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数字信号处理-正交变换

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《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案

1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3•数字图像处理技术适用面宽。

4 •数字图像处理技术综合性强。

1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。

1.4讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。

《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案第1 章概述连续图像和数字图像如何相互转换答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像（连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

#采用数字图像处理有何优点答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1．具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3．数字图像处理技术适用面宽。

4．数字图像处理技术综合性强。

数字图像处理主要包括哪些研究内容答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。

]讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图，数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机）、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

$图数字图像处理系统结构图1常见的数字图像处理开发工具有哪些各有什么特点答．目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++（面向对象可视化集成工具）和MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。

两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。

Microsoft 公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。

《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案

1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3•数字图像处理技术适用面宽。

4 •数字图像处理技术综合性强。

1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。

1.4讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。

数字信号处理常用知识点

数字信号处理常用知识点

z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。

z 列出三种关于数字信号处理的实现方法通用计算机软件实现、特殊专用集成电路ASIC实现以及可编程器件如FPGA 硬件实现和通用DSP 器件实现等。

z 设系统用差分方程y(n)=x(n)sin(wn)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时变。

z 由于IIR 数字滤波器的冲激响应无限长，故不能采用时域卷积（或频域卷积）的方法实现，只能通过差分方程的形式来实现。

z 第二类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是具有-90o 初相，因此常被用作移相器等非选频特性之应用。

z FIR 数字滤波器常采用窗函数法、频率采样法和最佳等纹波逼近法等直接数字域设计方法，不能采用模拟滤波器的经典设计理论。

z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。

z 当采用基于DFT 的方法（可使用FFT 算法）对模拟实信号进行谱分析时，会存在四种主要的、无法避免的、或难以减轻的误差，它们是：时域采样时产生的频谱混叠现象，DFT（频率采样）造成的栅栏效应，信号截断（有限长度）导致的频谱（或频率）泄漏和谱间干扰。

z 设系统用差分方程y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时不变。

（注：从线性和时变性回答）z 数字滤波器均可通过差分方程的形式来实现。

对于FIR 数字滤波器，由于冲激响应有限长，故也可用时域卷积（或频域卷积）的方法实现。

z 第一类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是初相为0。

z IIR 数字滤波器设计常采用模拟滤波器设计的经典理论，从模拟滤波器到数字滤波器的过渡通常采用脉冲响应不变法或双线性变换法。

z 模拟信号和数字信号的描述与分析域分别采用s 域与z 域。

z 如果一个数字因果系统是不稳定的，输出幅度随时间呈发散状，那么它的极点至少有一个在z 平面的单位圆外。

数字信号处理 第04章 正交变换

数字信号处理 第04章 正交变换
DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的 行向量。
给定：
x(n), n = 1, 2, , N
DST
定义： X s (k) =
∑ 2 N
nkπ
x(n) sin( )
N +1 n=1
N +1
k = 1, 2, , N
反变换： x(n) =
∑ 2
N +1
N k =1
X
s
(k
)
sin(
nkπ )
N +1
n = 1, 2, , N
y = Ax 3. 反变换： x = A−1 y = AT y
不需要求逆，特别有利于硬件实现
性质2：展开系数是信号在基向量上的
准确投影 ϕ2
α2
α3
ϕ3
x
α1
ϕ1
非正交基的情况下，“基向量”称为“标架 （Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。
性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变，
此性质又称为“保范(数)变换”。
2N
DCT 反变换
一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处 理中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其 pdf满足如下关系
p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn , X ( tn−1) = xn−1, , X ( t0 ) = x0 ]
= p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn ], X (tn ) X (n)
即为正交变换，或保范（数）变换
AN×N 实际上是正交矩阵， AT = A−1
(二)、正交变换的性质：
性质1：正交变换的基向量即是其对偶基

《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案

1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3•数字图像处理技术适用面宽。

4 •数字图像处理技术综合性强。

1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。

1.4讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。

DCT离散余弦变换

DCT 离散余弦变换离散余弦变换(DCT)是N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。

它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。

为了工程上实现的需要，国内外许多学者花费了很大精力去寻找或改进离散余弦变换的快速算法。

由于近年来数字信号处理芯片(DSP)的发展，加上专用集成电路设计上的优势，这就牢固地确立离散余弦变换(DCT)在目前图像编码中的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG等国际上公用的编码标准的重要环节。

在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT,DCT被认为是性能接近K-L变换的准最佳变换，变换编码的主要特点有:(1)在变换域里视频图像要比空间域里简单。

(2)视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，采用量化和熵编码可有效地压缩其数据。

(3)具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。

通常,对高质量的图像，DMCP要求信道误码率，而变换编码仅要求信道误码率。

DCT等变换有快速算法，能实现实时视频压缩。

针对目前采用的帧内编码加运动补偿的视频压缩方法的不足,我们在Westwater等人提出三维视频编码的基础上,将三维变换的结构应用于视频图像压缩,进一步实现了新的视频图像序列的编码方法。

在基于DCT变换的图像压缩编码方法中,对DCT系数必须做量化处理。

量化过程是一个多对一的映射,例如对一个8×8块的64个DCT变换系数分别除以量化步长后取整。

由于大多数DCT变换系数量化后变为零,因而达到压缩的目的。

由于在量化过程中用到除法,因此通常需要进行浮点运算。

但是,可进行浮点运算的数字信号处理器(DSP)芯片结构比定点DSP芯片复杂,价格一般也比定点DSP芯片高很多。

所以数字图像处理系统中通常采用定点DSP芯片来完成图像压缩运算,这种方法已经成为数字图像处理技术的的一个趋势。

可用于数字图像处理的比较好的定点DSP芯片有德州仪器公司新一代高性能定点DSP芯片TMS320C6200系列。

数字图像处理-正交变换


2.1 图像变换的表达式－正交变换

二维变换：N×N的二维函数f(x,y)
F (u , v )

N 1 N 1
f ( x , y ) u , v ( x , y ), 0 u , v N 1
x0 y0
f ( x, y )

N 1 N 1
F ( u , v ) u , v ( x , y ), 0 x , y N 1
1.3 数字图像处理的研究内容

图像重建
由原始图像数据进行不同目的的图像显示。如二维 图像重建三维图像。

图像分割与特征提取
图像分割是指将一幅图像的区域根据分析对象进行 分割。 图像的特征提取包括了形状特征、纹理特征、颜色 特征等等。

图像分析和理解
对图像中的不同对象进行分类、识别和描述、解释。
1.3 数字图像处理的研究内容
1.高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
图 像 分 析 中级
图像处理
图像理解
低级
高级
1.3 数字图像处理的研究内容

数字图像处理是一门交叉学科，研究方法上， 与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、 计算机科学相互借鉴；研究范围上，与计算机 图形学、模式识别、计算机视觉相互交叉。
1 -1 -1
j
1 j
3 4
-1
1 j
1 e
j j
1 e
j

4
3 4
0
1 e
j
3 4
-1
-1 -1
w1
-1
1 e
f ( 0 ,0 ) f (1, 0 ) f ( x, y ) f ( N 1, 0 )

数字信号处理


m
0
1
2
3
4
5
6
w(n)
X1(m)
X2(m)
1
4
1
3 0 4 3
1
2 0 0 4
1
1 0 0 0
1
0 1 0 0
0
0 2 1 0
0
0 3 w(0)=4×1+1×1=5 2 w(1)=3×1+4×1=7 1 w(2)=…………=9
X2(-m) 4 X2(1-m) 3 X2(2-m) 2
X2(3-m) 1
n 11、周期序列不能进行ZT的原因是： | x ( n ) z | n
N 1则变换后数字频域上相邻 两个频率样点的间距为： 2 / M 。

13、系统稳定的充要条件是：时域 | h(n) |
X2(4-m) 0 X2(5-m) 0 X2(6-m) 0
2
1 0 0
3
2 1 0
4
3 2 1
0
4 3 2
0
0 4 3
0 w(3)=…………=10
0 w(4)=…………=10 0 w(5)=…………=6 4 w(6)=…………=3
7、已知某系统的差分方程为： 2 y ( n) 3 y ( n 1) 3 y ( n 2) y ( n 3) 6 x ( n) 7 x ( n 1) 5 x ( n 2) 0 试分别画出级联型和并联型结构流图。
的s得： 2 c 2 c H a ( s) s s ( ) 2 3( ) 2 s 2 c s c c c 2
H ( z )不变 wc 2f c f s 不变 f s 提高4倍

基于Matlab的LFM信号的正交变换和脉冲压缩

基于Matlab的LFM信号的正交变换和脉冲压缩付银娟【摘要】正交变换和脉冲压缩是雷达信号处理中常用的两个基本技术.介绍了正交变换和脉冲压缩的基本原理,并基于Matlab对线性调频信号先后做了这两种处理.其中涉及到采样率和匹配滤波器的选取及脉冲压缩处理中的旁瓣抑制问题,给出了计算机仿真结果.结果证明,脉冲压缩技术可以提高雷达的距离分辨力.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2007(030)015【总页数】3页(P61-63)【关键词】线性调频;正交变换;脉冲压缩;匹配滤波【作者】付银娟【作者单位】西安邮电学院,陕西,西安,710121【正文语种】中文【中图分类】TN911.71 引言近年来，随着软件无线电的不断发展，正交变换技术得到了广泛应用。

通过正交变换，各种不同标准的射频接收机可以利用相同的硬件设备对信号进行后续处理。

这种方法使数字信号处理系统更加灵活，同时也大大提高了系统的信噪比、抗干扰等特性。

现代雷达为了提高雷达发射机的平均功率，往往采取了时宽很宽的发射脉冲，脉宽甚至达到了若干毫秒。

由雷达的模糊函数的概念可知，雷达的距离分辨力和发射信号的有效带宽成反比。

为了能达到要求的距离分辨力，必须提高发射信号的有效带宽，常用的方法是采用脉冲压缩处理方式。

作为现代雷达的重要技术，脉冲压缩技术有效地解决了距离分辨力与平均功率之间的矛盾，并在现代雷达中广泛应用。

2 LFM信号的正交变换雷达系统接收的LFM信号是一个窄带过程，该中频信号可表示为：=A(t)cos(πμt2)cos 2πf0t-A(t)sin(πμt2)sin 2πf0t=I(t)cos 2πf0t-Q(t)sin 2πf0t其中：I(t)=A(t)cos(πμt2)；Q(t)=A(t)sin(πμt2)。

式中A(t),πμt2,I(t),Q(t)各代表振幅、相位、同相分量和正交分量，f0为中频载频，μ为线性调频信号的步进系数。

LFM信号可表示为:式中称为信号的复包络,f0为中频载频。

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的根
必有： j 0, j 1, N 1,
再由：
0 N
将
0 N j 0, j 1, N 1,
代入
正是DCT变 换矩阵！
经化简
结论：当 1 时，对Markov-1过程做
K—L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩 阵，也即：此时的DCT近似K—L变换。因为 DCT有快速算法，另外， Markov-1过程可作 为一大类信号（语音、图象）的数学模型，因 此 DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的 作用，成为国际上许多标准（如 JPEG, MPEG） 的重要工具。 下图是 N 8, 0.95 时 K—L变换矩阵、 DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的行向量。
x
的表
示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。
i 可能构成一个“标架（Frame)”;
3. 如果
i 是完备的，且是线性无关的，
则它构成 X 中的一组基向量，这时其对偶 向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系； 这时的基称为 Riesz 基。
4. 如果
则
ˆi i
i 1,2,, N
Cx (i, j ) Cx ( j, i)
K—L 变换的思路： 寻找正交矩阵 A ，做变换 y Ax ， 使 y 的协方差阵 C y 为对角阵。
这样
y [ y(0), y(1),, y( N 1)]
T
如 何 实 现
之间彻底去除了相关性。
步骤：
1. 由 求 的特征值
2. 求
的 N 个特征向量
C x E ( x x )( x x )T c0,1 c0,0 c1,0 c1,1 cN 1,0 cN 1,1 c0, N 1 c1, N 1 cN 1, N 1
体现了信号 各元素之间 的相互关系

y 不是时域序列，而是 x 的变换系数
（即 i ） ，如 DFT 的 X ( k ) 。正交变换
后，信号的能量一般集中在少数的变换系数
上，所以可以舍去绝大部分系数，这并不明
显损失信号的能量。由剩下的少量系数，
ˆ ，通过反变换 x 如 y ˆ A1 y ˆ 可以很好的
恢复出原信号。从而达到数据压缩的目的。
一组正交基满足：
注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不 满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。
几点说明：
用向量 i 表示信号
种不同的情况，取决于
i 的性质：
x
，会出现几
1. 如果空间 X 中的任一元素
x 都可由
i
来分解，则称该向量是“完备（ complete）”的 2. 如果 i 完备且线性相关，则对
3. 将
归一化，即令
4. 由归一化的
构成正交阵
A
5. 由 y
Ax 实现对 x 的 K—L 变换:
要求：会 证明此式
这样，信号 y 中的各个元素 之间彻底去除了相关性！
K—L 变换的应用－数据压缩：
y Ax
xA y
T
y(0) A0 y(1) A1 y( N 1) AN 1
8.1 正交变换
一、信号的分解
概念：
设空间 X 是由 N 维空间一组向量 1 , 2 ,, N 所张成，即
X span{1 , 2 ,, N }
对任一
x X，都可作如下分解：
x n n
n 1 N
x n n
n 1
N
信号的离散表示,或 信号的分解 是分解系数 或信号的变换
n 1
N
ˆ n x
n 1
L
n
ˆ ) || x x ˆ || x x ˆ, x x ( x, x ˆ
2 2
ˆ) ( x, x
2
最小的条件： n n , n 1,, L
ˆ) ( x, x
2
n L 1

N
2 n
傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计 等，均要用到该性质。
令 是Markov-1 随机序列相邻两元素之间的相 关系数，则该序列的协方差矩阵有如下关系：
[ Rx ]i , j
i j
, i, j 0,1,, N 1,
1
N 1
1 2 Rx N 1

1


N 2
N 2 N 3 1 N 3 1
性质5：正交变换的系数具有去除相关和集
中能量的性质。
给定一个实对称矩阵 C ，一定可以找到 一个正交阵 A ，使得：
0 ACA1 ACAT N 1
1

数据压缩的理论基础。后面即将讨论。
正交变换的实例： FS，FT, DTFT, DFS, DFT DCT，DST, DHT Walsh-Hadamard, Haar 变换， SLT(斜变换）
离散正弦变换（DST）
给定： 定义：
x(n), n 1, 2,, N
DST
反变换：
变换矩阵
DST也是 正交变换
可以证明，DST在一定条件下也是对K—L 变换的近似。如何评判近似的好坏
正弦类变换：
DFT:
Wn ,k Cn , k Sn,k
正交矩阵的行 （或列）向量 具有上述形式
DCT:
DST:
p[ X (tn1 ) xn1 X (tn ) xn , X ( tn1 ) xn1, , X ( t0 ) x0 ]
p[ X (tn1 ) xn1 X (tn ) xn ],
X (tn ) X (n)
则称 X (t ) 为一阶马尔可夫过程。该式的含意 是: 已知过程在现在时刻的状态，那么，下一 个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过 去的状态无关。
在语音和图像压缩中已获得广泛应用。
例：8 点 DCT：
1 i j ci , c j 0 i j
所以DCT是正交变换
DCT 反变换
在DCT中，正变换矩阵和反变换矩阵是一 样的，都是实矩阵。特别有利于实时实现 及硬件实现。
一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处理 中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其pdf满 足如下关系：
N
ˆ j (n) x(n) ˆ ( n) j x(n),
* j n
对
1 , 2 , , N
ˆ1 , ˆ 2 , , ˆN
则称
如果：
ˆi i i 1, 2, , N
1 , 2 , , N 为一组正交基。
1 i j i , j i j 0 i j
AN N
实际上是正交矩阵，
A A
T
1
以上正交变换是从线性代数的角度来定义。
正交变换的性质：
性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量。
由性质1可知正交变换具有如下的优点：
1. 若正变换存在，那么反变换一定存在， 且变换是唯一的； 2. 正交变换在计算上最为简单。如果是离 散 信号，且 N 是有限值，那么变换只是简单 的矩阵与向量运算：
正弦类正 交变换 非正弦类 正交变换
正交基的选择 原则： 具有所希望的物理意义或实用意义； 正交基函数应尽量简单，计算量小； 最大限度浓缩信号能量，去除相关性； 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能
8.2 K—L 变换
数据向量： 协方差阵：
(Karhunen--Loeve)
T
x [ x(0), x(1),, x( N 1)]
第 8 章 正交变换
8.1 正交变换； 8.2 K—L 变换 8.3 离散余弦（正弦）变换（DCT, DST） 8.4 离散 Hartley 变换（DHT） 8.5 离散 W 变换
8.6 DCT、DST、DWT快速算法（略）
8.7 关于图像压缩及国际标准（讲座1）
8.8 重叠正交变换（LOT） （讲座2）
ˆ2 1 2 ,
两组向量，互 为“对偶基”， 或“倒数基”。
ˆ1 0 2 ,
Step2:做内积
N
x n n
n 1
N
ˆ j n n , ˆj x,
n 1
ˆ j j n n ,
n 1
* ˆ ˆ j (t ) x(t ) j (t )dt j x(t ),
1 , 2 ,, N
由
x 1 , 2 , , N 正变换
由
1 , 2 ,, N x
如何求出分解系数
反变换
Step1: 设想另有一组向量
ˆ1 , ˆ 2 , , ˆN
满足：
1 i j ˆ j i j i , 0 i j
i
是 X 中的一组正交基。
二、信号的正交变换
给定数据向量：
x [ x(0), x(1),, x( N 1)]
及算子 作变换
若：
T
AN N
y Ax
矩阵 A 的 行（列）向 量即是前面 的向量 i
Ax, Ax x, x y, y
则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换
|| x || x(n) x (n) x, x
2 * n
| n | || ||
2 n
2
此性质实际上是 Parseval’s 定理，即信号变换 前后能量保持不变。 注意，只有正交变换才有此性质。
性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。
x n n n , n