山东省威海市2016届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则∁R A∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）2．（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1 C．i+1 D．﹣i﹣13．若，且α是第二象限角，则的值等于（）A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．15．一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回归方程，则m的值为（）x 16 17 18 19y 50 34 m 31A．39 B．40 C．41 D．426．执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．97．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．B．C．D．9．已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r10．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分．11．设，若与2+共线，则k=．12．若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域为．13．设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围．14．以下四个命题：①∃x0∈R，使；②若x≠kπ（k∈Z），则；③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④函数y=x3+2e x在x=1处的切线过（0，﹣2）点．其中真命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）．15．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015秋威海期末）已知向量，，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．17．（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示．规定年龄[25，40）的为青年教师，年龄[40，50）为中年教师，年龄在[50，60）为老年教师．（I）求年龄[30，35）、[40，45）的教师人数；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在[35，40）的人数．（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率．18．（12分）（2015秋威海期末）等比数列{a n}满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为{b n}的前n项和，求使成立时n 的最小值．19．（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．20．（13分）（2015秋威海期末）设函数．（I）若m=﹣1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数．21．（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求出椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立．2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠0）}，则∁R A∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B 的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：log2（x﹣4）≤0=log21，即0＜x﹣4≤1，解得：4＜x≤5，即A=（4，5]，∴∁R A=（﹣∞，4]∪（5，+∞），由B中y=a x+1＞1，得到B=（1，+∞），则∁R A∩B=（1，4]∪（5，+∞），故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016沈阳校级一模）i是虚数单位，复数2i=z（﹣1+i），则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1 C．i+1 D．﹣i﹣1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z后得答案．【解答】解：由2i=z（﹣1+i），得，∴z的共轭复数是i+1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．若，且α是第二象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值、再利用两角差的正切公式求得要求式子的值．【解答】解：若，且α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα=﹣，则==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．1【分析】几何体为四棱柱，底面为直角梯形，代入体积公式即可．【解答】解：由三视图可知几何体为直四棱柱，棱柱的底面为直角梯形，上下底分别为1，2，高为1，棱柱的高为2，∴棱柱的体积V=×（1+2）×1×2=3．故选A．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和三视图，棱柱的体积计算，属于基础题．5．一次实验中测得（x，y）的四组数值如图所示，若根据该表的回归方程，则m的值为（）x 16 17 18 19y 50 34 m 31 A．39 B．40 C．41 D．42【分析】求出代入回归方程解出m．【解答】解：==17.5，==，∴=﹣5×17.5+126.5，解得m=41．故选C．【点评】本题考查了线性回归方程与数据的关系，属于基础题．6．执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】模拟执行程序框图，可得S=1++++…+=．利用等比数列的求和公式解得p的值为8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1++++…+==．解得：p=8．故当p=8时，n=8＜p，不成立，退出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，利用等比数列的求和公式解得p的值是解题的关键，属于基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若m∥α，l⊥α，则l⊥m；反之不成立，可能l与α平行或相交．即可判断出结论．【解答】解：若m∥α，l⊥α，则l⊥m；反之不成立，可能l与α平行或相交．因此l⊥m是l⊥α的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】求得抛物线的焦点F（0，2），可得c=2，求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b，求得a，进而得到双曲线的方程．【解答】解：抛物线，即x2=8y的焦点F（0，2），即有双曲线的c=2，双曲线的渐近线方程为y=±x，可得F到渐近线的距离为d==b=，即有a===1，则双曲线的方程为y2﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．9．已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r【分析】由题意可得p=，q=＞=p，r=（2a+2b）＞，可得大小关系．【解答】解：∵f（x）=2x，a＞b＞0，∴p=，q=＞=p，r=（2a+2b）＞，∴p＜q＜r，故选：D．【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8【分析】由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1，利用=|2+|≤|2|+||，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分．11．设，若与2+共线，则k=﹣．【分析】由题意和向量共线可得a的方程，解方程可得．【解答】解：∵，∴2+=（5，4+k），∵与2+共线，∴3（4+k）﹣2×5=0，解得k=﹣故答案为：﹣【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．12．若函数的图象过点（1，2），则函数f（x）的值域为（﹣∞，log2]．【分析】把（1，2）代入f（x）求出a，得到f（x）的解析式，判断真数的取值范围，根据对数函数的单调性得出f（x）的最值，得到值域．【解答】解：f（1）=log2（﹣1+a）=2，解得a=5．∴f（x）=log2（﹣x2+5x）．由f（x）有意义得﹣x2+5x＞0，又∵﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+≤，∴0＜﹣x2+5x≤．∴f（x）≤log2，故答案为（﹣∞，log2]．【点评】本题考查了对数函数的性质，二次不等式的解法，属于中档题．13．设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围[，]．【分析】作出可行域，先由线性规划求出t=x﹣2y的取值范围，再求指数可得．【解答】解：解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），令t=x﹣2y，则可得y=x﹣t，平移直线y=x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，t取最大值，当直线经过点B时，直线的截距最大，t取最小值，解方程组可得A（，），同理可得B（2，2），代入计算可得t的最大值为，最小值为﹣2，∴z=2x﹣2y的取值范围为[，]故答案为：[，]【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．14．以下四个命题：①∃x0∈R，使；②若x≠kπ（k∈Z），则；③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④函数y=x3+2e x在x=1处的切线过（0，﹣2）点．其中真命题的序号是③④（把你认为正确的命题的序号都填上）．【分析】①根据特称命题结合对数函数的性质进行判断．②根据基本不等式的性质和条件进行判断．③根据复合命题真假关系进行判断．④根据导数的几何意义进行判断．【解答】解：①∵x2+1≥1，∴ln（x2+1）≥ln1=0，则∃x0∈R，使错误，故①错误；②当x=﹣，满足x≠kπ（k∈Z），但sinx+=﹣=﹣=﹣，则错误，故②错误；③若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，则命题q一定是真命题，成立，故③正确；④当x=1时，y=1+2e，即切点坐标为（1，1+2e），函数y=x3+2e x在x=1处的导数f′（x）=3x2+2e x，则f′（1）=3+2e，则切线方程为y﹣（1+2e）=（3+2e）（x﹣1），即y=（3+2e）x﹣3﹣2e+1+2e=（3+2e）x﹣2，则当x=0时，y=﹣2，即此时切线过（0，﹣2）点．故④正确，故答案为：③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数，不等式以及导数的内容，综合性较强，难度中等．15．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为（45，40）．【分析】观察图乙找出每行数字的规律，即可使用数列知识解出．【解答】解：观察图乙可发现以下规律：（1）第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，…故可归纳得出第i行有i个数字；（2）每一行的数字从左到右都是等差为2的等差数列；（3）每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；（4）每一行的最后一个数字都是该行数的平方．∵442=1936＜2015，452=2025＞2015，∴2015是第45行的数字，设第45行第n个数字为a n，则a1=1937，d=2，∴a n=1937+2（n﹣1）=2n+1935．令a n=2n+1935=2015，解得n=40．∴2015是第45行第40个数字，故答案为（45，40）．【点评】本题考查了归纳推理，寻找图中数字的规律是解题的关键．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015秋威海期末）已知向量，，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的余弦函数公式化简，得到﹣cos2C 等于﹣cosC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（Ⅱ）利用已知及三角形面积公式可求ab=60，结合已知利用余弦定理即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC，∴﹣cos2C=﹣cosC，整理可得：2cos2C﹣cosC﹣1=0，∴cosC=﹣或1，∵C∈（0，π），∴C=…6分（Ⅱ）S△ABC=absinC=absin=15，∴ab=60，a+b=2c，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab（1+cosC）=20，∴解得：c=2…12分【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（12分）（2015秋威海期末）某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示．规定年龄[25，40）的为青年教师，年龄[40，50）为中年教师，年龄在[50，60）为老年教师．（I）求年龄[30，35）、[40，45）的教师人数；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在[35，40）的人数．（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率．【分析】（I）根据频率=，求出对应的频率与频数；（Ⅱ）根据分层抽样原理，计算出从中青年教师中抽取的18人年龄在[35，40）中的人数；（Ⅲ）利用列举法求出从7名教师中随机选取2名的可能情况，计算甲、乙至少有1名作总结交流的概率．【解答】解：（I）年龄在[40，45）的教师人数为1000×0.04×5=200人；年龄在[30，35）的教师频率为[1﹣（0.07+0.04+0.03）×5]=0.15年龄在[30，35）的教师人数为1000×0.15=150人；（Ⅱ）中青年教师共有1000×（1﹣0.02×5）=900，其中年龄在[35，40）中有1000×0.07×5=350人，设抽取的18人年龄在[35，40）中的有x人，则18：900=x：350，解得x=7；（Ⅲ）中年教师共350人，所以抽出的18人中，中年教师有7人，不妨设7名教师分别为甲、乙、A、B、C、D、E，从7人中随机选取2名教师的可能情况有甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，甲E，乙A，乙B，乙C，乙D，乙E，AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共21种，其中甲乙至少有1人有11种情况，所以抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率为．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．（12分）（2015秋威海期末）等比数列{a n}满足a6=a2a4，且a2为2a1与的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为{b n}的前n项和，求使成立时n 的最小值．【分析】（I）通过设数列{a n}的公比为q，利用a6=a2a4化简可知a1=q，利用a2为2a1与的等差中项可知q=2，进而可得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知b n=﹣，进而并项相加可知T n=1﹣，问题转化为1﹣＞1﹣，比较即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的公比为q，由a6=a2a4可知a1a5=a1qa1qq3，解得：a1=q，又∵a2为2a1与的等差中项，∴2a1+a3=2a2，解得q=2，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，故其通项公式a n=2n；（Ⅱ）由（I）可知==﹣，∴T n=﹣+﹣+…+﹣=1﹣，要使，即1﹣＞1﹣，∴2n+1＞2017，n+1≥11，∴n的最小值为10．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（13分）（2015秋威海期末）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．【分析】（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，由P，M分别为D1D，A1A的中点，可得PM∥BC，由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，可得PQ=BM，在Rt△BAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值．（Ⅱ）先证明AA1⊥BC，AB⊥BC，即可证明AB1⊥BC，利用△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，从而可判定AB1⊥面PBC．【解答】（本题满分为12分）解：（I）取AA1的中点M，连接BM，PM，∵P，M分别为D1D，A1A的中点，∴PM∥AD，∴PM∥BC，∴PMBC四点共面，…2分由PQ∥面A1ABB1，可得PQ∥BM，∴PMBQ为平行四边形，PQ=BM，…4分在Rt△BAM中，BM==2．可得：PQ=BM=2．…6分（Ⅱ）AA1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∴BC⊥面AA1BB1，∵AB1⊂面AA1BB1，∴AB1⊥BC，…8分通过△ABM≌△A1B1A，可得：AB1⊥BM，…10分∵BM∩BC=B，∴AB1⊥面PBC．…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．20．（13分）（2015秋威海期末）设函数．（I）若m=﹣1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）将m=﹣1，n=3代入f（x），求出f（x）的导数，得到函数的单调区间；（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围判断函数的极大值的情况，进而判断出m的范围；（Ⅲ）先求出f（x）max=f（2）=2ln2+2m﹣2，通过讨论m的范围去掉函数的零点问题．【解答】解：（Ⅰ）由m=﹣1，n=3，得：f（x）=2lnx+x2﹣3x，（x＞0），f′（x）=，（x＞0），∴x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减；（Ⅱ）f′（x）=﹣mx﹣n，（x＞0），由已知得f′（2）=0，整理得2m+n=1，∴f′（x）=，m≥0时，﹣mx﹣1＜0恒成立，x＞2时，f′（x）＜0，0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在x=2处取得极大值，满足题意，m＜0时，令f′（x）=0，解得：x=2或x=﹣，要使f（x）在x=2处取得极大值，只需﹣＞2，解得：﹣＜m＜0，综上，m＞﹣时，f（x）在x=2处取得极大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，f（x）max=f（2）=2ln2+2m﹣2，当f（2）＞0即m＞1﹣ln2时，f（x）有2个零点，当f（2）=0即m=1﹣ln2时，f（x）有1个零点，当f（2）＜0即m＜1﹣ln2时，f（x）没有零点，当﹣＜m＜0时，f（x）在（0，2），（﹣，+∞）递增，在（2，﹣）递减，f（2）＜0，f（x）至多1个零点，法一：在（﹣，+∞）取一点x=4﹣=，代入f（x）得：f（4﹣）=2ln（4﹣）﹣m+（2m﹣2）=2ln（4﹣）＞0，f（x）在（﹣，+∞）上必有1个零点，法二：y=2lnx在（0，+∞）递增，y=﹣mx2﹣（1﹣2m）x是开口向上的二次函数，∴f（x）在（﹣，+∞）上必有正值，即f（x）在（﹣，+∞）上必有1个零点，综上，m＞1﹣ln2时，f（x）有2个零点，m=1﹣ln2或﹣＜m＜0时，f（x）有1个零点，0≤m＜1﹣ln2时，f（x）没有零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．21．（13分）（2015秋威海期末）已知椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求出椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，恒成立．【分析】（Ⅰ）由已知得e==，b2=2，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，与椭圆联立得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用韦达定理，能求出直线l的方程．（ii）当直线l与x垂直时，，对于任意直线l，欲证明恒成立．只需证明：k QB+k QA=0．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且，∴e==，∴a=，又C（0，b），D（0，﹣b），∴b2=2，∴a=2，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，=，=，，不符合题意，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由韦达定理得，，由，得，∴，代入韦达定理，整理得，，解得，∴k=，∴直线l的方程为．证明：（ii）当直线l与x垂直时，，∴命题成立．下面证明对任意斜率存在的直线l，均有=，即证：y轴为∠AQB的角平分线所在直线，只需证明：k QB+k QA=0=，==k﹣，∴=2k﹣，由（1）中韦达定理得=2k，∴k QB+k QA=2k﹣2k=0，∴对任意直线l，恒成立．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查两组线段比值相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。

2016年威海市高考模拟考试文科综合本试题卷共15页，48题(含选考题)。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷本卷共35小题。

每小题4分，共140分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

城市风道，又称为城市通风廊道。

图1为北京市未来规划的6条城市风道。

读图，回答1～3题。

1．北京城市风道建设的主要目的是A．缓解交通拥堵B．分散城市职能C．缓解雾霾天气D．合理利用土地2．与城市风道设计相关度较低的因素是A．盛行风向B．建筑物高度C．城郊热岛环流D．人口密度3．关于图中北京部分城市风道的说法正确的是A．①风道的东南方向可建化工厂B．②风道主要沿绿地、公园、河湖布局C．③风道需大量拆迁高大建筑物D．④风道不利于保护故宫极地涡旋(简称“极涡”)是指通常盘踞在极地高空的冷性大型涡旋，其位置、强度、移动对极地及高纬地区的天气影响明显。

2015年12月底，一个位于冰岛的强大风暴将北大西洋热量带向北极，迫使北极“极涡”离开极地，携带冷空气南下，造成我国大部分地区1月中下旬爆发极其罕见的超强寒潮。

图2为2016年1月2 3日北极“极涡”位置示意图。

据此完成4~6题。

4．极地涡旋的形成原因是A．冰岛低压北上，极地气流上升B．北极地区海域广阔，形成热低压C．接受太阳辐射热量少，气流下沉D．来自副极地上空的气流，在此下沉5．图示时刻，甲地高空的风向是A．东风B．东北风C．西南风D．西风6．此次“极涡”南下，说明了A．全球气候开始变冷B．厄尔尼诺现象对地球的影响变小C．西伯利亚地区不是我国冬季冷空气的唯一来源D．寒带的范围变大甘肃省是我国重要的农产品基地，其农产品种类多、品质好。

山东省威海市高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·金山期中) 已知全集U=R，若集合A={y|y=3﹣2﹣x}，B={x| ≤0}，则A∩∁UB=（）A . （﹣∞，0）∪[2，3）B . （﹣∞，0]∪（2，3）C . [0，2）D . [0，3）2. （2分） (2017高二上·清城期末) i是虚数单位，复数 =（）A . 1﹣iB . ﹣1+iC . + iD . ﹣ + i3. （2分） (2016高二上·曲周期中) 在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）A . 充分非必要条件B . 充要条件C . 充分不必要条件D . 必要不充分条件4. （2分） (2018高二下·普宁月考) 抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 47. （2分）设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值分别为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·安顺月考) 执行下面的程序框图，若输入的，则输出的的值为（）A . 7B . -17C . 31D . -659. （2分）(2015·河北模拟) 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）= ，则g[f （﹣8）]=（）A . ﹣1B . ﹣2C . 1D . 210. （2分） (2016高三上·台州期末) 在边长为1的正三角形ABC中，设D，E分别为AB，AC的中点，则• =（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . 011. （2分） (2016高三上·平湖期中) 已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为π的偶函数D . 最小正周期为的偶函数12. （2分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A . f（1）+f（3）≤2f（2）B . f（1）+f（3）≥2f（2）C . f（1）+f（3）＜2f（2）D . f（1）+f（3）＞2f（2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 双曲线的左右焦点分别是F1 ， F2 ，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F1A垂直F2A，且，则双曲线的离心率=________．14. （1分）设正项等比数列{an}首项a1=2，前n项和为Sn ，且满足2a3+S2=4，则满足＜＜的最大正整数n的值为________．15. （1分） (2018高二下·海安月考) 平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为________．16. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O 的表面积为________．三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2018高一上·长安期末) 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．（1）求的最大值；（2）若，求的值．18. （15分） (2018高二下·通许期末) 某市调研考试后，某校对甲，乙两个文科班的数学考试成绩进行分析规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀。

2016年山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．[﹣2，1）B．（1，+∞）C．（1，2]D．（2，+∞）2．已知复数z1、z2在复平面内对应的点分别为A（1，﹣1）、B（3，1），则=（）A．1+2i B．2+i C．1+3i D．3+i3．已知命题p：∀x∈（0，π），x＞sinx．则下列说法正确的是（）A．命题p为假命题；￢p：∃x∈（0，π），x＞sinxB．命题p为假命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sinxC．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sinxD．命题p为真命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sinx4．已知向量，，，若，则x=（）A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．D．5．已知指数函数y=f（x）的图象过点P（3，27），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f （x）＞81的概率为（）A．B．C．D．6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．B．C．D．7．函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知x，y满足，z=2x+y的最大值为m，若正数a，b满足4a+b=m，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，若△AOB为直角三角形，则点M（m，n）到点P（﹣2，0）、Q（2，0）的距离之和（）A．最大值为6B．最小值为3 C．是一个常数4D．是一个常数410．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2]C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=_______．12．已知离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为_______．13．2016年2月，某品牌汽车对某地区的八家4S店该月的销售量进行了统计，统计数据如茎叶图所示，由于工作人员失误不慎丢掉两个数据，已知这些数据的平均数与方差分别为293与33.5，则残缺的两个数字中较小的数字为_______．14．如图，若n=4时，则输出的结果为_______．15．对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b=a（a﹣b），a⊗b=b（a+b）．则下列判断正确的是_______．①2016⊕2017=2017；②（x+1）⊕1=1⊗x；③f（x）=x⊗（x⊕1）的零点为1，；④a⊕b=b⊕a的必要不充分条件是a=b；⑤a⊗b=b⊗a的充要条件是a⊕b=b⊕a．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，，．（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；（Ⅱ）已知函数f（x）=sinBsinπx﹣cosBcosπx，把函数y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）（x∈[0，2]）上的单调递增区间．17．2016年1月，微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数，由此引发微友们在圈中抢红包大战．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与2人进行交谈，求所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率．参考数据与公式：，其中n=a+b+c+d．PAB⊥底面ABCD，其中PA=PB，四边形ABCD 是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；（Ⅱ）证明：平面MNC⊥平面ABCD．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n+1﹣S n=0，且a1=1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．20．已知函数（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C相交于M、N两点，（ⅰ）若，m∈（﹣1，1），Q（﹣2m，0），证明：|QM|2+|QN|2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆经过点O，求实数m的取值范围．2016年山东省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．[﹣2，1）B．（1，+∞）C．（1，2]D．（2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A、B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]，由B中不等式解得：x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：C．2．已知复数z1、z2在复平面内对应的点分别为A（1，﹣1）、B（3，1），则=（）A．1+2i B．2+i C．1+3i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数=，则答案可求．【解答】解：复数z1、z2在复平面上对应的点分别为A（1，﹣1）、B（3，1），则==．故选：A．3．已知命题p：∀x∈（0，π），x＞sinx．则下列说法正确的是（）A．命题p为假命题；￢p：∃x∈（0，π），x＞sinxB．命题p为假命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sinxC．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sinxD．命题p为真命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sinx【考点】命题的否定．【分析】判断命题的真假，利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：：∀x∈（0，π），x＞sinx．是真命题，因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈（0，π），x＞sinx．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sinx故选：C．4．已知向量，，，若，则x=（）A ．2或﹣4B ．﹣2或4C ．D ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求方程的解即可．【解答】解：向量，，，∴﹣=（﹣2，2﹣x ），又， ∴﹣2×4﹣x （2﹣x ）=0，整理得x 2﹣2x ﹣8=0，解得x=﹣2或x=4．故选：B ．5．已知指数函数y=f （x ）的图象过点P （3，27），则在（0，10]内任取一个实数x ，使得f （x ）＞81的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】设函数f （x ）=a x ，a ＞0 且a ≠1，把点（3，27），求得a 的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案【解答】解：设函数f （x ）=a x ，a ＞0 且a ≠1，把点（3，27），代入可得 a 3=27，解得a=3，∴f （x ）=3x ．又∵x ∈（0，10]，若f （x ）＞81，则x ∈（4，10]，∴f （x ）＞81的概率P==，故选：D ．6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）．【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）．∴该几何体的体积=+=．故选：D．7．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域，奇偶性，以及函数值的变化趋势，即可判断．【解答】解：∵＞0，∴x＞1或x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵g（x）=ln，∴g（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∵y=cosx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，当x→+∞时，g（x）→0，∴f（x）→1，故选：C．8．已知x，y满足，z=2x+y的最大值为m，若正数a，b满足4a+b=m，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m，再利用基本不等式求得最值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，A（3，0），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3=6．即4a+b=6，，则=（）（）==．当且仅当，即b=2a，也就是a=1，b=2时取等号．故选：B．9．已知直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，若△AOB为直角三角形，则点M（m，n）到点P（﹣2，0）、Q（2，0）的距离之和（）A．最大值为6B．最小值为3 C．是一个常数4D．是一个常数4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意求出弦长|AB，由点到直线的距离公式表示出圆心到直线ax+by=1的距离，根据弦长公式列出方程并化简，即可求出点M的轨迹方程和轨迹，根据椭圆的性质和定义可得答案．【解答】解：∵△AOB是直角三角形，且|OA|=|OB|=1，∴∠AOB=90°，|AB|=，∵圆心（0，0）到直线l：mx+ny=2的距离：d=，∴，化简得m2+2n2=8，即，则点M（m，n）的轨迹是焦点为点P（﹣2，0）、Q（2，0）的椭圆，∴由椭圆的定义知，点M（m，n）到点P（﹣2，0）、Q（2，0）的距离之和是2a=4，故选：D．10．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2]C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=2017．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可由f（a）=2015求得a3+sina=﹣1，而f（﹣a）=﹣（a3+sina）+2016，这样便可得出f（﹣a）的值．【解答】解：f（a）=a3+sina+2016=2015；∴a3+sina=﹣1；∴f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+2016=﹣（a3+sina）+2016=1+2016=2017．故答案为：2017．12．已知离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为x2﹣=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标即双曲线的焦点坐标，利用待定系数法求出双曲线方程．【解答】解：抛物线的标准方程为y2=8x，∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．即（2，0）为双曲线的一个焦点，设双曲线的方程为，则，解得a2=1，b2=3．∴双曲线方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．13．2016年2月，某品牌汽车对某地区的八家4S店该月的销售量进行了统计，统计数据如茎叶图所示，由于工作人员失误不慎丢掉两个数据，已知这些数据的平均数与方差分别为293与33.5，则残缺的两个数字中较小的数字为1．【考点】茎叶图．【分析】设残缺的两个数字中较小的数字为x，另一个为y，根据平均数与方差的概念列出方程组，结合茎叶图的特征，即可求出x、y的值．【解答】解：设残缺的两个数字中较小的数字为x，另一个为y，则×=293①，×[2+2+2+2+2+2+2+2]=33.5②；化简①得，x+y=3③；化简②得，（x﹣3）2+（y﹣3）2=5④；又x、y∈N，且x＜y；∴x=1，y=2；即残缺的两个数字中较小的数字为1．故答案为：1．14．如图，若n=4时，则输出的结果为．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=+++的值，用裂项法即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序，可得n=4，k=1，S=0S=，满足条件k＜4，k=2S=+，满足条件k＜4，k=3S=++，满足条件k＜4，k=4S=+++，不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值．由于S=+++= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）]=．故答案为：．15．对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b=a（a﹣b），a⊗b=b（a+b）．则下列判断正确的是④⑤．①2016⊕2017=2017；②（x+1）⊕1=1⊗x；③f（x）=x⊗（x⊕1）的零点为1，；④a⊕b=b⊕a的必要不充分条件是a=b；⑤a⊗b=b⊗a的充要条件是a⊕b=b⊕a．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b=a（a﹣b），a⊗b=b（a+b），分别判断5个命题，即可得出结论．【解答】解：①2016⊕2017=2016×=﹣2016，不正确；②（x+1）⊕1=（x+1）x，1⊗x=1•（1﹣x）=1﹣x，所以不正确；③f（x）=x⊗（x⊕1）=x3（x﹣1）的零点为0，1，所以不正确；④a=b，则a⊕b=b⊕a；a⊕b=a（a﹣b），b⊕a=b（b﹣a），若a⊕b=b⊕a，则a（a﹣b）=b（b ﹣a），∴a=b或a=﹣b，所以a⊕b=b⊕a的必要不充分条件是a=b，正确；⑤a⊗b=b⊗a，则b（a+b）=a（a+b），∴a=b或a=﹣b，由④知道a⊕b=b⊕a，所以a⊗b=b⊗a 的充要条件是a⊕b=b⊕a，正确．故答案为：④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，，．（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；（Ⅱ）已知函数f（x）=sinBsinπx﹣cosBcosπx，把函数y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）（x∈[0，2]）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和大边对大角可得C，进而可得B，由三角形的面积公式可得；（Ⅱ）由和差角的三角函数公式和函数图象变换可得g（x）=sin（πx+），解2kπ﹣≤πx+≤2kπ+可得函数y=g（x）的单调递增区间和[0，2]取交集可得．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，，，∴由正弦定理可得sinC===，由大边对大角可得C＜A，故C=，B=π﹣A﹣C=，△ABC的面积S=acsinB==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sinBsinπx﹣cosBcosπx=﹣cos（πx+B）=﹣cos（πx+），∵把函数y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，∴g（x）=﹣cos（πx++）=sin（πx+），令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，解得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，∴函数y=g（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．和x∈[0，2]取交集可得函数的递增区间为[0，]和[，2]．17．2016年1月，微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数，由此引发微友们在圈中抢红包大战．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与2人进行交谈，求所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率．参考数据与公式：，其中n=a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）先由分层抽样求出x=5，y=2，得到2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．（Ⅱ）先求出基本事件总数，再求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的基本事件个数，由此能求出所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，∴抽取男性人数为：500×=25，抽取的女性人数为：400×=20，∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣15﹣3=2，22K2==1.125＜2.706，∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．（Ⅱ）表一“一般”有5人，表二“不喜欢”的有2人随机选取2人进行交谈，有=21种所选2人中至少有一人“不喜欢”的，有﹣=10种，∴所选2人中至少有一人“不喜欢”的概率为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，其中PA=PB，四边形ABCD 是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；（Ⅱ）证明：平面MNC⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连BD，交AC于N，连结BQ，取BQ中点E，连结ME，NE，则EM∥PB，EN∥DQ，从而平面PAB∥平面EMN，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AB中点O，连结PO，QO，推导出PO⊥平面ABCD，从而MN⊥平面ABCD，由此能证明平面MNC⊥平面ABCD．【解答】证明：（Ⅰ）连BD，交AC于N，连结BQ，取BQ中点E，连结ME，NE，∵四边形ABCD是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点，∴N是BD中点，∴EM∥PB，EN∥DQ，∵DQ∥AB，∴EN∥AB，∵PB∩AB=B，EM∩EN=E，PB、AB⊂平面PAB，EM、EN⊂平面EMN，∴平面PAB∥平面EMN，∵MN⊂平面EMN，∴MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AB中点O，连结PO，QO，∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，PA=PB，四边形ABCD是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点，∴PO⊥AB，MN∥PO，∴PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABCD．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n+1﹣S n=0，且a1=1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（I）∵2a n+1﹣S n=0，且a1=1．=0，可得2a n+1﹣2a n=a n，∴a n+1=a n，∴当n≥2时，2a n﹣S n﹣1∴数列{a n}是等比数列，公比为，∴a n=．（II）na n=．∴数列{na n}的前n项和T n=1+2×+3×+…+①，T n=+++…+（n﹣1）+n②，由①﹣②得﹣=1++…+﹣n=﹣n=（2﹣n）﹣2，∴T n=（2n﹣4）+4．20．已知函数（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≤﹣在（0，+∞）恒成立，令g（x）=﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，求出h（x）的导数，得到a≤﹣，（x＞0），令m（x）=﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），（x＞0），f′（x）=，（x＞0），若函数f（x）为单调递减函数，则f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，即a≤﹣在（0，+∞）恒成立，令g（x）=﹣，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）min=g（1）=﹣1，∴a≤﹣1；（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，即[x1f（x1）﹣x2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立，即h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx），由h′（x）≤0得：ax+1+lnx≤0，即a≤﹣，（x＞0），令m（x）=﹣，（x＞0），m′（x）=，令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴m（x）min=m（1）=﹣1，∴a≤﹣1．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C相交于M、N两点，（ⅰ）若，m∈（﹣1，1），Q（﹣2m，0），证明：|QM|2+|QN|2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆经过点O，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（ⅰ）由直线y=x+m代入椭圆方程，运用韦达定理，以及点M，N满足椭圆方程，结合两点的距离公式化简整理，即可得证；（ⅱ）由y=kx+m代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，运用韦达定理和判别式大于0，结合直径所对的圆周角为直角，运用斜率之积为﹣1，化简整理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，将点代入椭圆方程可得，+=1，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由直线y=x+m代入椭圆方程，可得x2+2mx+2m2﹣2=0，由判别式△=4m2﹣4（2m2﹣2）＞0，解得0＜m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），即有x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，且y12=1﹣，y22=1﹣，则|QM|2+|QN|2=（x1+2m）2+y12+（x2+2m）2+y22= [（x1+x2）2﹣2x1x2]+8m2+2+4m（x1+x2）=（4m2﹣4m2+4）+8m2+2﹣8m2=5为定值；（ⅱ）由y=kx+m代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，判别式为64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，化简为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，以线段MN为直径的圆经过点O，即为OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，即为（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，即有（1+k2）•+km（﹣）+m2=0，化简为5m2﹣4﹣4k2=0，可得5m2﹣4＞m2﹣1，解得m＞或m＜﹣，由m＞0，可得m＞．2016年9月8日。