苏教版一元二次方程

苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是苏科版数学七年级上册第四单元的第一节内容。

本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

教材通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握一元二次方程的知识，为学生后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但学生对于一元二次方程的理解和应用还需加强。

通过本节课的学习，学生需要能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现一元二次方程的解法规律，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法及应用。

2.难点：一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生动有趣的故事情境，激发学生的学习兴趣，让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳，发现一元二次方程的解法规律。

3.小组合作学习：培养学生团队合作意识，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的故事情境课件，引导学生进入学习状态。

2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习使用。

3.板书设计：设计简洁明了的板书，帮助学生理解和记忆一元二次方程的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个生动有趣的故事情境，引导学生进入学习状态。

例如，讲述一个关于国王奖励国际数学家的问题，引发学生对数学的兴趣。

苏教版九年级上册数学一元二次方程教案【教学目标】1. 理解一元二次方程的定义、一次项系数、二次项系数、常数项等概念。

2. 掌握解一元二次方程的基本方法，能够独立解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，提高学生的数学素养。

【教学重难点】1. 掌握一元二次方程的定义和性质。

2. 理解解一元二次方程的基本方法，掌握使用“公式法”和“配方法”解方程的技巧。

3. 学会应用一元二次方程解决实际问题。

【教学过程】1. 引入（5分钟）1）通过一元二次方程的解法让学生见到数学的神奇之处；2）教师利用一元二次方程的形式引发学生思考，如何求这个方程的解？2. 学习一元二次方程的性质（20分钟）1）概念解释：一元二次方程的定义和一次方程相似，都是一个带一个未知数的等式，但一元二次方程中未知数有平方项。

比如：$ax^2+bx+c=0$。

2）要点讲解：一元二次方程中三个系数分别为一次项系数$a$、二次项系数$b$和常数项$c$。

系数$a$不为0，否则该方程不是二次方程。

3）解题方法：推导出“公式法”和“配方法”公式法：对于一般的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，解法是：首先通过$\Delta=b^2-4ac$判断$ax^2+bx+c=0$，有无实根，然后用解根公式$x=\frac{ -b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$求出方程的根。

配方法：通过变形，将一元二次方程转化为形如$(px+q)^2=k$的等式，称为配方法。

其中，$p,q$为已知常数，$p$可以由方程的二次项系数$a$求出，即$p=\sqrt{a}$。

3. 阐述一元二次方程的解法（20分钟）1）用公式法解一般一元二次方程，注意：二次项系数$b$为负数时，括号内前面要加上负号。

2）用公式法根据已知条件求解实际问题中的一元二次方程。

3）用配方法解非一般的一元二次方程。

例如$x^2+4x=5$，可以通过将该等式移项，形变为$(x+2)^2=9$，从而得出$x+2=3$或$x+2=-3$。

苏教版数学九年级上册教学设计《1-1一元二次方程》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《1-1一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经学习了有理数、代数式、方程等知识的基础上进行学习的。

本节课主要让学生了解一元二次方程的定义、解法以及应用。

通过本节课的学习，培养学生解决实际问题的能力，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但一元二次方程相对复杂，需要学生在已知知识的基础上进行进一步的探究。

在学生的学习过程中，可能会遇到解方程步骤繁琐、对公式记忆不牢固等问题。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义、解法以及应用。

2.掌握求解一元二次方程的基本方法，提高解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的定义、解法以及应用。

2.重点：一元二次方程的定义，解法（公式法、因式分解法等）。

3.难点：对一元二次方程解法的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义、解法。

2.利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学问题，提高解决实际问题的能力。

3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中互相交流、启发，共同提高。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。

2.准备多媒体教学设备，用于展示一元二次方程的解法过程。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题。

例如，设计一道关于面积的问题，让学生尝试用数学知识解答。

2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的定义，展示一元二次方程的一般形式。

讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。

3.操练（10分钟）让学生在小组内互相讨论，尝试用所学知识解决实际问题。

课题一元二次方程的解法教学目标1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公式的推导过程，以及因式分解降次的实质.重难点透视学习重点：掌握一元二次方程的解法.学习难点：体会解法中蕴含的数学思想.考点一元二次方程的解法知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况1 直接开方法配方法复习302 公式法解一元二次方程303 因式分解法解一元二次方程304 练习小结30教学内容一、知识要点梳理知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．思路点拨：判定一个方程是不是一元二次方程，要看它是否能整理为ax2+bx+c=0的形式，并且仅当a≠0时，它才是一元二次方程．总结升华：虽然根据“只有一个未知数，且未知数的最高次数是2”可以对一些一元二次方程作出初步的判定，但却不十分严格，如(2)题，如果只从原方程看．就会做出错误的判断．举一反三：【变式1】判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．思路点拨：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根据二次项的系数的取值来讨论、判定．总结升华：对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的确定一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0；(2)．思路点拨：利用等式的性质作变形．总结升华：值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式1】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．思路点拨：整理为一般形式．总结升华：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．用直接开平方法解一元二次方程3.解方程3x2-24=0．总结升华：应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．总结升华：在使用直接开平方法时，x2=k(k≥0)是方程化归、变形的目标．形如的方程，都可以变形为(k≥0)的形式．由，所以只需≥0，就可以用直接开平方法求解．4.解方程(x-3)2=49．总结升华：应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式1】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27；(3)3(b+4)2=96；(4)5(4-3n)2=320．思路点拨：运用换元的思想，把方程中形如ax+b的式子看作一个整体，利用直接开平方法求解．总结升华：本例的解法是直接开平方法的运用，也是换元思想的运用．通过这种方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解．应当注意，这种转化的思想是解一切高于一次的一元方程的基本指导思想．【变式2】解方程(1)(3x+1)2=7；(2) 9x2-24x+16=11.思路点拨：：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.用配方法解一元二次方程5.用配方法解方程x2-7x-1=0．总结升华：一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式1】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)3x2-4x-2=0；(3)x2+6x+8=0；(4)x2-4x+6=0．总结升华：(1)此例运用了配方法，把原方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式，用直接开平方法可以求出这个方程的根；(2)这种解法是解一元二次方程的最基本的方法，这种解法的关键步骤是配方；(3)配方的关键是在方程的两边都加“一次项系数一半的平方”；3．公式法解一元二次方程：(1)一元二次方程求根公式：对于一元二次方程进行配方：当时，，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．(2)归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，称为一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 一元二次方程的根及根的判别式6.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0思路点拨：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．举一反三：【变式】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．用公式法解一元二次方程7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3)．举一反三：【变式1】利用公式法解方程.(1)2x2-8x+3=0；(2)2x2-8x=-5.4．因式分解法解一元二次方程：(1)因式分解法解一元二次方程：将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.三、规律方法指导一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法).课堂总结课后作业。

苏教版初二数学解一元二次方程的根的性质与应用一、引言一元二次方程在数学学科中具有重要的地位，它的解的性质和应用也是我们必须了解和掌握的内容。

本文将介绍苏教版初二数学中关于一元二次方程解的性质及其应用的相关知识。

二、一元二次方程的定义及解的性质1. 定义：一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x 表示未知数，a、b、c是已知实数且a、b、c均可为负数。

解一元二次方程就是找到使该方程等号成立的未知数x的值。

2. 解的性质：a. 一元二次方程的解一般有两个，可以是实数根或复数根。

b. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac大于0，则方程有两个不相等的实数解。

c. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac等于0，则方程有两个相等的实数解。

d. 如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac小于0，则方程没有实数解，但有两个共轭的复数解。

三、一元二次方程解的应用1. 求解实际问题：通过解一元二次方程，我们可以应用到很多实际问题的解决中。

比如求解抛物线运动的高度、时间、距离等问题，求解炮弹的落点、抛物线的焦点等等。

2. 求解几何问题：a. 解两点确定直线的问题：已知平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，求直线AB的方程，变量为x。

b. 解切线问题：已知抛物线的焦点、准线及一点，求切线的方程。

c. 求解交点的问题：已知两个图形的方程，求它们的交点坐标。

3. 求解数学建模问题：在数学建模问题中，一元二次方程的解常常呈现出一些特殊的应用，例如求解优化问题、拟合问题等。

四、实例分析实例一：已知一元二次方程2x²+3x-2=0，求解其实数根。

解：根据一元二次方程的解的性质，计算判别式：Δ=(3)²-4×2×(-2)=9+16=25根据判别式的值，可知Δ大于0，因此该方程有两个不相等的实数根。

进一步应用求根公式，计算出x₁=(-3+√25)/4，x₂=(-3-√25)/4。

2023苏教版九年级数学上册《一元二次方程的解集》教案教学目标- 理解一元二次方程的定义和基本形式。

- 研究如何求解一元二次方程，并掌握解的分类。

- 掌握一元二次方程实数解和复数解的求解方法和应用。

- 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

教学重点- 学生能够准确理解一元二次方程的基本概念和求解方法。

- 学生能够熟练运用一元二次方程的求解方法解决实际问题。

教学准备- 教师准备一定数量的课堂练题，以巩固学生的解题能力。

- 教师准备演示教学所需的投影仪或白板等教学设备。

教学过程导入教师通过简单的例子引出一元二次方程的概念，解释其定义和基本形式。

知识讲解- 教师使用幻灯片或白板，介绍一元二次方程的一般形式和符号表示。

- 教师讲解一元二次方程解的分类，包括实数解和复数解的概念，并讲解实数和复数的定义。

解题示范- 教师以简单的一元二次方程为例，演示如何求解方程并确定解的类型。

- 教师给予学生解题技巧和方法，并在白板上逐步解析示范题。

练与巩固- 学生个别或小组完成一系列练题，加深对一元二次方程解的理解和应用能力。

- 教师通过评讲练题，帮助学生发现和纠正错误。

拓展与应用- 教师设计一些实际问题，让学生运用已学知识求解并解释解的意义。

- 学生分组进行讨论和展示，提高解决问题的合作能力和表达能力。

总结与评价教师总结一元二次方程解集的求解方法和应用，让学生回顾所学知识，并评价学生的研究情况。

教学评价- 学生能够准确理解一元二次方程的定义和基本形式。

- 学生能够独立解决一元二次方程的求解问题，并判断解的类型。

- 学生能够将所学的知识运用到实际问题中，并给出合理解释。

- 学生能够合作讨论和展示问题解决过程，提高合作与表达能力。

教学延伸学生可以进一步拓展已学知识，探究更复杂的一元二次方程，以及一元多次方程的解集求解方法。

参考资源- 《数学九年级上册》，苏教版，2023年版- 幻灯片或白板等教学设备。

新苏教版九年级数学上册《一元二次方程》教案一元二次方程》教案教学目标：1.理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否为一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=(a≠0)及其各项及系数，常数项。

教学重点：通过实际问题情境，用建模思想列出方程，体会一元二次方程的定义及意义。

教学难点：理解并能使用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件。

教学过程：一、情境创设：问题1：正方形的面积是2cm²，求它的边长。

问题2：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24m²，求花圃的长和宽。

问题3：如图，梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

二、自学：观察归纳观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑：1）只含有一个未知数；2）未知数最高次数为2；3）方程是整式方程；4）有的方程要整理后才能判断是否为一元二次方程。

三、互助探究：1、一元二次方程的一般形式任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。

注意：（1）二次项系数a≠0；（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项。

思考：1）当b=0，c=0时，方程ax^2+bx+c=(a≠0)的形式为ax^2=0；2）当b=0，c≠0时，方程ax^2+bx+c=(a≠0)的形式为ax^2+c=0.它们都是一元二次方程。

2、例题精讲例1、已知方程(m-2)x-(m+3)x=4m。

1）当m=5时，此方程为一元一次方程；2）当m≠5时，此方程为一元二次方程。