4.4 反证法

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路边苦李
路人问王戎： 你为什么不去摘李子呢 路人问王戎：“你为什么不去摘李子呢?” 王戎说： 树在道边而多子,此必苦李 此必苦李” 王戎说：“树在道边而多子 此必苦李” 路人摘取一个尝了一下果然是苦李. 路人摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢?
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王戎的推理方法是: 王戎的推理方法是:
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总结回顾: 总结回顾:
反证法的概念; 1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤:
假 设 命 题 不 成 立 从假设出发 引 出 矛 盾 假 设 不 成 立 得出结论 求 证 的 命 题 正 确
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禁止数学家使用反证法, 禁止数学家使用反证法,就象禁止拳 击家使用拳头。 击家使用拳头。
假设李子不苦, 李子不苦, 因树在“ 则因树在“道”边,李子早就
被别人采摘, 被别人采摘, 这与“多子” 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 李为苦李.
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问题解决： 问题解决
已知：如图，直线a,b被直线c所截， 已知：如图，直线a,b被直线c所截， a,b被直线 ∠1 ≠ ∠2 求证： 求证：a∥b
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. 那么这两条直线也互相平行. l (3)能不用反证法证明吗 你是怎样证明的? 能不用反证法证明吗? (3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的? p
已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 2 l2 求证: l1∥l3 求证: 3 证明:作直线l交直线 于点P 交直线l 证明:作直线 交直线 1于点P， l3 ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 直线l必定与直线 ， 相交（在同一平面内， 必定与直线l ∴直线 必定与直线 2，l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 那么和另一条直线也相交） 交，那么和另一条直线也相交） ∴∠1 ∠ ∠ （两直线平行，同位角相等） ∴∠ =∠2=∠3（两直线平行，同位角相等） 同位角相等，两直线平行） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 12

1引言有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两张纸条上，让这个大臣自己选择其中一张纸条，是生便生，是死便死。

但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一张纸条上面写的都是死字。

这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前告发奸臣的诡计。

但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很高兴的告诉好友：“不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，那么监斩官就不得不看剩下的那张纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，那么我不就得救了”。

通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了“生相对于死”的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。

哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论：“反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否定，拱手相让，最终却取得了胜利。

这些体现了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。

反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。

本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。

2反证法的介绍2.1反证法的概念要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。

那么先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法。

2.2反证法的证明步骤大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步：（1）反设——假设命题的结论的反面是成立的。

（2）归谬——通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。

试一试3
已知：两条不重合的直线AB、CD相 交。求证：AB、CD只有一个交点。
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角. 直角 钝角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 直角 当∠B是_____时，则_____________ ∠B+ ∠C= 180° 当∠B是_____时，则______________ 钝角 ∠B+ ∠C＞180° 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
写出下列结论的反面情况：
（1）a∥b； （2）AB=CD；
（3）x是负数；
（4）a>b；
（5）∠A是锐角；
常 用 的 互 为 否 定 的 表 述 方 式
是——
不是 存在—— 不存在 平行—— 不平行 垂直—— 不垂直 等于—— 不等于 都是—— 不都是 大于—— 不大于 小于—— 不小于
写出下列结论的反面情况：
（6）三角形的外角中，至少有两个 钝角.
（7）三角形中最多有一个角是直角.
常用的互为否定的表述方式： ≥1 ＜1
≥3 ＜3 至少有一个—— 一个也没有 ≥n ＜n 至少有三个—— 至多有两个
≤1 ＞1 至少有n个—— 至多有(n-1)个 最多有一个—— 至少有两个
例 求证：在同一平面内,如果一 条直线和两条平行直线中的一条 相交,那么和另一条也相交。
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________矛盾；
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________矛盾；
小结
说明1：
反证法主要是解决直接法不容易 证明或不能证明的命题，结论中以 “至多”,“至少”,或否定性、唯一性 等形式出现的命题。

延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
例 求证：在同一平面内,如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交,那么 和另一条也相交。
已知：如图，a∥b，c与a相交于点P
求证： c与b相交
c Pa
b
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
定理:在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行.
几何语言表示:
a
∵a∥b,b∥c,
b
c
∴a∥c
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交, l
这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
别 人采摘,
这与“多子”产生矛盾.