青岛版九年级数学 垂径定理及其逆定理的应用

的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦
所对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
2020年10月2日
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2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
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垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所的两条弧.
C
A M└
B
●O
D
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
2020年10月2日
2
探究垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
命题
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
D
2020年10月2日
由 ① CD是直径 B ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平 分弦所对的两条弧.

可推得
D
① CD是直径, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理二
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分
弦所对的两条弧
C
A
┗
●
B O 由 ② CD⊥AB于M ③ AM=BM
可推得
M
●
D
① CD是直径, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
A B D O
C
例2、 若D是BC的中点AD⊥BC,BC=24,AD=9, 求⊙O的半径。
例3、 如图所示， C是AB的中点， OC交AB于点D ，AB=6cm, CD=1cm
求⊙O的半径长
C A B
D
O
练习一、判断正误： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B

(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
B O O D A (5)
C
A
C (4)
B
C
A
O E D (6)
B
练习二、
• 已知⊙o的半径为2cm，弦AB的长为2 3cm • 求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。
平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理再梳理一下
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。

六 留作业
课后题 1、 A组（1.2.） B组
(1.2.3.)
2、 推论中被平分 的弦，为啥不能是直
径（探究并 证明）
谢谢
业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。 当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。 人的一生是短的，但如果卑劣地过这一生，就太长了。——莎士比亚 只有在人群中间，才能认识自己。——德国 朝闻道，夕死可矣。——《论语·里仁》 意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 世界上没有比友谊更美好更令人愉快的东西了；没有友谊，世界仿佛失去了太阳。 “不可能”只存在于蠢人的字典里。 有勇气并不表示恐惧不存在，而是敢面对恐惧、克服恐惧。 严酷的纪律不应当用在与功课或文学练习有关曲事情上面，只能逢到道德问题感受危险的时候才施用。——夸美纽斯 认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。 君子食无求饱，居无求安，敏于事而慎于言，就有道而正焉，可谓好学也已。——《论语·学而》 与其你去排斥它已成的事实，你不如去接受它。 形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 人的成长需要接受四个方面的教育：父母、老师、书本、社会，有趣的是，社会似乎总是与前面三种教给你的背道而驰。 欲知世上刀兵劫，但听屠门夜半声，不要光埋怨自己多病，灾祸横生，多看看横死在你手上的众生又有多少？
∴∴AA⌒ED==B⌒BED， ∠AOE= ∠ BOE
AE
B
又∵ ∠AOC= 180 ° -∠ AOE
D
∠BOC= 180 ° -∠ BOE
∴
⌒ AC

（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， 直径CE⊥AB于D， DC＝2㎝， 求半径OC的长。
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a、 弓形高h中，任意知道两个量，可根据 垂径 D 定理求出第三个量：
垂径垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2

这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性

想一想 P94 2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′