第13课、字典排列法与树形图

6.2排列与组合6．2.1排列知识点排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个________．特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个________．答案：排成一列排列全排列[重点理解](1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．(2)只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列．(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质：有序．(4)判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素时是有序还是无序，有序就是排列问题，无序就不是排列问题．(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有：字典排序法、树形图法、框图法．[自我排查]1．(2021·浙江杭州高二检测)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题．故选B.2．(2021·浙江杭州高二检测)三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种答案：C解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式．故共有6种不同的传递方式．3．由1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数分别是________．答案：123,132,213,231,312,321解析：用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．课堂篇·重点难点要突破研习1 排列的概念[典例1]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组去种菜；(3)选10人组成一个学习小组；(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(5)某班40名学生在假期相互通信．思路点拨：判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．解：(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(2)(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．(4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中，(1)(4)(5)属于排列问题．[巧归纳]1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[练习1]下列问题中属于排列问题的是()A．从10个人中选出2人去劳动B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数答案：D解析：A.从10个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组，与顺序无关，故错误；D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确．故选D.研习2 排列的列举问题[典例2](教材P16例2改编)写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．思路点拨：(1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．[巧归纳]利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1．适用范围：“树形图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2．策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[练习2]某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是() A．24 B．22C．20 D．12答案：D解析：分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语；语文、外语、数学；数学、语文、外语；数学、外语、语文；外语、语文、数学；外语、数学、语文共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．课后篇·基础达标延伸阅读1．(2021·安徽蚌埠第三中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示：如果把5根算筹以适当的方式全部放入三个格子中，那么可以表示的三位数的个数为()A．46 B．44C．42 D．40答案：B解析：按每一位数上算筹的根数分类，一共有15种情况：(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)，由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2，故5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选B.2．(2021·四川绵阳高二期末)由1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是________．(用数字作答) 答案：12解析：由题意，1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数，其中能被2整除，先排个位数字，从2和4中任意一个排在个位数上，共有2种排法，剩余的3个数字，共有3×2×1＝6(种)排法，由分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12(种)不同的排法，即四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是12个．故答案为12.3．(2021·贵州高二期末(理))用0,2,4,6,8这五个数字，可以组成________个三位正整数．答案：100解析：百位不能为0，有4种选法，十位有5种选法，个位有5种选法，所以共有4×5×5＝100(种)选法．故答案为100.4．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.[误区警示]重复计数与遗漏计数[示例]6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法共有________种．[错解]错解一：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理可知，不同排法共有30×12＝360(种)．错解二：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，安排余下的2人，有2×1＝2(种)排法．因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有3×2×1＝6(种)排法．由分步乘法计数原理可知，不同排法有30×12×2×6＝4 320(种)．错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置．错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了．[错因分析]排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重复或遗漏．[正解]16个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有6×5×4×3×2×1＝720(种)．[答案]720。

一年级的奥数都学些什么呢？一、认识数（一）有趣的“0”“一年级0”可以表示没有，“0”可以参加计算，“0”在数中起到占位作用，“0”可以表示起点，表示0度。

（二）基数与序数表示物体的多少时，用的是基数；表示物体排列的次序时，用的是序数。

基数与序数不同，基数表示物体的多少，序数表示物体的排列次序。

二、数一数（一）数简单图形数零乱放置的物体或数某一类图形的个数时，应先将所有物体依次标上序号，可以按照序号，顺序观察，数准指定的图形。

注意对于同一个物体，从不同的角度去观察，观察的结果也会不同。

因此在数简单图形时，要善于从不同的角度观察问题、分析问题。

（二）数复杂图形数复杂图形时可以按大小分类来数。

（三）数数按条件的要求去数。

三、比一比当比较的2个对象整齐的排列时，很容易采用连线比的方法比较出谁多谁少。

如果比较的2个对象是杂乱排列的，可以通过数数目的方法进行比较。

也可以采用分段比的方法。

四、动手做（一）摆一摆要善于寻找不同的方法。

（二）移一移五、找规律（一）图形变化的规律观察图形的变化，可以从图形的形状、位置、方向、数量、大小、颜色等方面入手，从中寻找规律。

（二）数列的规律数列就是按一定规律排成的一列数。

怎样寻找已知数列的规律，并按规律填出指定的某个数是解题的关键。

（三）数表的规律把一些数按照一定的规律，填在一个图形固定的位置上，再把按照这一规律填出的图形排列起来。

从给出的图形中寻找规律，按照规律填图是解题的关键。

六、填一填（一）填数字给出的算式是一组，不同算式中相同图形中所填的数字是相同的。

在做这些题时，不要为只填出一个答案而满足，应找出所有的答案。

如果不必要一一列出时，应给以说明，这才是完整、正确的解答。

（二）填符号比较2个数的大小，首先要比较2个数的位数，位数多的数大；其次，当2个数的位数相同时，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大。

当2个数各个相同数位上的数都分别相同时，这2个数相等。

比较2个算式的大小的方法是：（1）同一个数分别加上（或减去）1个相等的数，所得的结果相等；（2）同一个数分别加上2个不同的数，所加的哪个数大，那个算式的结果就大；（3）同一个数分别减去2个不同的数，所减的哪个数小，那个算式的结果就大；（4）2个不同的数减去同一个数，哪个被减数大，那个算式的结果就大。

6基础例题：在上一讲中我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况一一列举出来．但如果问题较为复杂，直接枚举很有可能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况．本讲就主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法．同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从a 到z 排列，首字母相同的单词都在一起．在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列，然后是我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还是先吃玉米，哎，还是先吃饼干吧！到底先吃什么呢？共有多少种不同的吃法？这里的东西可真好吃，肚子好胀哦！我要带回去一些慢慢吃。

如果我把这三个东西都带回去，一天吃1个，还可以再吃3天呢？ 第二讲枚举法中的字典排列第3个字母，第4个字母……所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如，用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：123，132，213，231，312，321．下面我们用字典排列法来解决几个问题．例题1．卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？练习：1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励方法？例题2．老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法．试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1）和（5、1、2）都算同一种写法．练习：2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键．往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系．在求解计数问题时，审题非常关键．往往一字之差就会有天壤之别．枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．例题3如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字．请问：（1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？7（2）从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几种可能？练习3有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同．不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？例题4数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类．练习4数一数下图中包含星星的正方形有多少个？在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者还有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举．例题5妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限．可能的吃法1 2 3 4 5 6 78一共有多少种？分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2个．照此推算，最多能吃几天？例题6午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多．东东想要挑3个水果吃．请问东东有多少种不同的选法？分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？课堂内外字典是如何排序的？在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较，如果相同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从a到z的顺序进行排列．比如说：book和look这两个单词，第一个字母分别是b和l，b排在l前面，所以book排在look之前．再比如说：book和boat这两个单词，前两个字母都是bo，所以就看第三个字母，o在a之后，所以字典里book出现在boat之后．再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用的都是按拼音字母的顺序进行排序，方法与英语字典相同．其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是按照部首以及笔画来排序的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按部首排序，每个部首之中再按剩下的笔画数从少到多进行排序．中文字典除了按拼音、部首等顺序排列之外，还有四角号码、笔顺等多种排序方法．9作业1.有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？2.有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有多少种？3.老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写1篇．那么墨莫完成这些作文共有多少种不同的可能？4.爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他8个苹果，要求每天至少吃2个，吃完为止．那么墨莫一共有多少不同的吃法？5.体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿4个，请问小高有多少种不同的选择？10第二讲枚举法中的字典排列1.例题1答案：21种详解：按照字典排列法，依次枚举卡莉娅、墨莫和小高三人所找到的宝物数量，由于每人最少找到0件宝物，最多找到5件，所以按（卡莉娅、墨莫、小高）的形式枚举出：（0、0、5），（0、1、4），（0、2、3），（0、3、2），（0、4、1），（0、5、0），（1、0、4），（1、1、3），（1、2、2），（1、3、1），（1、4、0），（2、0、3），（2、1、2），（2、2、1），（2、3、0），（3、0、2），（3、1、1），（3、2、0），（4、0、1），（4、1、0），（5、0、0），共有21种不同的可能．2.例题2答案：10种详解：由于题目要求三个数顺序不同算作同一种方法，所以在枚举时只需要考虑从小到大排列的情况．用字典排列法不难得到：=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++ 8008017026035044116125134224233，共有10种不同的可能．3.例题3答案：（1）5种；（2）6种详解：（1）7和5，6和4，5和3，4和2，3和1；（2）和为10：7和3，6和4；和为11：7和4，6和5；和为12：7和5；和为13：7和6．4.例题4答案：12个详解：按长方形的大小分类．一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四格的有3个，+++++=个．六格的有2个，八格的有1个．共有132321125.例题5答案：8种详解：天数最多3天．按天数分类．吃1天的有1种，吃2天的有4种，吃3天的有3种．共++=种．有14386.例题6答案：10种详解：3个水果既可以同种，也可以不同种．因此可按所选水果的种类数量进行分类：（1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共3种情况；（2）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况；（3）3种水果都选：每种水果各1个，共1种情况．++=种情况．综上所述，共有361107.练习1答案：10种简答：每人至少1本，人与人不同，所以是“有顺序”的问题，枚举可得共有10种不同的奖励方法．8.练习2答案：8种简答：题目要求是3个大于0的数组成一组，也就是“无顺序”，在枚举时要注意前后的大小关系，共8种．9.练习3答案：12种11简答：9和3、4、5、6、7、8；8和4、5、6、7；7和5、6．10.练习4答案：10个简答：按正方形的大小分类．一格的有1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1 +++=个．个．共有14411011.作业1答案：3种简答：（2、1、1）；（1、2、1）；（1、1、2）；共3种．12.作业2答案：10种简答：按取出的钱所含的面值种数分类，可能是1种面值，也可能是2种面值，也可能是3种面值．3类情形加起来共有10种可能．13.作业3答案：8种简答：根据天数分类．1天、2天、3天、4天完成分别有：1、3、3、1种情况，共8种可能．14.作业4答案：13种简答：按吃完的天数分类，分为4类：1天、2天、3天、4天．这四类分别有1、5、6、1种情况，共13种不同的情况．15.作业5答案：5种简答：按取出的球的种类数量进行考虑：取出的球可能有1种或2种．分上述2类进行枚举，共有5种不同选择．12。

明朝那些事（树形图)知识图谱明朝那些事知识精讲一．树形图对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法．“树形图”可以使枚举过程形象直观、有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然．一般适用于以下条件的题目：1．每个位置有特殊要求；2．相邻两个位置有特殊要求；3．前面位置影响下一个位置．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次还会注重培养学生的运算能力．本讲内容是在字典排列的基础上，继续学习树形图．在需要对整件事情的过程进行枚举的问题，会更多的使用树形图．后续课程还会继续学习更为简便的计数方法．课堂引入例题1、 在相继读完四大名著后，柯小南想要研究一下明朝的历史，在高斯先生的建议下，柯小南找来了《明朝那些事儿》．阅读了一部分后，柯小南就画了一部分明朝皇帝的人物关系图．柯小南带着人物关系图想要跟高斯先生交流一下对明朝历史的理解．高斯先生看到这张图后，沉思了一会．高斯先生微笑着点了点头，肯定了柯小南的想法． 同学们，能帮柯小南用树形图的方法解决这个问题吗？例题2、 用枚举和画图两种方法解决问题：有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A 上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A 上．请问：它一共有多少种不同的跳法？每个位置都有特殊要求例题1、 （1）乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个．请问：它们共有多少种不同的站法？（2）由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有多少个？朱棣朱高炽 朱高煦 朱高燧 朱高爔朱瞻基 朱瞻埈 朱瞻墉 朱瞻垠 朱瞻墡 朱瞻堈 朱瞻墺 朱瞻垲 朱瞻垍 朱瞻埏朱祁镇朱祁钰小南，我们还是先来看道数学题吧：用1、4、8这三个数字可以组成多少个三位数？高斯先生，这可以用我们之前刚刚学过的字典法则来解决．除了字典法则，能不能用你画人物关系的方法来画呢？我画的这个人物关系图？嗯，长得像棵树呀，难道是树形图的方法吗？第一个位置，可以是谁呢？例题2、（1）有4本书排成一排，唐小虎、柯小南、艾小莎、唐小果四个人选书，每人选1本书．唐小虎不要第1本书，柯小南不要第2本书，艾小莎不要第3本书，唐小果不要第4本书，那么一共有多少种不同的选法？（2）甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个．那么一共有多少种站队的方法？虽然对象比之前的对了，但是也可以用树形图做！例题3、如图，在正方形区域中再放置一个，使之与原有的三个色块形成轴对称图形，共有________种放法．随练1、由1、2能组成________个三位数．随练2、唐小果、唐小虎、艾小莎、柯小南四个人每个人写了一封信，把这4封信放在一起，每个人拿一封信且不能拿自己写的信，那么一共有________种不同的拿法．相邻两位置有特殊要求例题1、（1）一个三位数，每一位上的数字都是1、3、5中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有多少个满足条件的三位数？（2）一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？这题相邻位置都有要求，跟之前的不一样哦~例题2、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？多位数，首位不能为0哦~例题3、粗心的艾小莎忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么艾小莎最多试几次就一定能打开日记本？随练1、一个三位数，每一位上的数字都是2、4、6中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有________个满足条件的三位数．随练2、一个三位数，个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且各位数字都不小于5．那么这样的三位数一共有________个．前面位置影响下一位置例题1、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？最后一步，球在谁手上呢？例题2、唐小果与柯小南两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利．如果最后柯小南获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？例题3、在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对印第安纳步行者队．比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分．最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过．问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？注意条件：“湖人队的总分没有落后过”．例题4、一个两位数，把组成两位数的两个数字相加，如果和还是两位数，继续把两位数的两个数字相加，直到和是一位数为止．按照这样计算，最后的结果是3的两位数有________个．随练1、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．随练2、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．则一共有_________种不同的比赛过程．易错纠改例题1、 刚刚学完了树形图，大家都觉得学得还不错，想要马上大展身手．这时，高斯先生提着一个带密码锁的公文包进来了．最后小虎算出来需要84次，小莎算出来需要125次．高斯先生却只是摇着头笑了笑．那你知道他们谁算的是正确的？如果不正确，那么高斯先生最多需要几次就能打开公文包？拓展1、 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有__________个满足条件的三位数．2、 旦旦、雁雁和蒙蒙玩传球游戏，每次持球人要把球传给另外两人中的任何一人．先由旦旦拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4次传球之后，球到了雁雁手里．那么一共有__________种不同的传球过程．3、 一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？4、 高高队和思思队进行足球比赛，高高队在比赛过程中从未让思思队比分领先过，最后以3比2取得胜利，那么比赛的进球顺序有__________种可能． 这个是我的公文包，但是我忘记了密码，密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字，你们觉得我最多试几次就肯定能打开这个包？我可以的，这个是我们刚刚学过的树形图的“前面位置影响下一个位置”．我画个树形图就好了，高斯先生，您稍等一下．恩恩，小虎说的对．我也可以算出来的．先生，稍等一下哦~看看我跟小虎是不是都算对了．5、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了．请问小高恰好得5分的情况有多少种？6、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号．现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？241357、（1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示．一段时间后，每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？甲乙丙丁戊（2）甲，乙，丙，丁，戊，己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？甲乙丙丁戊己8、分析并口述题目的做题思路及方法．一个人在三个城市A、B、C中游览．他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市．这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线？。

等式代换例1：已知○+○+○+○=60，▲=○+○，⭕+⭕+⭕=▲，那么⭕代表多少？例2：丁丁去文具店买了5支签字笔和6支红笔，一共用了13元5角，2支签字笔的价钱等于3支红笔的价钱。

红笔和签字笔的单价各是多少？例3：桃子和苹果共240个，其中桃子的数量是苹果的2倍，桃子和苹果各有多少个？例4：假如12只鸡可换两头羊，9头羊可换3头猪，8八头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只鸡？例5：已知一只鸡与一只羊共2000克，1只鸡与1只猴共1800克，1只猴儿与1只鸭共重2200克，三只动物每只各重多少克？例6：丁丁和牛牛各有书若干本。

已知丁丁的书是牛牛的3倍。

如果丁丁给牛牛10本书，则牛牛的书是丁丁的3倍。

丁丁和牛牛原来各有多少本书？练习题练习1：玩具店里的水果模型。

1个柿子的重量等于3个苹果的重量。

2个苹果的重量等于3个梨的重量。

2个梨重60克。

一个柿子多重？练习2：学校体育部要买15个排球和8个足球。

一个足球75元。

3三个排球的价钱等于2个足球的价钱。

体育部这次采购要花多少钱？练习3：同学们在生物课外活动中种花生的棵数比白薯多280棵。

花生壳数是白数的15倍。

花生白薯各种了多少棵？练习4：用3个鹅蛋能换9个鸡蛋。

2个鸡蛋能换12个鹌鹑蛋。

用5个鹅蛋能换多少个鹌鹑蛋？练习5：已知a+b=30。

b+c=35。

a+c=25。

求A、B、C各是多少？练习6：1个柚子加1个梨等于7个桃子的重量。

2个梨的重量等于4个桃子的重量。

那么，1个柚子的重量等于几个桃子的重量？字典排列法与树形图例1：乐乐老师打算把苹果梨香蕉分给丁丁和牛牛。

每人至少分到一样水果。

有多少种不同的分法？练习1：妈妈买了一红二黑的三支粉笔分别送给姐姐和妹妹。

一人最少拿到一只。

问有多少种不同的拿法？例2：现在有数学卡片0，1，2，3各一张，可以排成多少个不同的四位数？练习2：现在有数学卡片1234各一张。

可以排成多少个不同的四位数？例3：一本儿童故事的单价是50元。