例9lim?x?1.x?0?x?1例10已知 limx?16?a参阅[4]p69.x?3x?3?b.求 a和b.作业教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2 补充题已知limx?ax?b7.求a和b.(a??16x?2x2?4?b?3203例11lim??2?x2?ax?b???0.x????1?x?求a和b. ?2解法一2?x?ax?ax1?x?ax?2?x1?x?(a?1)x2?ax?21?x?b,(x??).?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.解法二2?x21?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b??，?x?x2x? 由x??且原式极限存在(本文来自好)， ??2?x2x?x?a?bx?0，即 a?lim??2?x2?b????1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??第四篇：2 函数极限的性质§2 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）；2）；3）；4）；5）；6）。
