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1.2一元二次方程的解法（1）教学目标【知识与能力】了解形如（x ＋m ）²＝n （n ≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法.【过程与方法】会用直接开平方法解形如b ax =2（a ≠0,a b ≥0）的方程.【情感态度价值观】会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式.【教学难点】正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”.课前准备无教学过程一、知识回顾：1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）245x x -=（2）235x =（3）()()()22122-+=+-y y y y 2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
3、填空：4 的平方根是 ，81的平方根是，100的算术平方根是 。
二、自学自悟思考：如何解方程2x =2呢？根据平方根的意义， 是 的平方根，所以， x=即此一元二次方程的两个根为结论：1、根据平方根的意义，x 就是2的平方根，∴x=2±这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为)0(2≥=k k x 的形式，用直接开平方法求解。
三、例题学习例1：解下列方程（1）042=-x ；（2）0142=-x ；例2：解下列方程（1）（x ＋1）2－2＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.（这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？小结：如果一个一元二次方程具有（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解练习：(2x-1)2 =(3-x)2四、知识梳理与小结1、1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？形如())0(2≥=+k k h x 的方程。
苏教版初中数学九年级上册一元二次方程知识点总结
定义
方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成
ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3。
用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
4、用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
5、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)有两个实数根x1，x2，那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
思维导图：。
一元二次方程的解法1、直接开方法：对于形如x ²=k(k ≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x 表示k 的平方根，即x=±k ，所以对于一元二次方程x ²=k 有两个根，它们分别记为k x =1，k x -2=注意：这里有时候要将等号两边看作整体，常见形式：①ax ²=k ②(ax+h)²=k ③（ax+b)²=（cx+d)²例题解析：4x ²-1=0 (x+1)²=2解：412=x 解；将(x+1)看作一个整体21±=x ()21±=+x121-=x 1-2-2=x(3x+2)²=(x-2)²解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体 ()()223-±=+x x21-=x 02=x2、配方法：首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)²=k,当k ≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。
步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数； ③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； ④用直接开平方法求出变形后的方程；注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a ²±2ab+b ²=（a ±b ）² 配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。
（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）例题分析：x ²+8x+ 4² =(x+ 4 )² x ²-62x+ ()223 =(x- ²加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。
02522=+-x x 解：移项： 2522-=-x x二次项系数化为1：1252-=-x x加上一次项系数一半的平方：2224514525⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x配方：169)45(2=-x解得：4345±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x21=x 212=x3、公式法：一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：240)x b ac =-≥ 步骤：① 要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；② 计算出△=b ²-4ac 的值，注意各项系数包括符号； ③ 若△=b ²-4ac ≥0，直接带入公式求解；注意：看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。
第1章 一元二次方程
专题训练(一) 一元二次方程的解法归纳
一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择．
► 解法一 缺少一次项或形如(ax ＋b )2＝c (c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A ．x 2－5＝5
B ．－3x 2＝0
C ．x 2＋4＝0
D ．(x ＋1)2＝0
2．解下列方程：
(1)t 2－45＝0; (2)(x －3)2－49＝0；
(3)(6x －1)2＝25; (4)12
(3y －1)2－8＝0；
(5)(x －3)2＝(5－2x )2.
► 解法二 方程一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解
3．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的解是( )
A ．x ＝－1
B ．x ＝0
C ．x 1＝1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝2
4．一元二次方程x 2－9＝3－x 的解是( )
A ．x ＝3
B ．x ＝－4
C ．x 1＝3，x 2＝－4
D ．x 1＝3，x 2＝4
5．解下列方程：
(1)x 2＝x ； (2)(x －1)(x ＋2)＝2(x ＋2)；
(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(4)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(5)(x－2)(x－3)＝6.
►解法三当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或遇到较大系数时选配方法求解6．解下列方程：
(1)x2－24x＝9856；(2)x2－6x－9991＝0.
7．有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0.
小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；
③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.
(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的．
(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)
►解法四方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解
8．用公式法解方程2x2＋4 3x＝2 2时，其中求得的b2－4ac的值是________．
9．解下列方程：
(1)2x2－3x＋1＝0；(2)x(x＋2 2)＋1＝0；
(3)3(x2＋1)－7x＝0；(4)4x2－3x－5＝x－2.
►解法五运用换元法等数学思想方法解一元二次方程
10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y ＝4时，x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－2，x2＝－1
11．若(a2＋b2)(a2＋b2－2)＝8，则a2＋b2的值为( ) A．4或－2 B．4 C．－2 D．－4
12．请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝± 2.
当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2.此方程无实数解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝－ 2.
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：
(
x
x－1
)2－2(
x
x－1
)－15＝0.
详解详析
1．C
2．解：(1)t 1＝3 5，t 2＝－3 5.
(2)x 1＝10，x 2＝－4.
(3)x 1＝1，x 2＝－23
. (4)移项，得12
(3y －1)2＝8，(3y －1)2＝16， 所以3y －1＝±4.
所以3y －1＝4或3y －1＝－4.
所以y 1＝53
，y 2＝－1. (5)方程两边开平方，得x －3＝±(5－2x )，
即x －3＝5－2x 或x －3＝－(5－2x )，
所以x 1＝83
，x 2＝2. 3．D 4.C
5．解：(1)x 1＝0，x 2＝1.(2)x 1＝3，x 2＝－2.
(3)原方程可变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，
即(2x －6)2－(5x －10)2＝0，
∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，
即(7x －16)(－3x ＋4)＝0，
∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，
∴x 1＝167，x 2＝43
. (4)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2
＝0，
即(2x ＋3)2＝0，∴2x ＋3＝0，
∴x 1＝x 2＝－32
. (5)整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0，
∴x ＝0或x －5＝0，∴x 1＝0，x 2＝5.
6．(1)x 1＝112，x 2＝－88 (2)x 1＝103，x 2＝－97
7．解：(1)⑤
(2)x 2＋2nx －8n 2＝0，
x 2＋2nx ＝8n 2，
x 2＋2nx ＋n 2＝8n 2＋n 2，
(x ＋n )2＝9n 2，
x ＋n ＝±3n ，
x 1＝2n ，x 2＝－4n .
8．64 [解析] 要求b 2－4ac 的值，需将原方程先转化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式．原方程可化为2x 2＋4 3x －2 2＝0，b 2－4ac ＝(4 3)2－4×2×(－2 2)＝64.故填64.
9．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，
∴x ＝3±12×2＝3±14，
即x 1＝1，x 2＝12
. (2)原方程可化为x 2＋2 2x ＋1＝0.
∵a ＝1，b ＝2 2，c ＝1，
∴b 2－4ac ＝(2 2)2－4×1×1＝4，
∴x ＝－2 2±42
＝－2±1， ∴x 1＝－2＋1，x 2＝－2－1. (3)化简，得3x 2－7x ＋3＝0，
∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，
∴x ＝7±132×3＝7±136
， ∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (4)化简，得4x 2－4x －3＝0，
∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，
∴x ＝4±642×4＝1±22
， ∴x 1＝32，x 2＝－12
. 10．D [解析] 设y ＝2x ＋5，则原方程可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，2x ＋5＝1时，解得x ＝－2；当y ＝3时，2x ＋5＝3时，解得x ＝－1.所以原方程的解为x 1＝－2，x 2＝－1.故选D.
11．B [解析] 设a 2＋b 2＝x ，则原方程可化为x (x －2)＝8，解得x 1＝4，x 2＝－2.
因为a 2＋b 2的值为非负数，所以a 2＋b 2的值为4，故选B.
12．解：设x x －1
＝a ，则a 2－2a －15＝0， 解得a 1＝3，a 2＝5. 当a ＝－3时，x
x －1＝－3，解得x ＝34. 经检验，x ＝34
是该分式方程的解． 当a ＝5时，x
x －1＝5，解得x ＝54. 经检验，x ＝54
是该分式方程的解． ∴原方程的解是x 1＝34，x 2＝54
.。
