§1.2一元二次方程的解法⑹——解法复习课班级________姓名__________一.学习目标：1．能根据方程的特征，选择适当的求解方法，体会方程解法的灵活性和多样性；2．在解方程的过程中，体会“换元”、“降次”等数学思想方法．二．学习重点：选择适当的方法解一元二次方程．学习难点：体会“换元”、“降次”等数学思想方法．三．教学过程Ⅰ．知识准备⑴给出以下方程的解题过程，其中正确的有．①解方程12(x －2)2＝16，两边同时开方，得x －2＝±4，移项得x 1＝6，x 2＝－2； ②解方程x (x －1)2＝(x －1)2，两边同时除以(x －1)2得x ＝1，所以原方程的根为x 1＝x 2＝1； ③解方程(x －2)(x －1)＝5，由题得x －2＝1，x －1＝5，解得x 1＝3，x 2＝6；④方程(x －m )2＝n 的解是x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n ．⑵①(x －2)2＝5；②x 2－3x －2＝0；③x 2＋x －6＝0．较适当的方法分别为．Ⅱ．活动探究填空：①x 2－3x ＋1＝0；②3x 2－1＝0；③－3t 2＋t ＝0；④x 2－4x ＝2；⑤2x 2－x ＝0；⑥5(m ＋2)2＝8；⑦3y 2－y －1＝0；⑧2x 2＋4x －1＝0；⑨(x －2)2＝2(x －2)适合运用直接开平方法______；适合运用因式分解法____________；适合运用公式法 _________；适合运用配方法 ______________________．【新知探究】Ⅰ．能选择适当的方法解方程⑴(3x − 2)2－49＝0；⑵(3x －4)2＝(4x －3)2；⑶4y ＝1－32y 2；⑷(x －2)(x －4)＝8；⑸3y (y －1)＝2－2y ；⑹(3x －2)(x ＋1)＝28．Ⅱ．会用换元法解方程(2x －1)2－(2x －1)－12＝0Ⅲ. 用配方法证明：关于x 的方程(m 2 − 12m + 37)x 2 + 3mx + 1 = 0，无论m 取何值，此方程都是一元二次方程.Ⅳ.已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，求ab 2(a －2)2＋b 2－4的值.【课内反馈】1．解下列方程⑴(2x －1)2＋3(1－2x )＝0；⑵(1－x )2＝16(2x ＋3)2；⑶x 2＋6x －5＝0；⑷x 2－5x ＋6＝0；⑸(x ＋2)(x －1)＝10；⑹(2x －1)2＋(1－2x )－6＝0．2．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0．求证：方程有两个不相等的实数根【课时作业】1．解方程2(5x －1)2＝3(5x －1)的最适当的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法2．方程13(x －1)2＝12(x －1)的根是（）A ．x ＝1B ．x ＝52C ．x ＝1，x ＝52D ．以上均不对 3．若要使2x 2－3x －5的值等于4－6x 的值，则x 应为（）A ．－32或－3B ．32或－3C ．－32或 3D ．32或3 4．一元二次方程x 2－ax ＋6＝0, 配方后为(x －3)2＝3, 则a ＝______________.5．代数式x 2＋2x ＋3 的最_________值为__________．6．已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于____________．7．解下列方程：⑴1625x 2＝1；⑵5x 2＝2x ；⑶3m 2＋1＝4m ；⑷(x －2)2＝9x 2；⑸p 2－4p －5＝0；⑹(x ＋1)(x －1)＝22x ；⑺3(x －2)2＝x (x －2)；⑻(x ＋1)2＋3(x ＋1)－4＝0；⑼2x 2＋6x －5＝0 (配方法)【课外延伸】1．在下列方程中：⑴x 2＝4；⑵x 2－1x ＝1；⑶5x 2－2x 3＝4x ；⑷4x 2＋y 2＋1＝0，是一元二次方程的是____________．(只填序号)2．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是3．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2m ＋1)x ＋1－m 2＝0无实数根，则m 的取值范围是___________.4．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1＝－1，x 2＝2则x 2＋bx ＋c 分解因式的结果为5．解方程(x ＋a )2＝b 得（）A ．x ＝±b －aB ．x ＝±a ＋bC ．当b ≥0时，x ＝－a ±bD ．当a ≥0时，x ＝a ±b6．解下列方程：⑴(x ＋3)2＝25；⑵m 2－m －1＝0；⑶2t 2－t －3＝0（配方法）；⑷3(x －4)2＝9x －12；⑸4(x －2)2＝9(x ＋1)2；⑹(2x ＋3)2－(2x ＋3)－28＝0．7．已知x 1＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2．8．求证：如果关于x 的方程x 2＋2x ＝m ＋9没有实数根，那么关于y 的方程y 2＋my －2m ＋5＝0一定有两个不相等的实数根．9．如图⑴，⑵所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝4，点F 在DC 上，DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：⑴说明△FMN ∽△QWP ；⑵设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？⑶问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．M A B A CNMD 图（1）。
初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（ ） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。
换元法的实质是整体思想的应用。
例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。
例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（ ） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。
第8讲一元二次方程【基础知识】1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式是.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.4. 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为 .（1）>0一元二次方程有两个实数根，即 .（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即 .（3）<0一元二次方程实数根.5．一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么， .以，为根的一元二次方程是6．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）凡应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【典例精析】1．方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2．关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 .3．一元二次方程的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .5．一元二次方程的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根6. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .7．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则，.x12＋x22＝ .例1 当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．例3菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为 .例4 选用合适的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）.例5 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.例6.用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？各地中考数学试题汇编——一元二次方程1．下列四个说法中，正确的是（）A．一元二次方程有实数根； B．一元二次方程有实数根；C．一元二次方程有实数根； D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．2．关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠53．已知方程的两个解分别为、，则的值为（）A． B． C．7 D．35．若a为方程式(x-)2=100的一根，b为方程式(y-4)2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值为（）(A) 5 (B) 6 (C) (D) 10-6.已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B.5C.-9D.97.已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（）A． B． C． D．8. 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A.3 B.-1 C.-3D.-29.关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）．A．k≤B．k＜C．k≥ D．k＞10.一元二次方程的两根之积是（）A．-1 B．-2 C．1 D．211.方程的估计正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．2．若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ．3．设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ．4．已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：．5．方程x + 6 = x 的根是_________.方程x+1＝2的解是．的解是 . 6．已知x = 1是一元二次方程的一个根，则的值为．7．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_．8．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．9．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则m4 + m－4 = ．10．已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ．11．方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是．三、解答题1．解方程：（1）（2）x2－2x－1＝0 （3）2x2-7x+6=0（4）4．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．5．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．6．已知关于x的方程．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．。
