上海市华二附中高二上学期期中数学试卷及答案

华二附中高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则直线的点方向式方程为l (2,3)P (1,5)d = l 2. 若一条直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是(1,1)k ∈-3. 若椭圆的焦距是，则 221y x m +=4m =4. 已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 (,2)a λλ= (3,2)b λ= a b λ5. 已知三角形的三边所在直线为，，，则三角形的外接圆1x y +=-21x y -=23x y +=方程为6. 与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有 个22(2)1x y ++=22(2)1x y -+=7. 在梯形中，∥，、分别是、上的点，若∥，且ABCD AB DC E F AB CD EF AD ，若，，则可用、表示为 35AE AD AB BC ==AB a = DC b = EF a b 8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，，12这12个数字等间隔地分布在半径为⋅⋅⋅的圆周上，从整点到整点的向量记作，则 i 1i +1i i t t + 1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=9. 设实数、满足约束条件，则取值范围是 x y 0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩231x y x +++10. 已知非零向量、不共线，设，定义点集OP OQ 111m OM OP OQ m m =+++ ，若对于任意的，当且不在直线上{|A F =}||||FP FM FQ FM FP FQ ⋅⋅= 3m ≥12,F F A ∈PQ 时，不等式恒成立，则实数的取值范围为12||||F F k PQ ≤ k 二. 选择题11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为（、不同时为1111:0l a x b y c ++=1a 1b 零），（、不同时为零），那么“”是“两直线、平2222:0l a x b y c ++=2a 2b 11220a b a b =1l 2l 行”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知是直线上一点，是外一点，则方程11(,)P x y 1:(,)0l f x y =22(,)Q x y l 表示的直线（ ）(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +A. 与重合 B. 与交于点 C. 过与平行 D. 过与相交l l P Q l Q l 13. 已知、均为单位向量，且，若，则的取值范a b 0a b ⋅= |4||3|5c a c b -+-= ||c a + 围是（ ）A.B. C. D. [3,5][3,4]14. 若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量1ABC BC n 2n ≥*n ∈N 的方向依次为，记，若给出四BC 121,,,n P P P -⋅⋅⋅1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（ ）29491101971823233n T A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题15. 设、是两个不共线的非零向量.a b （1）记，，，那么实数为何值时，、、三点共OA a = OB tb = 1()3OC a b =+ t A B C 线？（2）若，且与夹角为120°，那么实数为何值时，的值最小？||||1a b == a b x ||a xb - 16. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点、.l 221:650C x y x +-+=A B （1）求线段的中点的轨迹的方程；AB M C （2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点，若存在，求出k :(4)L y k x =-C k 的取值范围；若不存在，说明理由.17. 在平面直角坐标系中，定义为两点、1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--11(,)A x y 的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点22(,)B x y P l Q (,)d P Q 到直线的“切比雪夫距离”，记作.P l (,)d P l （1）求证：对任意三点、、，都有；A B C (,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥（2）已知点和直线，求；(3,1)P :210l x y --=(,)d P l （3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所00(,)C x y (,)P x y (,)d C P r =0r >P 围成图形的面积.18. 已知椭圆，它的上、下顶点分别为、，左、右焦点分别2222:1(0)x y E a b a b+=>>A B 为、，若四边形为正方形，且面积为2.1F 2F 12AF BF （1）求椭圆的标准方程；E （2）设存在斜率不为零且平行的两条直线、，它们与椭圆分别交于点、、1l 2l E C D M 、，且四边形是菱形；N CDMN 求证：①直线、关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.1l 2l参考答案一. 填空题1. 2. 3. 5 4. 2315x y --=3[0,(,)44πππ 411(,)(0,(,)333-∞+∞ 5.6. 77.8. 227320x y x y +-++=21211010EF b a =-9-9. 10. [3,11]34k ≥二. 选择题11. B12. C 13. B 14. A三. 解答题15.（1）；（2），12t =12x =-min ||a xb -= 16.（1）；（2）.22395()(3)243x y x -+=<≤3{}[4k ∈± 17.（1）证明略；（2）；（3）.4(,)3d P l =24S r =18.（1）；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为22121x y +=。

1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。

1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.设f（x）=（x∈R），则方程f（x）=0的解集为（）A. B.C. D. 以上答案均不对2.若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A. B. C. D.3.若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A. B. C. D.4.对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角∈，；③和的值都在集合，∈中，则的值为（）A. B. C. 1 D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.已知一个关于x，y的二元线性方程组，则此线性方程组的增广矩阵为______．6.已知直角坐标平面内的两个向量=（1，m），=（2，4）使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+，则m的取值范围是______．7.直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角是______．8.设向量=（3，0），=（2，6），则在上的投影为______．9.如果直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为______．10.直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0相互垂直，垂足为（1，p），则n=______．11.若原点在直线L上的射影为（2，1），直线L的倾斜角为θ，则sin2θ=______．12.经过点A（-3，1）和点B（4，-2）的直线l的点方向式方程是______．13.在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值为______．14.已知向量，满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有则||+||，则最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.用矩阵行列式的知识解关于x，y的方程组，（m∈R）16.（1）求点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标；（2）求直线y=-1关于直线y=2x-4的对称直线的一般式方程．17.已知向量||=，||=．（1）若，的夹角为60°，{|x=，||=1，xy＞0}，求x，y所满足的关系式，并求xy的最大值；（2）若对任意的（x，y）∈{（x，y）||x+y|=1，xy＞0），都有|x+y|≤1成立，求的最小值．18.如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicabgeometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原米一样．只是直角坐标系内任意两点A （x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程，并作出大致图象（2）在出租车几何学中，到两点A、B“距离”相等的点的轨迹称为线段AB的“垂直平分线”，已知点A （1，3）、B（6，9），C（1，9）①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图象；②求证：△ABC三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为△ABC的“外心”），并求出△ABC的“外心”，答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为设f（x）=（x∈R），得到方程f（x）=0，即=0，化简得：1×（-1）×1+1×1×x2+x×1×1-x2×（-1）×1-x×1×1-1×1×1=0化简得：x2=1解得：x1=1，x2=-1．故选：B．此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得一元二次方程求出x即可．此题考查学生化简行列式的能力，解方程的能力，属于基础题2.【答案】A【解析】解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，-1＜-＜2，则-4＜a＜2，故选：A．由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，所以正方形ABCD的面积S=AB•AD=4sinθcosθ===，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C．根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．根据新定义求出=cosθ=，=cosθ=，m∈N，再根据夹角的范围求出mn=3，m，n∈N，再根据第1个条件，即可求出m，n的值，问题得以解决本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为：．首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题．6.【答案】m≠2【解析】解：因为平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，所以向量与能作为基底，所以与不共线，所以1×4-m×2≠0，解得m≠2，故答案为：m≠2．根据平面向量基本定理得，与必为基底，不共线．本题考查了平面向量的基本定理．属基础题．7.【答案】【解析】解：直线x+3y+2=0的斜率k1=，直线4x+2y-1=0的斜率k2=-2；直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为θ，可得tanθ=||=1，∴θ=；即直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为．故答案为：．直接根据夹角公式即可求解；本题考查了直线的斜率和夹角公式的计算．属于基础题．8.【答案】2【解析】解：因为向量在上的投影为：==2，故答案为：2．根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．9.【答案】【解析】解：直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，∴，解得m=-4．∴直线6x+my+1=0化为3x-2y+=0，∴它们之间的距离==．故答案为：．利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，属于基础题．10.【答案】-12【解析】解：∵直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴-×=-1，2-5p+n=0，m+4p-2=0，解得m=10，p=-2，n=-12，故答案为：-12利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：原点在直线L上的射影为（2，1），∴垂线的斜率为=，∴直线L的斜率为，∴直线L的蝎女为-2．设直线L的倾斜角为θ，则tanθ=-2，则sin2θ===-，故答案为：-．先求出垂线的斜率，可得直线L的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】【解析】解：直线的方向向量为=（4，-2）-（-3，1）=（7，-3），故直线l的点方向式方程是，故答案为：．先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线的点方向式方程．本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵=+，∴=====，∴=1，=，∴=（）•（）=+=（-1）+1×2=，故答案为：．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．14.【答案】1【解析】解：由||+||，可得即对任意单位向量，向量在上的投影与向量在上的投影的和小于等于当与共线时取等号，∴，∴．∴≤1故答案为：1由已知可得，结合向量投影的定义及向量共线的定义可求本题主要考查了平面向量的数量积，模长公式的应用及向量的投影的定义的简单应用．15.【答案】解：关于x，y的方程组，∴D==m2-1，当D=m2-1≠0，即m≠1且m≠-1时，x==，y==；方程组有唯一的解；当D=m2-1=0，即m=-1或m=1时，若m=-1，则原方程组无解；若m=1，则原方程组有无数个解．【解析】计算D=，讨论D≠0时方程组有唯一的解，D=0时方程组无解或有无数个解．本题考查了二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用问题，是基础题．16.【答案】解：（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，……①中点坐标（，）在直线x-2y-2=0上，即……②由①②解得解x=，y=故得对称点坐标为（，）．（2）由题意，联立，可得坐标为（2，0），对称直线的方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0在直线y=2x-4取点（3，2），点到直线距离相等，即，解得：k=（舍去），k=-．∴所求对称直线方程为．x-y+11=0，即11x+2y-22=0．【解析】（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，结合中点坐标在直线上，求解x，y可得答案；（2）联立直线y=-1与直线y=2x-4求解交点，在直线y=2x-4取点（3，2），设对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可；本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题．17.【答案】解：（1）∵||=，||=，，的夹角为60°，∴==，又∵x=，||=1，xy＞0，∴=，∴=1，∴64x2+16y2+32xy=15，∵64x2+16y2≥64xy（当且仅当8x=4y即y=2x时取等号）∴15-32xy≥64xy，∴xy，故xy的最大值；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy＞0可得cosθ=1，即64x2+16y2+64xy cosθ=15，∴cosθ=∵|x+y|≤1，∴1≥（x+y）2，∴∴cosθ=≥=恒成立，===当且仅当即y=7x时取等号，此时取得最小值【解析】（1）由已知可求，结合已知x=及||=1，两边同时平方，结合基本不等式即可求解；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，两边时平方，可求cosθ，然后由|x+y|≤1，可得1≥（x+y）2，代入到cosθ的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于知识的简单综合．18.【答案】解：（1）“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，∴“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r，∴“圆”方程为：|x-a|+|y-b|=r；（2）①由已知条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，若x≤1，则y=8.5；若1＜x≤6，则x+y=9.5；若x＞6，则y=3.5；①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并画出大致图象；②证明：设“外心”坐标为M（m，n），则由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以点M在y=6上；又因为|MB|=|MC|，即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以点M在x=上；∴M（，6）；∴△ABC三边的“垂直平分线”交于一点M，且M（，6）．【解析】（1））利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”的方程；（2）①由已知条件，得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9，由此能够求出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象；②设三角形“外心”坐标为M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|结合绝对值的性质，求得点M的坐标．本题考查了新定义的应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是难题．。