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线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数

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线性代数第一章第二节

线性代数第一章第二节

四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2

(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn

线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换

线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,

线性代数基础

线性代数基础

0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n

1-2 全排列及其逆序数

1-2 全排列及其逆序数

左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
目录 上页 下页
右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
目录
上页
下页
作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
目录
上页
下页
思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
目录
上页
下页
思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
目录
上页
下页
例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.

线性代数ppt课件

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x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）

线性代数第一章行列式

线性代数第一章行列式

７ 行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素aij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作M ij；记
Aij (1)i j M ij , Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.
２）关于代数余子式的重要性质-行列式展开定理
定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
定理 如果齐次线性方程组



a x a x a x a x

11 1

21 1
12 2

22 2

a x a x


n1 1
n2 2
a x
0,
1n n
a x
0,
2n n
a x
0.
nn n
的系数行列式D 0, 那么它没有非零解.
定理 如果上述齐次线性方程组有非零解，则 它的系数行列式必为零.
例 计算
x y xy (1) y x y x
xy x y
x y xy
2(x y) y x y
解 : y x y x 2(x y) x y x
xy x
y c1c2 c3 2(x y) x
1 a2 ...
1 0 ...
... ... ...
1 0 ...

n
a1
i2
1
1 ai
0 0 ... 0 a2 0 ... 0
1 0 0 ... an
... ... ... ... ... 1 0 0 ... an

a1a2a3...an (1

线性代数课件第1章行列式

0156 1234
解 120 1 120 1 120 1
r2r1 0 1 5 1 r4r1 0 1 5 1 r3r2 0 1 5 1
D
015 6 015 6 000 7
．
123 4 003 3 003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
课件
27
000 7
例2 计算 a b b b
式的值不变．即第 i 行乘 k 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1
ai2
ain
ai1 ai2
ain
aj1 kai1 aj2 ．kai2
ajn kain aj1 aj2
ajn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
课件
25
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i , j 两行（列），记
为行列式 d e t ( a ij ) 的元素．
定理2 n 阶行列式也可定义为
a11 a12 Da21 a22
a1n
a2n (1)ta a p11 p22
apnn
an1 an2
ann
其中 t 为行标排列 p1p2 pn 的逆序数．
课件
17
定义4 对角线以下（上）的元素均为零的行 列式称为上（下）三角行列式．
列组成的记号
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1
a． n2
ann
为 n 阶行列式，简记为 D det(aij ) ．
课件
16
n 阶行列式可表示为

线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换


例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn

1n阶行列式


0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
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(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
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性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证： 记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
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性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证
交换第p、q两列，得行列式
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同理可证
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代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
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例 计算n阶行列式 解法一
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例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
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这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
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例 利用递推公式法计算 解：按第一行展开
Dn＝
返回
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例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数

线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学

第一章 行列式第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数第三节n 阶行列式的定义第四节对换1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)efcfbfde cd bd aeac ab --- [2000; 0; 4abcdef] 4. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D Db ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。

第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1]4. 计算行列式3833262290432231---- [-50]5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aaaa x a aax; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x x a x x x x xa xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11]6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。

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1，2显，然3叫，做百元位素上.可上以述从问1，题2就，是3三：个把数三字个中不任同选的
元一素个排，所 成一以有列，3种共放有法几；种十不位同上的只排能法从？剩下的两个 数字中选一个，所以有2种放法； 而个位上只能放 最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问 题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同 的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
示. 由引例 用1的，结2，果3可三知个P数3 =字3可·以2 ·组1 成= 6多. 少个没
有重复数字的三位数？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照引例 用1，2
进行讨论：
有重复数字的三位
从 n 个元素中任取一个放在第一个位解置上这位与个数
从剩下的 n – 1 个元素中任取一个放在显第然二，百位上
个位置上，有 n – 1 种取法；
一个，所以有3种放
这样继续下去，直到最后只剩下数一字个中元选素一放个，所
在第 n 个位置上，只有 1 种取法. 于最是后剩下的一个数
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个 自然数， 并规定由小到大为标准次序. 设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi （i = 1, 2, … , n）， 如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的 逆序数之和
Pn = n • (n – 1) • ···• 3 • 2 • 1 =共n有! . 3 2 1 = 6 种 123，231，
三、排列的逆序数
1. 定义 定义 对于 n 个不同的元素，先规定各元素
之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可 规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的 任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次
序不同时，就说有 1 个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数.
等价定义 在一个 n 阶排列 i1 i2 ···in 中,
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺 序数,则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n -1)/2.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
n
t t1 t2 tn ti , i1
即是这个排列的逆序数.
例 4 求排列 32541 的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 63
计 算
清 空
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返 返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已 已击想本本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结 结请返结堂堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束 束单若回束课课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束.课内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节 节已击想 想想按本,容束单 单 单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内 内结!返结 结结钮堂已击 击 击按本,容束回束课.结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容 容束回束束 束课.结!返 返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已 已按本 本本,束回回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
第二节 全排列及其逆序数
主要内容
引例 全排列 逆序数
一、引例
引引例例 用用11，，22，，33三三个个数数字字可可以以组组成成多多少少个个没没
有有重 重复复数 数字字的的三三位位数数？？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
百位在、数十学位中与，个把数考上察，的有对几象种，不例同如的引放例法中？的数字