三年级数学春第三讲字典排列法和树形图法

第四讲枚举法二（字典排列法与简单树形图）知识脉络：本讲属于计数专题，三年级暑期：枚举法一。

枚举法一：主要知识点让学生明白枚举的意思及精髓所在（有序思考）1.本讲要点：掌握枚举法中的字典排列法与简单树形图。

①字典排序法：中心思想（分类有序思考），从小到大或字母前后顺序。

易错点：分人与分堆的区别，例：10颗糖分给两个人，1，9和9,1算两种情况，分堆则算一种②树状图：前后存在关联性，更清晰直观的分析列举所有情况，步骤少，每个步骤选择少适用2. 做题步骤：①区别分堆与分人；②确定以什么为顺序来进行枚举；③多回头做到不重不漏，本讲例题【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？三人情况：先确定一人，剩余两人依次枚举，枚举时注意总数汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 汤姆： 3 3 3 3杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 杰瑞： 1 2 3 4得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比 5 4 3 2 1 得鲁比 4 3 2 1汤姆： 4 4 4 汤姆： 5 5 汤姆： 6杰瑞： 1 2 3 杰瑞： 1 2 杰瑞： 1得鲁比：3 2 1 得鲁比：2 1 得鲁比： 1总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。

提示：三个人的情况：每人至少一颗共8颗：6+5+4+3+2+1；共10颗：8+7+6+5+4+3+2+1；共15颗：13+12+11+10+….+3+2+1；那么共30颗从几加?【例2】三名工人搬运20袋面粉，每人至少运6袋，那么三名工人可能分别搬运了多少袋？1.基本方法：三人情况：先确定一人，剩余两人依次枚举，枚举时注意总数工人一： 6 6 6 工人一： 7 7 工人一： 8工人二： 6 7 8 工人二： 6 7 工人二： 6工人三： 8 7 6 工人三： 7 6 工人三： 6共有3+2+1=6（种）搬运情况。

我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将要学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实”．这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可． 例题1乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个，请问它们共有多少种不同的站法？分析：第1个位置可以站哪些小动物？第2个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根”，用树形图表示出所有的站法．甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线．如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个，那么一共有多少种站队的方法？第十四讲树形图练习1例题2小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任何一人．先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？ 分析：第1次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁．注意：只有第4次传球后回到小高手里上才是符合题意的传法．有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A 上，每次它都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A 上．请问：它一共有多少种不同的跳法？例题3一个四位数，每一位上的数字都是0、1、2中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有多少个满足条件的四位数？分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为“树根”来画树形图？一个三位数，每一位上的数字都是5、6、7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？例题4王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三位数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？ 练习 2 练习3一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于5，那么这样的三位数一共有几个？例题5常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第4场后古力已经获胜，不符合题意．例题65块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？分析：注意开始是从1号毯开始，结束在5号地毯才能符合题意．23 145 古 常 古 古 常 常 练习4课堂内外汽车品牌家族树形图作业1.一个三位数，个位、十位和百位的3个数字分别是2、3、4中的1个，如果百位不是2，十位不是3，个位不是4，请问符合要求的三位数有多少种？（填出所有的可能）2.甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？3.粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？4.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．请问一共有多少种不同的比赛过程？5.满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过2．例如：135、234为阶梯数，156就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？。

⾼思数学-各级别全年教材⼤纲三年级上第1讲加减法巧算第2讲基本应⽤题第3讲间隔问题第4讲简单枚举第5讲字典排列法与树形图法第6讲找规律第7讲和倍问题与差倍问题第8讲和差问题与多个对象的和差倍第9讲简单加减法竖式第10讲周期问题初步第11讲周期问题进阶第12讲妙⽤假设法第13讲分组与画图第14讲等差数列初步第15讲等差数列进阶第16讲平⾯图形认知第17讲⽴体图形认知第18讲基本盈亏问题第19讲智巧趣题⼀第20讲旅⾏中的数学三年级下第⼀讲乘除法巧算第⼆讲归⼀问题第三讲分类计数第四讲和差倍问题中的隐藏条件第五讲线段图解复杂和差倍关系第六讲简单乘法竖式第七讲简单除法竖式第⼋讲假设法综合提⾼第九讲分组法综合提⾼第⼗讲四则混合运算第⼗⼀讲阵列问题第⼗⼆讲巧填算符第⼗三讲算符与数字第⼗四讲盈亏条件的转化第⼗五讲复杂盈亏问题第⼗六讲长度计算第⼗七讲⾓度的计算第⼗⼋讲找位置第⼗九讲⽕柴棍算式与⽣活趣题第⼆⼗讲三年级期末复习与检测四年级上第1讲整数计算综合第2讲还原问题第3讲数阵图初步第4讲竖式问题第5讲⼏何图形剪拼第6讲路程、时间、速度第7讲⾏程中的线段图第8讲简单抽屉原理第9讲基本直线形⾯积公式第10讲底、⾼的选取与组合第11讲变倍问题第12讲和差倍中的分组⽐较第13讲年龄问题第14讲数列数表规律第15讲复杂数表估算第16讲加法原理与乘法原理第17讲乘法原理进阶第18讲⽕车⾏程第19讲统筹规划第20讲游戏对策四年级下第1讲⼩数的运算技巧第2讲多位数巧算第3讲简单平均数第4讲多组对象的平均数第5讲复杂竖式第6讲横式问题第7讲格点图形的计算第8讲割补法巧算⾯积第9讲多⼈多次的相遇与追及第10讲排列组合公式第11讲排列组合应⽤第12讲分段计算的⾏程问题第13讲多次往返相遇与追及第14讲从洛书到幻⽅第15讲复杂数阵图第16讲有特殊要求的挑选第17讲捆绑法与插空法第18讲最值问题第19讲逻辑推理第20讲四年级期末复习与检测五年级上第1讲分数计算与⽐较⼤⼩第2讲整除问题初步第3讲整除问题进阶第4讲质数与合数第5讲容斥原理第6讲流⽔⾏船问题第7讲环形路线问题第8讲⽜吃草问题第9讲⼏何计数第10讲约数、倍数初步第11讲约数与倍数进阶第12讲分数与循环⼩数第13讲⽐较与估算第14讲数论巧解数字谜第15讲包含分数、⼩数的数字谜第16讲分数应⽤题之量率对应第17讲分数应⽤题之单位“1”的转化第18讲巧解不确定性问题第19讲倍数关系求解直线形第20讲巧连辅助线解直线形五年级下第1讲计算综合第2讲分数裂项第3讲圆与扇形初步第4讲圆与扇形中的重叠与旋转第5讲余数的性质与计算第6讲物不知数与同余第7讲复杂抽屉原理第8讲⼯程问题初步第9讲⼯程问题进阶第10讲钟表问题第11讲⽐例关系求解直线形第12讲平⾏线相关⽐例与勾股定理第13讲构造论证第14讲⾏程问题中的变速问题第15讲⾏程问题中分段与⽐较第16讲位值原理第17讲数字问题第18讲数论相关的计数第19讲数字谜中的计数第20讲五年级期末复习与检测六年级上第1讲计算综合⼆第2讲⽐例计算与列表分析第3讲正反⽐例的概念与应⽤第4讲⽅程解应⽤题第5讲浓度问题第6讲经济问题第7讲逻辑推理⼆第8讲最值问题⼆第9讲不定⽅程第10讲⽴体⼏何第11讲复杂直线形计算第12讲⼏何综合问题第13讲递推计数第14讲对应计数第15讲⾏程问题中的⽐例关系第16讲复杂⾏程问题选讲第17讲数论综合与简单代数式第18讲数字谜综合⼆第19讲应⽤题综合⼀第20讲应⽤题综合⼆六年级下第1讲构造论证⼆第2讲进位制与取整符号第3讲计数综合提⾼第4讲数论与⽅程第5讲计算综合练习第6讲⼏何综合练习第7讲应⽤题综合练习第8讲数字谜综合练习第9讲数论综合练习第10讲计数综合练习第11讲组合综合练习第12讲⼩升初总复习模拟测试第13讲⼩升初总复习模拟测试⼆第14讲⼩升初总复习模拟测试三第15讲⼩升初总复习模拟测试四第16讲⼩升初总复习模拟测试五第17讲⼩升初总复习模拟测试六第18讲⼩升初总复习模拟测试七第19讲⼩升初总复习模拟测试⼋第20讲⼩升初总复习模拟测试九。

第二讲字典排列法与树形图知识点总结1、枚举法：字典排列法、分类枚举、树形图都是枚举法中的一种，使用各种枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然。

2、字典排列法：从首位开始，按一定的顺序（比如从小到大）枚举第一位，对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。

3、分类枚举：先有序分类，再有序枚举。

4、树形图：确定起点，按照一定的顺序一一罗列，最后数终点个数。

例题精讲【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？【分析】三人情况：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0，每人至少有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀牙数是6。

题中有三个人的名字，所以三个人是有次序的，我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。

汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比： 5 4 3 2 1汤姆： 3 3 3 3 汤姆： 4 4 4杰瑞： 1 2 3 4 杰瑞： 1 2 3得鲁比：4 3 2 1 得鲁比：3 2 1汤姆： 5 5 汤姆： 6杰瑞： 1 2 杰瑞： 1 得鲁比：2 1 得鲁比：1总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。

【例2】下午茶的时候，老师给同学们准备了苹果，香蕉和橘子三种水果，每种都有足够多个，昊昊想挑3个水果吃，请问：他一共有多少中选择？【分析】分类枚举：先有序分类，再有序枚举。

一种水果：苹苹苹，香香香，橘橘橘两种水果：苹香香，苹苹香，苹橘橘，苹苹橘，香橘橘，香香橘三种水果：苹香橘一共：3+6+1=10（种）【例3】一个人在三个城市A、B、C中游览。

他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市。

这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线？【分析】列出树形图如下，共有6种路线。

第4讲树形图三年级秋季知识点一、树形图法1、对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法．2、画树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“叶子”．这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“叶子”的数目即可．二、数字计数（三下）1、在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位．对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举．2、对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．类与类之间有时会有很多相似性，如果能够合理利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量．知识精讲我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举，接下来我们将学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．课堂例题一、树形图法1、乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个．请问：它们共有多少种不同的站法？2、小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两个人中的任何一人，先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两个人中的任何一人，经过4次传球后，球又回到小高手上，请问：一共有多少种不同的传球过程？3、旦旦和雁雁比赛羽毛球，约定五局三胜，如果最后旦旦获胜了，那么比赛的进程有__________种可能．4、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号．现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？241355、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了5次之后，还在荷叶A上．请问：它一共有多少种不同的跳法？6、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了．请问小高恰好得5分的情况有多少种？二、数字计数7、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？8、王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？9、一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？随堂练习1、甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个．那么一共有多少种站队的方法？2、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上．请问：它一共有多少种不同的跳法？3、一个三位数，每一位上的数字都是5，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？4、一个三位数，百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，个位数字不小于5，那么这样的三位数一共有__________个．课后作业1、利用数字1、4、7能组成__________个无重复数字的三位数．2、由1、2能组成________个三位数．3、由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有________个．4、粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试________次就一定能打开日记本．5、松鼠宝宝出去摘松果，每次出去都会摘回来1个松果或2个松果，那么松鼠宝宝恰好采4个松果有________种不同的过程．6、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．7、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．8、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．则一共有_________种不同的比赛过程．9、小高、墨莫、卡莉娅三个人在打牌（每局只有一个人赢）．一旦有人赢了2局就获胜，牌局结束．最后小高赢了，则墨莫和卡莉娅两个人最多一共赢了________局．10、甲、乙、丙、丁、戊按如下方式站成一圈传球，从甲开始，每次只能给相邻的人传球，传球4次后，球又回到甲的手里，请问：可能的传球过程有多少种？甲乙戊丙丁。

明朝那些事（树形图)知识图谱明朝那些事知识精讲一．树形图对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法．“树形图”可以使枚举过程形象直观、有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然．一般适用于以下条件的题目：1．每个位置有特殊要求；2．相邻两个位置有特殊要求；3．前面位置影响下一个位置．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次还会注重培养学生的运算能力．本讲内容是在字典排列的基础上，继续学习树形图．在需要对整件事情的过程进行枚举的问题，会更多的使用树形图．后续课程还会继续学习更为简便的计数方法．课堂引入例题1、 在相继读完四大名著后，柯小南想要研究一下明朝的历史，在高斯先生的建议下，柯小南找来了《明朝那些事儿》．阅读了一部分后，柯小南就画了一部分明朝皇帝的人物关系图．柯小南带着人物关系图想要跟高斯先生交流一下对明朝历史的理解．高斯先生看到这张图后，沉思了一会．高斯先生微笑着点了点头，肯定了柯小南的想法． 同学们，能帮柯小南用树形图的方法解决这个问题吗？例题2、 用枚举和画图两种方法解决问题：有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A 上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A 上．请问：它一共有多少种不同的跳法？每个位置都有特殊要求例题1、 （1）乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个．请问：它们共有多少种不同的站法？（2）由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有多少个？朱棣朱高炽 朱高煦 朱高燧 朱高爔朱瞻基 朱瞻埈 朱瞻墉 朱瞻垠 朱瞻墡 朱瞻堈 朱瞻墺 朱瞻垲 朱瞻垍 朱瞻埏朱祁镇朱祁钰小南，我们还是先来看道数学题吧：用1、4、8这三个数字可以组成多少个三位数？高斯先生，这可以用我们之前刚刚学过的字典法则来解决．除了字典法则，能不能用你画人物关系的方法来画呢？我画的这个人物关系图？嗯，长得像棵树呀，难道是树形图的方法吗？第一个位置，可以是谁呢？例题2、（1）有4本书排成一排，唐小虎、柯小南、艾小莎、唐小果四个人选书，每人选1本书．唐小虎不要第1本书，柯小南不要第2本书，艾小莎不要第3本书，唐小果不要第4本书，那么一共有多少种不同的选法？（2）甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个．那么一共有多少种站队的方法？虽然对象比之前的对了，但是也可以用树形图做！例题3、如图，在正方形区域中再放置一个，使之与原有的三个色块形成轴对称图形，共有________种放法．随练1、由1、2能组成________个三位数．随练2、唐小果、唐小虎、艾小莎、柯小南四个人每个人写了一封信，把这4封信放在一起，每个人拿一封信且不能拿自己写的信，那么一共有________种不同的拿法．相邻两位置有特殊要求例题1、（1）一个三位数，每一位上的数字都是1、3、5中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有多少个满足条件的三位数？（2）一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？这题相邻位置都有要求，跟之前的不一样哦~例题2、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？多位数，首位不能为0哦~例题3、粗心的艾小莎忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么艾小莎最多试几次就一定能打开日记本？随练1、一个三位数，每一位上的数字都是2、4、6中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有________个满足条件的三位数．随练2、一个三位数，个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且各位数字都不小于5．那么这样的三位数一共有________个．前面位置影响下一位置例题1、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？最后一步，球在谁手上呢？例题2、唐小果与柯小南两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利．如果最后柯小南获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？例题3、在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对印第安纳步行者队．比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分．最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过．问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？注意条件：“湖人队的总分没有落后过”．例题4、一个两位数，把组成两位数的两个数字相加，如果和还是两位数，继续把两位数的两个数字相加，直到和是一位数为止．按照这样计算，最后的结果是3的两位数有________个．随练1、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．随练2、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．则一共有_________种不同的比赛过程．易错纠改例题1、 刚刚学完了树形图，大家都觉得学得还不错，想要马上大展身手．这时，高斯先生提着一个带密码锁的公文包进来了．最后小虎算出来需要84次，小莎算出来需要125次．高斯先生却只是摇着头笑了笑．那你知道他们谁算的是正确的？如果不正确，那么高斯先生最多需要几次就能打开公文包？拓展1、 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有__________个满足条件的三位数．2、 旦旦、雁雁和蒙蒙玩传球游戏，每次持球人要把球传给另外两人中的任何一人．先由旦旦拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4次传球之后，球到了雁雁手里．那么一共有__________种不同的传球过程．3、 一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？4、 高高队和思思队进行足球比赛，高高队在比赛过程中从未让思思队比分领先过，最后以3比2取得胜利，那么比赛的进球顺序有__________种可能． 这个是我的公文包，但是我忘记了密码，密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字，你们觉得我最多试几次就肯定能打开这个包？我可以的，这个是我们刚刚学过的树形图的“前面位置影响下一个位置”．我画个树形图就好了，高斯先生，您稍等一下．恩恩，小虎说的对．我也可以算出来的．先生，稍等一下哦~看看我跟小虎是不是都算对了．5、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了．请问小高恰好得5分的情况有多少种？6、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号．现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？241357、（1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示．一段时间后，每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？甲乙丙丁戊（2）甲，乙，丙，丁，戊，己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？甲乙丙丁戊己8、分析并口述题目的做题思路及方法．一个人在三个城市A、B、C中游览．他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市．这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线？。

字典法则(字典排列法、整数分拆)知识图谱字典法则知识精讲一．字典排列法所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如：用数字4、5、6可以组成多少个不同的三位数．用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：456、465、546、564、645、654．二．整数分拆1．概念：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．2．方法：在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．将一个整数拆分成三个数相加，其实可以先固定第一个数，那剩下两个数的和也是固定的，这样问题就转化成将一个新的整数拆分成两个数相加．3．分人与分堆的区别：整数分拆时，分堆无顺序，分人有顺序．4．枚举中的至多、至少问题：根据至多、至少的条件用字典排列法进行分类枚举．三．分类计数枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．在分类时，一定要注意类与类之间有没有重复和遗漏的情况．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次培养学生的运算能力．本讲内容是在基本整数分拆的基础上，进一步学习字典排列．能够有顺序的去枚举出符合条件的所有情况，对于情况较多的问题，能够进行合理的分类等．后续课程还会进一步讲解树形图．课堂引入例题1、语文老师给大家留了一篇阅读练习．这天，柯小南在家做作业，发现文章里有好多生僻字，就找来字典用部首检字表查一下．查完后，小南又往拼音音节索引翻了翻，这些拼音音节索引都是按照一定的顺序来的，比如，声母是p，韵母先是a，然后是ai ，an，ang，ao，a为开头的结束后，是e，按照顺序有ei，en，eng．然后再是韵母是i……想到这里，小南想起来以前学过的整数分拆，在数比较大时，总会出现重复或遗漏的情况，如果学习字典上的这种有序排列方式来做题，是不是会好一些呢？例如，高斯先生拿8颗糖分给艾小莎和柯小南，两人都要有，可能有多少种情况呢？例题2、三个整数之和等于7，共有________组这样的三个数．字典排列例题1、满足下面性质的数称为好数：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字的差不超过2．例如1346、3579为好数，而1456就不是好数，那么一共有________个四位数是好数．同学们可以根据要求，从最高位上依次枚举．例题2、高斯先生计划在下周要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去．高斯先生一共有多少种满足条件的时间安排？可以周一、周三、周五去，还可以……例题3、小包子每个5角钱，大包子每个2元钱．艾小莎一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买包子，一共有________种不同的买法．我可以买大包子，也可以买小包子，或者两个都买吧．随练1、唐小虎拿着10元钱去买冰激凌，店里有单价为1元5角和2元的两种冰激凌．如果唐小虎两种冰激凌都要买，并且刚好要把10元钱花完，那他一共可以买多少个冰激凌？分几人例题1、高斯先生给柯小南12个相同的练习本，如果柯小南把这些本子全都分给唐小果和艾小莎，有多少种不同的分法？我可以先给唐小果，那剩下的就都是艾小莎的了．例题2、唐妈妈把9颗糖分给小虎和小果，使得他俩每人都有糖，有________种不同的分法．我先拿，剩下的给姐姐就行了吧？所以我能拿几个有多少种情况，那就有几种不同的分法．例题3、唐小果把6个相同的笔记本分给唐小虎、柯小南和艾小莎三个人，有人可能没分到，共有________种不同的分法．我可以先给小虎拿，问题就变成小南和小莎两个人去拿了．例题4、两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有________种不同的分法．最少分到5枚金币，那就是说最多分到15枚．例题5、三个同学分6个高思积分，每个同学至多分到4个高思积分，也有可能分不到，共有________种不同的分法．先看看6可以拆成哪三个数相加．例题6、老师要求唐小虎把一篇英语课文抄写4遍，每天至少写1遍．那么唐小虎完成这些课文共有________种不同的可能．小虎，怎么又被罚抄了？认真写哦~随练1、把9块蛋糕分给果果、蕊蕊、莹莹三个小朋友，每位小朋友至少要有2块蛋糕，共有多少种不同的分法？随练2、猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴爸和猴妈，并且猴爸和猴妈都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？分几堆例题1、现在有7束玫瑰花，要把它们分成2堆，一共有多少种不同的分法？注意分两人和分两堆的区别哦~例题2、艾小莎有20块巧克力，如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块巧克力，那么一共有多少种不同的分法？分两堆，是不计次序的．小莎，要注意一下．例题3、小刘去地里挖红薯，一共挖了11个红薯，现在要把它们分成3堆，一共有多少种不同的分法？分三堆，是不是不能为0呢？例题4、 15个苹果分3堆，每堆至少放3个苹果，至多放7个苹果，共有________种不同的分法． 例题5、 有19本书，分成5份．如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，有多少种分法？ 随练1、 把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？随练2、 科学老师让大家观察蚂蚁的习性，唐小虎在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有________只．分类枚举法例题1、 艾小莎要从苹果、梨、橘子、桃中挑2个水果来吃，每种水果都有很多个，共有________种不同的挑法． 例题2、 从1～8这八个自然数中， 任取三个数，其中没有连续自然数的取法有________种．例题3、 高斯先生拿来三块木板，上面分别写着数字1，2，3．唐小虎可以用这些木板拼出多少个不同的数？例题4、 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法有多少种？例题5、 一个骰子，各面点数已画好，分别为1~6；从空间一点看，能看到的不同点数的组合一共有________种．随练1、 把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？随练2、 1997的数字和是199726+++=，在小于2000的四位数中，数字和为26的除了1997外还有几个？可以分类枚举，如果有4，那就不能有3和5了．题目中没有说3块木板都要用……这些鸡蛋最少吃1天，最多就吃3天吧．从每个面、每条棱、每个点看过去的都不一样哦~易错纠改例题1、 从3个1，2个2，1个3中选出3个数字可以组成________个不同的3位数．拓展1、 从1，2，3，4，5，6中任意选出三个不同的数字，使它们的和为偶数，一共有______种不同的选法． A.6 B.9 C.10 D.122、 如图，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A ．这只小蚂蚁一共有___________种不同的走法．3、 白雪公主要吃完10个相同的苹果，每天至少吃3个苹果，所吃天数不限，一共有__________种不同的吃法．4、 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元．他今天一共卖出了5个木偶．小李今天一共可能卖了多少钱？5、 （1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？ （2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个．要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？6、 18个苹果分成3堆，每堆至少放4个苹果，至多放9个苹果，共有__________种不同的分法．7、 在所有四位数中，各位数字之和超过32的共有多少个？8、 分析并口述题目的做题思路及方法．盘子里一共有20颗花生，唐小虎和唐小果一起吃．每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）．请列举出他们吃花生数量的所有情况．1、2、3组成三位数有6个！不对不对，小虎，是3个1，2个2，1个3．那3、1、2、2、1、3组成的三位数有24个．也不对，认真审题哦~DABC。