第一讲二次根式专题复习
一、知识要点
1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式.
注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式.
2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：.
3、二次根式的性质：
( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2.
4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：
( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0);
若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 .
5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分
母上，故 b 不能为0.
( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
6 、最简二次根式
概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释：
( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足.
分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：
① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与.
7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式.
说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
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8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它
、典型类型
1）二次根式有意义的条件
1.写出使二次根式有意义的
（4） x 2 2 x （5） x 2 2x 1 （6） 1 x （ 7） x 3 x x 1 （ 2 ）二次根式的性质 2. 已知 y ＝ x ＋ x ＋2，则 y x 的值为 ．
练 1 若 y ＝ x 2 4 ＋ 4 x 2 ，则 x ＋ y 的值为 ． 3. 若 a － 4a ＋ b 3 ＝－ 4 ，则 a － 2b ＝ ．
练 2 （1）已知 x 4 ＋ 2x y ＝0，则 x －y 的值为 ；
（ 2）若｜ b － 8 ｜＋ a 2 ＝ 0，则 b a ＝ ．
练 3 若 y 2＋4y ＋4＋ x y 1＝0，则 x y 的值为 ．
5. 已知 a ＝2－ 3 ，求 a 1 的值．
6. 已知 a 满足|2013﹣a|＋ a － 2014＝ a ，则 a ﹣20132 的值是( )
A.2012
B.2013
C.2014
D.2015
8．设 m >0， x 3 － x －1 ＝ m ，则代数式 x 3 ＋ x －1的值是 （用 m 表示）．
x 的取值范围 (1) 3 x
(2)
1 2x 5
(3) x 3 8 x
4 . 计算： (1) ( 0.15)2
(2) ( 2 7)2
3)( 32 6)2
(4) 5 2
7. 若 0< a < 1，则 (a ＋1
a )2
－4﹣
（ a － a 1）2＋ 4的值为（
A. 2a
B.
C. ﹣ 2a
D.﹣4
（ 3）二次根式的乘除
1．观察下列各式：
（1）计算：
① 4× 9＝ __________ ，4×9＝___________ ．② 16× 25＝
③ 1211× 36＝_____________ ，1211×36＝______________ ．
请你猜测一下：当a、b 均为非负数时，a× b与ab大小关系是：（2）请按找到的规律计算：
① 5× 20
请你猜测一下：当a、b 均为正数时，a与a大小关系是：______________
bb
3 ．计算 2 3 2 3 的结果为．
4. ．将 3 xy 根号外的因式移到根号内，正确的是（）
A. 9xy
B. 9xy
C. 3xy
5. 把x －x1根号外的因
数移到根号内，结果是（）
A. x
B. －x
C. ﹣－x
6. .将式子（a﹣1）1－1a中根号外的因式移入根号内的为（）
7. ．若 a 0，化简a2b
正确的是
A. a b
B. a b 总结：二次根式的乘
除：系数与系数（4 ）最简二次根式
及分母有理化 1.下列二次根式是最简
二次根式的是① 1② 0.5 ③ 22 a
⑩a
21
发散a2a3是最简二次根式吗？
36 =
A. 1－ a
B. a－ 1
C. －1－ a
D. －a－ 1
2. 分母有理化:
（1）
1
32
1
(2) 112 = (3)
10
25
，16× 25 ＝
D. 3xy
D. ﹣x
）
C. a b
D. b 被开方数与被开方数最后化
成
⑦ ab ⑧ a2b
④ 24
