下载文档原格式
学习笔记
3.1.4 代数式表示规律导学案
预习目标
1、能用代数式表示数与图形的变化规律;
2、培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.
任务一：日历上的数字规律
如图，这是一个由1~120的连续整数排列的“数阵”，如果用方框围住9个数，那么
这9个数的和随方框位置的变化而变化.
（1）如果设方框左上角的数为a，用含有a的代数式表示这9个数的和。
a
（2）如果设方框正中间的数为m，用含有m的代数式表示这9个数的和。
m
（3）如果将方框由左向右平行移动一列，那么这9个数的和会有怎样的变化？如果将
方框由上向下平行移动一列，那么这9个数的和又有怎样的变化？
任务二：几何图形的规律
下图是由点组成的n行n列的方阵。
方阵的总点数为_______；方阵的总点数为_______________。
2.3.3 日历中的数学规律师：同学们，我们来做一个考考老师的小游戏吧~请你任意圈出横行上相邻的三个日期，只要你把计算的和告诉邹老师，我就能马上知道你圈出的是哪三个数？师：同学们，大家想不想知道老师为什么可以这么快说出这三个数来？那我们就一起走进今天的课堂，板书：日历中的数学规律~师：现在请大家观察，这样的水平三邻数有什么样的规律？猜想一下，水平三邻数之和与中间数存在怎样的数量关系呢？是不是所有的水平三邻数都满足这样的规律呢？怎样进行验证？前面我们用字母表示数，如果我把中间的数设为x，那么左右两边分别是多少呢？能不能设左边或者右边的数呢？（那这种设法留给大家课下探究）师：刚才我们利用日历中的特殊数据，猜想出水平三邻数的规律，通过设中间数为x，利用整式的加减验证了它的一般规律。
现在请大家类比水平三邻数的探究方法，分小组探究竖列、斜下、斜上三邻数以及“十字形”、“X字形”、九宫格中各数之和与其中间数的数量关系，并把探究结论和过程写在学案上。
探究完毕后，请小组代表发言。
师：刚刚我们类比水平三邻数的探究方法，用整式的加减探究了竖列、斜下、斜上三邻数以及“十字形”、“X字形”九宫格中的数字规律，接下来我们就运用这些规律来解决实际问题。
师：这堂课中我们通过生活中的日历探究了日历中的数字规律，利用12月份的日历，首先探究了水平三相邻数的数字规律，并类比水平三相邻数规律的探究方法，探究了数列、斜上、斜下三相邻数以及我们的“十字形”“X字形”、九宫格这些图形当中数字建立的规律，在这个过程中，我们通过用字母表示数，利用整式的加减进行了猜想验证。
我们在探究过程中通过从特殊到一般，采取类比等数学思想方法，经历了观察---猜想---验证等过程，希望大家通过这节课的学习，能更好掌握这些方法，为今后数学学习打下良好的基础。
2220213初中数学活动课的教学实践与思考—–以“日历中的规律”为例广东省广州市教育研究院(510000)伍晓焰摘要数学活动课是在教师的指导下,通过学生自主活动,以获得直接经验和培养实践能力的课程.文章以“日历中的规律”为例，探讨数学活动课的教学.关键词活动课；日历；数学思维最近,笔者参加了以同课异构的形式进行的“日历中的规律”的课例研讨活动,活动中两位授课教师教学风格迥异,设计思路也大相径庭,由此引发了笔者关于初中数学活动课的一些思考.1明晰开设数学活动课的意义数学活动属于课程标准“综合与实践”的内容.2011版《义务教育数学课程标准》(以下简称《课标》)指出:“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.数学活动课是在教师的指导下,通过学生自主活动,以获得直接经验和培养实践能力的课程.人教版教材每一册书均安排了一定数量的数学活动,旨在让学生在活动中加深对相应内容的认识,使学生切实掌握数学基础知识和基本技能,提高运用知识的能力,积累数学活动经验,发展学生的数学核心素养,使学生确实感受到学习数学的乐趣和意义.根据全国教育大会提出人才培养需要德智体美劳“五育并举”全面发展的要求,数学活动课需要紧密联系实际生活,尊重学生认知规律,充分体现立德树人鲜明导向,强调研究的过程性和展示结果的立体性,促进学生的全面发展.在数学活动课的教学中,要突出实践性和综合性,强调“实践”就是要让学生参与活动的全过程,要发挥学生的自主性,让学生动脑、动手、动口以体现活动的全面性;强调“综合”就是既要注重数学内部知识间的联系,也要注重数学与生活实际、其他学科之间的联系,从而体现数学知识的综合应用.在教学中不能把“数学活动”等同于“解题活动”.2重视教学目标分析在笔者听的两节课中,A教师教学中让学生寻找月历中各种情形的规律,注重得到种种规律的结论;B教师关注寻找规律的过程,及时归纳渗透数学思想方法.课后也引发了老师们的讨论:这节课的教学目标是什么?重点关注的是活动过程还是结论?事实上,准确的教学定位离不开对课标、教材和学情的分析.本节课的教学内容来自人教版“整式的加减”章末的数学活动3.《课标》对整式的加减的要求是:(1)借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义.(2)能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示.(3)理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算.本课的学习内容是利用字母表示数、整式的加减来探求月历中的简单数量关系,经历从具体情境中抽象出数量关系和变化规律的过程,进一步体会用字母表示数的思想.学习的结果有三个:一是利用字母表示数、整式的加减来探求月历中的简单数量关系,二是模型思想,三是从特殊到一般的数学思想方法.第一个结果属于规则,学生已在本章学习过方法,这节课将在月历中处理问题.后两个结果是数学思想方法,对于刚从小学升入初中的七年级学生来说,数学思想方法是陌生的、抽象的,虽然在前面有理数、整式的加减等内容学习中有所接触,但远没达到理解和掌握.一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰,从理解到应用的长期发展过程,需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成,学生只有经历这样的过程,才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想,因此数学思想方法比数学基础知识的学习需要更多的例子、经历更多的时间、需要提供更多的练习机会.本课用字母表示数探求月历中的规律,由于在日历中选取的方案不同可能导致规律不同,但在获得这些规律时用到了蕴含其中的共同的数学思想方法,如果学生能学习体会这些思想方法,那么既可以用它们解决更多的相关规律性的问题,又可以为后续学习形成解决问题的基本思路与方法,因此本节课获得结论固然重要,但学生在获得规律的过程中进行探索、创造、思考、交流,感悟体会模型思想和从特殊到一般的思想比规律本身更重要.基于以上的分析与认识,确定本节课的教学目标具体表述为:1⃝能利用字母表示数的方法和整式加减运算探求月历中某些数的规律,并能用这些方法设计和解决月历中其他数2021323的规律;2⃝经历探索月历中的规律的过程,进一步体会字母表示数、从特殊到一般、模型思想等数学思想方法.教学重点:如何用代数式来表示、寻找月历中的数学规律.教学难点:如何选取适当位置的数来设取未知数,使得寻找规律更简便.3关注学生的知识起点A教师在上课起始设置了如下复习环节:填空:1⃝三个连续自然数中,若第一个数为n,则后两个数可表示为:、;2⃝三个连续偶数中,若中间数为2n,则前后两个数可表示为:、;3⃝初一(1)班男生为n人,女生是男生的2倍少8人,则女生的人数是人;4⃝三个连续奇数中,若最后一个数为2n−1,则前面两个数可表示为:、.A教师设置此环节的意图是:该班学生的数学基础较弱,学习“字母表示数”时对“小1怎么办、大1怎么办”的字母表示存在困难,用字母说明“月历中的规律问题”就更难了,大多数学生能想,但在“能说、能写”上显得力不从心.鉴于学生的知识起点,教师利用题组帮助学生复习基础,为寻求月历中的规律时运用字母表示数扫清障碍.B教师则没有这个环节,直接寻找规律,但由于学生对于根据具体情境写代数式基础欠缺,即使能设计方案,也无法列式,导致后来学生无法深入开展探究活动.教育心理学家认为,原有知识不仅决定学习难易,而且常常决定学习的成败.奥苏伯尔认为影响学生学习的唯一重要因素是原有知识,是很有道理的.建议在活动课的教学中,要注意摸清所教学生的知识基础、年龄特点等状况,有的放矢进行教学设计,才能使教学目标真正达成.4活动课的教学策略4.1创设情境,激发兴趣初中数学课堂有一种普遍现象,上数学课之前,学生齐声诵读数学定理、概念等.教师们认为这种方式可以使学生尽快将注意力集中到课堂上来,并且熟背概念、法则.数学是研究数量关系和空间形式的科学,它与人类发展和社会进步息息相关,不仅是自然科学和技术科学的基础,而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用.如果要吸引学生的注意,不如思考创设怎样的情境抓住学生的心,要比枯燥地诵读好得多,学生也在兴趣盎然中爱上数学,数学之所以重要,是因为它在人类发展中的重要作用,如果只是为了记住知识的死记硬背,反而学生误以为数学背诵就可以了,数学课等于解题课,并不知道它的应用的重要性,导致很多学生对数学丧失兴趣.活动课往往内容丰富有趣,学生参与机会多,是非常好的提升学生的学习兴趣和发展能力的载体.好的开始是成功的一半,在开始的环节,可以根据内容创设生动的情境,以数学文化、与其他学科的联系引入,带领学生感知数学的魅力.“日历中的数学”这节课中,B教师创设了如下情境作为引入:数学家的眼光与其他人有什么不同呢?同样一片落叶,佛家看到轮回,作家看到伤感、浪漫,物理学家看到万有引力、空气阻力,数学家看到……我们今天用数学家的眼光看待月历中的数学问题.想学会用数学家的眼光看问题吗?看看哪一位同学能成为这一节课最出色的数学家.在这节课快要结束时,B老师与开始环节呼应,数学有哪些有趣的发现呢?结束语:留心处处皆数学(利用PPT展示数码相机、数字电影、动画、火箭之速、粒子之微,卫星、自然界中的分形图),善用数学家的眼光观察周围的事物,“万物皆数”.在上课开始从数学家的眼光、不同角度看待落叶所得到的启发,吸引了所有学生,教师从人类史上经典知识的产生到数学家如何看待数学,既从数学文化的角度又与其他学科相联系,是大家所熟知的例子,同时给学生以鼓励,以一个数学家的眼光审视生活中常见的月历,尝试从不同角度寻找其中的规律,起点低,生活化,学生易接受.这种情境既引起所有人的注意力,又直接指向这节课的教学目标—–到月历中寻找规律.创设情境的方式可以多样,活动课更加有很多选择性,比如以游戏创设情境,激发学生的求知欲.如本节课有一位老师这样处理:展示一张月历,请同学们随意框住横排上的三个相邻的数,并算出三个数的和,只有你说出这个和,老师就可以说出这三个数是多少.学生与老师开始进行游戏,学生惊奇地发现无论怎么出题,老师都能快速准确给出答案?到底这背后有什么规律呢?激发起学生的好奇心,使学生产生要学习寻找规律的欲望.心理学研究表明,学习动机不仅影响学生学习努力的程度,而且影响学生学习的方法.由于对知识的兴趣而激发的内在2420213学习动机,将影响学生追求学习的质量,而不是表面成绩.出于外因所诱发的外部动机,学生可能追求表面的成绩而不求甚解.如果在情境的创设上多下一点功夫,那么学生就不是被动的学习,而是真正想要学,当内驱力形成,学生自我学习思考的效率将得到提高.4.2教师指导,有效活动活动课一般有学生的活动环节,但在设置活动的时机和如何组织有效地开展活动值得认真研究,学生活动应在必要时开展,不能为活动而活动.何时设置活动比较好呢?笔者认为,如果问题呈现多样性,学生有足够的发散、探究空间,并且活动内容不会脱离学生能力要求,属于跳一跳够得着的,这些情形下设置学生活动,效果较好.如何有效组织活动呢?教师的指导作用很重要,但必须拿捏好指导的“度”.教师干预性太强,学生会没有自我思考的空间.教师放任不管,学生可能在活动中浑水摸鱼,没有真正参与讨论,聊自己的东西;也有的学生由于没有明确的指引,还没有形成研究的方法,不知从哪里下手;有的学生基础较弱,没有发言权,小组活动沦为强者的活动,弱势群体则边缘化.因此,教师在活动课的设计、组织学生活动时,要考虑如何让学生紧紧围绕主题、有序地开展活动.下面看看A、B两位教师在活动指导时的做法:A教师:观察下面的月历,请同学们想想它有什么规律?请把你的想法与同学交流,并把未解决的问题提出来与同学分享(小组讨论)思考:这种小组活动,讨论范围太大,指向性不明确,因为在提出这个活动之前,老师没有任何范例或提示,学生根本不知道朝哪个方向找规律,还有的学生即便找到规律,可能并不是老师所需要的.这种活动开展效率不高,目标不明确.B教师:问题1，月历中连续三个数有什么规律?问题2，从数学的角度,你能从月历中发现被“九宫格”框住的9个数,其中的数字规律或提出一个问题吗?能用含字母的式子表示你的发现吗?问题3、你能根据图中的“十”字形(或“H”字形)发现一个结论吗?能用字母表示并验证你的发现吗?问题4、你能够尝试设计一个图形框框,研究框住的数字有什么运算规律,并尝试证明吗?B教师以4个问题为线索展开活动,从四个问题串的设计看到,提问由浅入深,活动由指定性到开放性,首先有教师的示范讲解,教师引导学生从横、竖、斜三种方式找寻规律,目的让学生知道如何使用“用字母表示数”寻找规律的这种方法,然后再出现问题2,问题2的表述清晰准确,清楚指明了活动的目标与方法,使得学生在教师有示范的前提下开展“九宫格”框住的9个数的规律的探究活动,学生已经懂得寻找规律的方法,但缺乏用字母表示数字规律的经验,问题2重点解决如何设取未知数使得运算简便.问题3引导学生从数学的角度,学会更深入地提出问题(不仅仅是解答课本的习题),运用学过的整式的知识解决问题.问题4让学生通过之前的学习探究,分组开始尝试自己设计图形,并用所设计图形在月历上进行探究数字一般规律,尝试证明规律,这样的活动设置增强学生参与课堂能力,还回生动活泼的课堂,让学生体会数学乐趣并获得成功.这个活动由于铺垫充分,又能充分发挥学生的创造性,课堂上学生视角不一的设计精彩纷呈.教师提问,学生设计图形,自行探索所得图形框住的数学规律,最后勇于发表自己的看法与结论.活动中,教师既要肯定学生用字母表示数来解释自行设计的任何一种图形,同时也要注意引导学生探索更高层次图形中的更一般规律.由此可见,活动的设置需要适时,引导要恰当,才能达到好的效果.4.3归纳提炼,反思优化活动课不能仅是活动,除了表面上的热闹,还要带领学生思考活动背后的内涵,因此在小组活动之后要进行阶段性小结,目的是为了让学生及时对问题再进行反思,为后面教学内容打下思路基石.如何有效引导学生总结活动规律,得到数学结论.在课结束之时也要进行归纳提炼,寻找月历中的规律收获到的方法,从特殊到一般,用字母表示数,如:引导学生发现日历中相邻两个数间的关系,可以小结如下的规律:(1)横行相邻数的大小关系:右加1(2)竖列相邻数的大小关系:下加7(3)上升对角线相邻数的大小关系:右上减6(4)下降对角线相邻数的大小关系:右下加8(下转封底)追”:抛物线的开口方向有没变化、对称轴有没有变化、顶点坐标有没有变化、增减性有没有变化、有没有过某个定点、与坐标轴的交点坐标有没有变化等,从中挖掘其中的隐含信息,寻找不变量,把握图像的变化规律,并注意积累解题经验.实际上,对于含参的二次函数y=ax2+bx+c,如果a、b、c之比为定值时,与x轴的交于定点;如果a、b的比为定值时,对称轴或顶点横坐标一定不变;解析式如果能够因式分解成两个一次式的乘积,就意味着对称轴以及与x轴两交点间的距离可研究,观察解析式,看有没有哪组值代入,刚好令相关参数全部消除,这就说明图像过某个定点.参考文献[1]张青云.从课本到胡不归—–2017年广州中考第24题思路突破与感悟[J].中学数学,2017(8):86-89.(上接第24页)整节课的小结:4.4关注过程,多元评价活动课进行多元化教学评价有助于促进学生积极学习,B教师在课堂上进行小组评价和个人评价将结合,充分调动了学生的积极性,课堂上的学生回答问题,小组内发言人的调控,发言的独创性等都可以展开评价,评价方式的多元化,让学生不再局限于分数,给了学生更多样的表达想法的空间,也顾及到更个性化的学生需求.综上,初中数学活动课应该在充分分析教学内容和学生起点的基础上明晰活动课教学目标,创设适当的情境,合理设计学生活动,致力于提升学生的学习兴趣和数学思维,使学生在活动中感悟数学,体验数学思想方法,真切感受到数学的作用与魅力.参考文献[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京师范大学出版社,2011.7[2]课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书教师教学用书.数学.七年级上册.[M].北京:人民教育出版社,2016.5[3]伍晓焰,曾辛金.数学可以这样玩—–广州市初中“玩转数学”获奖作品集[M].广州:广州出版社,2019.。
《月历中的数学》教案学习目标：(1)探究月历中的数学规律，熟练运用整式的加减，方程等知识解决实际问题；(2)体会从特殊到一般再到特殊的研究分析问题的方法；(3)通过合作交流、反思质疑，体验获得成功的乐趣，培养对数学的兴趣，建立学好数学的自信心．学习重点：探究月历中的数学规律，熟练运用整式的加减，方程解决问题学习难点：体会从特殊到一般再到特殊的研究分析问题的方法教学过程：一、游戏引入，悬疑激趣：请一名同学在老师给出的万年历中任意选出某年某月的月历，用方框框住九个数，看老师能否很快算出九个数的和二、探究规律活动1 图1是某月的月历．（1）图(1)带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？图（1） 图（2） 图（3）(2)如果将带阴影的方框移至图（2）的位置，(1)中的关系还成立吗？(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？（分组讨论：四个小组的同学分别在学案的四个月历上进行探究，然后每组派一名代表上来交流） 你能证明这个结论吗？活动2(1)如图（4），如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？你能证明这个结论么？图4 图528293031212223242526271415161718192078910111213634521(2)如图（5），对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？你能证明这个结论吗？三、归纳小结：1.说说月历中的数有哪些规律？2.说说在探究月历中的规律时用到了哪些数学知识和方法？四、运用拓展1.如图（6）我班有两位同学的生日是本月的同一天，现用一长方形在日历上任意框出4个数，使得这4个数的和为100，他们的生日就是最小的那个数，则他们的生日是____号。
123456789101112131415161718192022232425262728293031图（6）图（7）2.在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为30，则这三个数分别为__________3.把2014个正整数1，2，3，4，…，2014按如图（7）方式排列成一个表。
