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谐和与白噪声激励下碰撞振动系统的混沌运动冯进钤;金宇寰;刘亚妮【摘要】碰撞振动系统轨线的不连续性使得系统表现出强非线性和奇异性的特性.鉴于此,研究谐和与白噪声激励下非线性单边碰撞振动系统的混沌动力学.利用动力系统稳定性理论和Melnikov方法,分析碰撞振动系统的同宿轨,得到系统出现Smale马蹄混沌的阀值.并通过相图、Poincare截面图和安全盆等数值仿真验证该解析阀值的有效性.研究表明,基于Melnikov方法获得的解析结果是系统出现混沌运动的必要条件,也是系统出现安全盆腐蚀的充要条件.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2018(031)002【总页数】5页(P159-163)【关键词】碰撞系统;同宿轨;混沌;Melnikov方法【作者】冯进钤;金宇寰;刘亚妮【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安交通大学公共政策与管理学院,陕西西安710049;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言非光滑因素在工程实际中是普遍存在的,非光滑模型更能准确地反映系统的本质特点[1-4]. 众所周知,Melnikov方法是研究系统全局分岔与混沌的重要解析方法[5-7]. 对于碰撞系统,由于系统状态存在不连续性,导致系统出现奇异性,经典的Melnikov 方法不再是直接有效.目前,对于平面非光滑系统的Melnikov方法的研究甚少,局限于一些特殊的非光滑系统. 文献[8-9]利用Melnikov方法讨论了线性碰撞型非光滑系统的全局分叉和混沌. Kunze[10]和Kukucka[11]通过分析Melnikov函数在切换前后的关系,提出了一种研究分段线性非光滑系统同宿分叉的Melnikov方法. 基于Melnilov理论,Awrejcewicz等[12-16]利用基解矩阵对Filippov系统的同宿分叉进行了研究,并对系统的粘滑混沌进行了预测. Du等[17]研究了一个碰撞振子同宿轨的Melnikov函数. Feng和Xu等[18-19]提出了一种Melnikov方法,研究了典型Duffing碰撞系统的同宿分岔与混沌. 前期成果主要集中在确定性系统的研究,对于谐和与噪声激励情形下碰撞振动系统的Melnikov方法以及混沌运动的研究,目前成果甚少.工程实际中,噪声的干扰不可避免. 因此,有必要研究随机激励下非光滑非线性系统的分岔与混沌动力学. 众多研究表明,系统的混沌运动、安全盆的腐蚀与分形盆边界之间有着重要的联系[20-21]. 鉴于此,对谐和与白噪声联合激励下带平方非线性项的碰撞系统的混沌运动,利用Melnikov方法研究系统可能出现混沌的阀值,同时结合安全盆分析对系统的混沌运动进行深入讨论.1 单边碰撞系统的同宿轨考虑单边刚性碰撞系统,系统模型所遵循的方程为(1)式中：“·”表示对时间t求导;常量β=εβ～和f=εf～分别表示系统的阻尼系数和谐和激励的强度；μ=εμ～表示噪声的幅值. x=0描述了系统状态的碰撞位置. 表示碰撞恢复系数,通常与碰撞面的材料有关. 下标“-”和“+”分别表示碰撞前后的时刻. 令碰撞时刻为t*,则有表示标准的高斯白噪声,即满足E(ξ(t))=0,E[ξ(t+τ)ξ(t)]=δ(τ).令得到未扰系统为(2)由动力学稳定性理论知,未扰系统(2)存在一个鞍点S(1,0)和一个中心C(0,0). 对应的势函数和Hamiton函数分别为V(x)=x2/2-x3/3,(3)(4)经过鞍点S(1,0)的同宿轨(xh(t),yh(t))表达式为(5)这里由式(5),得出未扰系统(2)的同宿轨，如图1所示.图1 未扰系统的同宿轨(xh(t),yh(t))TFig.1 Homoclinic orbit (xh(t),yh(t))T2 同宿轨的Melnikov函数由Melnikov理论和文献[5]和[6]可知,系统(1)的Melnikov函数包括确定性和随机两部分，即M(t1,t2)=Md(t1)±Ms(t2).(6)式中：Md(t1)表示随机Melnikov过程的阻尼、碰撞和谐和力激励等确定性部分,Ms(t2)为随机Melnikov过程的白噪声激励部分. 显然,随机Melnikov过程的均值为E[M(t1,t2)]=Md(t1),其波动中心为Md(t1),波动范围为表示随机部分的方差,即在式(6)中,确定性部分为(7)式中：其中其求解可以借助傅里叶型数值积分.随机Melnikov过程的随机部分为(8)将h(t)=μ～yh(t)看作为线性时不变系统的脉冲响应函数,考虑到线性时不变过滤器的作用,易知Ms(t2)为一个平稳随机过程,其均值为零,方差为(9)这里系统的频率响应函数为依据随机Melnikov理论,在均方意义下,系统(1)可能出现混沌运动的条件为图2 临界值f随参数r的变化Fig.2 Critical value f varies vs. parameter r(10)3 数值仿真选取尺度参数ε=0.1,谐和力频率为ω=1,固定系统阻尼系数β=εβ～=0.16,白噪声幅值为μ=εμ～=0.01.随着系统参数的变化,考察谐和力f=εf～对系统混沌的影响.由式(10),可得系统(1)可能出现混沌的临界曲线，如图2所示. 从图2看到,谐和力的强度f=εf～是随着参数的增大而不断增大的,表明对于较大的碰撞损失,混沌运动的出现需要更大的外谐和力作为驱动.此外,由于式(10)仅仅是出现Smale马蹄的必要条件,故当系统参数处于图2中实线之下时,系统必然不会出现混沌运动.为了进一步进行验证,当取时,由Melnikov准则和最大Lyapunov指数准则得到的临界值分别为fM=0.188和fL=0.284.选取谐和力强度分别为fA=0.18<fM和fB=0.29>fL,图3给出了相应的相图和Poincare截面图,其中灰色表示相图,黑色点表示Poincare截面图.显然,当fA=0.18<fM时,图3(a)表明系统作周期运动；当fB=0.29>fL时,图3(b)显示系统出现混沌运动.研究表明,解析结果和数值结果相吻合.(a) fA=0.18<fM (b) fB=0.29>fL图3 相图和Poincare截面图Fig.3 Phase diagram and Poincare section在实际问题中,系统安全盆的腐蚀通常会导致系统结构的破坏.基于Melnikov准则(10),选取系统响应的相空间为D={(x,y):0≤x≤1.2,-1≤y≤1},并将该区域划分为180×300的小格子.讨论系统谐和力的强度f=εf～对系统安全盆的影响,图4给出了不同强度下系统安全盆的变化.从图4可以看到,当谐和力强度f=0.18<fM时,系统的安全盆没有发生腐蚀,见图4(a). 当增大谐和力强度f=0.19>fM时,系统的安全盆开始被腐蚀,见图4(b). 随着强度的继续增大,系统的安全盆被逐渐的腐蚀,并导致了系统安全盆边界的分形结构,见图4(c)及(d).研究表明,系统Melnikov准则得到的临界值是系统安全盆发生腐蚀的开始点.(a) f=0.18<fM (b) f=0.19>fM(c) f=0.25 (d) f=0.3图4 不同激励幅值下系统(1)的安全盆腐蚀Fig.4 Erosion of safe basin in different value f of the system (1)4 结束语基于Melnikov方法研究了谐和与白噪声激励下带平方非线性项的碰撞振动系统的混沌运动,在均方意义下得到了系统出现Smale马蹄混沌的必要条件,并结合数值仿真对解析结果进行了验证和讨论.研究表明,随机Melnikov方法是预测系统发生随机混沌运动的有效方法.在一定噪声情形下,谐和力的强度可以导致系统发生安全盆的腐蚀,为系统结构稳定性的研究提供了理论指导.参考文献(References):【相关文献】[1] CHIN W,OTT E,NUSSE H E,et al.Grazing bifurcation in impact oscillators[J].Physical Review E,1994,50(6):4427-4444.[2] NORDMARK A B.Universal limit mapping in grazing bifurcation[J].Physical Review E,1997,55:266-270.[3] 冯进钤,徐伟,王蕊.随机Duffing单边约束系统的倍周期分岔[J].物理学报,2006,55(11):5733-5739.FENG J Q,XU W,WANG R.Period-doubling bifurcation of stochastic Duffing one-sided constraint system[J].Acta Physica Sinica,2006,55(11):5733-5739.[4] di BERNARDO M,BUDD C,CHAMPNEYS A R.Grazing and border-collision in piecewise-smooth systems:A unified analytical framework[J].Physical Review Letters,2001,86(3):2553-2556.[5] GUCKENHERNER J,HOLMES P.Nonlinear oscillations,dynamical systems and bifurcations of vector fields[M].New York:Springer-Verlag,1983.[6] SIMIU E.Chaotic transitions in deterministic and stochastic dynamicalsystems[M].UK:Princeton University Press,2002.[7] AWREJCEWICZ J,HOLICKE M,M.Menikow′s method and stick-slip chaotic ascillations in very weakly forced mechanical systems[J].Internations Journal of Bifurcations and Chaos,1999,9(3):505-518.[8] CHOW S N,SHAW S W.Bifurcations of subharmonics[J].Journal of Differential Equations,1986,65(3):304-320.[9] SHAW S W,RAND R H.The transition to chaos in a simple mechanicalsystem[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1989,24(1):41-56.[10] KUNZE M.Non-smooth dynamical systems[M].Belin:Springer,2000.[11] KUKUCKA P.Melnikov method for discontinuous planar systems[J].NonlinearAnalysis:Real World Applications,2007,66(12):2698-2719.[12] AWREJCEWICZ J,PYRYEV Y.Chaos prediction in the Duffing-type system with friction using Melnikov′s function[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006,7(1):12-24.[13] AWREJCEWICZ J,HOLICKE M.Menikov′s method and stick-slip chaotic oscillations in very weakly forced mechanical systems[J].International Journal of Bifurcations and Chaos,1999,9(3):505-518.[14] AWREJCEWICZ J,SENDKOWSHI D.How to predict stick-slip chaos in R4[J].Physics Letters A,2004,330:371-376.[15] AWREJCEWICZ J,FECKAN M,OLEJNIK P.Bifurcations of planar slidinghomoclinics[J].Mathematical Problems in Engineering,2015,2006(1):1-13.[16] AWREJCEWICZ J,DZYUBAK L,GREBOGI C.Estimation of chaotic and regular (stick-slip and slip-slip) oscillations exhibited by coupled oscillators with dry friction[J].Nonlinear Dynamics,2005,42(2):383-394.[17] DU Z,ZHANG W.Melnikov method for homoclinic bifurcation in nonlinear impact oscillators[J].Computers and Mathematics with Applications,2005,50(3):445-458. 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碰撞振动系统的非线性动力学研究碰撞振动系统的非线性动力学研究摘要：碰撞振动系统的非线性动力学研究是近年来科学界的一项热点研究领域。
本文通过对碰撞振动系统的构建和基本原理进行综述和分析，深入研究了非线性动力学在碰撞振动系统中的应用。
通过数学模型的构建和仿真分析，探讨了碰撞振动系统中的混沌现象，并对控制和优化方法进行了探索。
最后，本文总结了碰撞振动系统的非线性动力学研究在工程实践中的应用前景和意义。
一、引言碰撞振动系统是指由两个或多个物体在碰撞作用下产生的一种振动现象。
近年来，碰撞振动系统的研究在科学界引起了广泛关注。
其主要原因是碰撞振动系统具有复杂的非线性特性，具有许多有趣的动力学现象。
通过对碰撞振动系统的非线性动力学研究，可以揭示其内在的规律和机理，为工程实践中的优化和控制提供理论基础。
二、碰撞振动系统的构建和原理碰撞振动系统的构建和原理主要涉及到物体的碰撞过程和振动特性。
在碰撞过程中，物体之间通过相互作用力使得它们的动量和能量发生改变，从而产生振动。
在此基础上，通过对振动特性的研究，可以分析和解释碰撞振动系统的动力学行为。
三、非线性动力学在碰撞振动系统中的应用非线性动力学是研究非线性现象和非线性系统的一门学科。
在碰撞振动系统中，非线性动力学提供了一种解释系统行为的有效方法。
通过数学模型的构建和仿真分析，可以研究碰撞振动系统中的混沌现象，探讨系统的稳定性和不稳定性。
此外，还可以通过分析系统的吸引子和分岔现象来揭示系统的运动规律和行为模式。
四、碰撞振动系统的混沌现象研究混沌现象是指一种看似无规律的、但具有内在规律的运动状态。
在碰撞振动系统中，由于非线性因素的存在，系统的运动会呈现出复杂而多样的动力学行为，其中包括混沌现象。
通过对碰撞振动系统的混沌现象进行研究，可以揭示系统的非线性特性和内在规律。
五、碰撞振动系统的控制和优化方法在碰撞振动系统中，由于其复杂的非线性特性，系统的控制和优化是一个具有挑战性的任务。
非线性碰撞系统的多吸引子共存研究
冯进钤;杨海忠
【期刊名称】《四川理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(024)003
【摘要】研究具有单边刚性约束的非线性动力学系统的多吸引子共存现象,针对碰撞动力学系统的运动特性,结合插值法和事件切换法,快速精确地定位系统状态发生切换的时刻,进而给出一种高效的数值解方法.并以一类典型的非线性碰撞系统为例,结合广义胞映射的思想,得到了系统共存的多个吸引子的空间布局、吸引盆及清晰的盆边界.研究结果表明,高效的数值解方法为系统多吸引子共存研究提供有效的精度保证,是进行全局分析的有力工具.
【总页数】2页(P348-349)
【作者】冯进钤;杨海忠
【作者单位】西安工程大学理学院,西安710048;西安财经学院精算系,西安710100
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究 [J], 史传宝;王光义;臧寿池
2.一类Lorenz型超混沌系统的Zero-Zero-Hopf分岔及共存吸引子研究 [J], 陈玉明;陈春涛
3.广义van der Pol非线性振子的多吸引子共存和跳跃现象 [J], 张伟;陈予恕
4.含干摩擦振动系统的共存吸引子与亚谐碰撞运动研究 [J], 王同慧;朱喜锋
5.两自由度含弹性约束碰撞振动系统共存吸引子转迁控制研究 [J], 李得洋;丁旺才;丁杰;卫晓娟
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