2021届江西省名校高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)

第 1 页 共 22 页 2021届江西省名校高三上学期第二次联考数学（理）试题

一、单选题

1．若复数(1)zii(i是虚数单位)，则复数z的虚部为（

）

A．1 B．1 C．i D．i

【答案】A

【分析】先求z，再根据共轭复数的定义，求z和虚部.

【详解】由(1)1ziii，得1zi，

所以复数z的虚部是-1.

故选：A.

2．已知集合260AxxxZ∣，{ln(1)}Bxyx∣，则AB中的元素个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先利用一元二次不等式的解法和对数函数定义域化简集合A，B，再利用交集运算求解.

【详解】因为集合260{3,2,1,0,1,2}AxxxZ∣，

{ln(1)}{1}Bxyxxx∣∣，

所以0,1,2AB，

故选：B.

3．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（ ）(注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：3cos525)

A．13 B．23 C．34 D．25 第 2 页 共 22 页 【答案】B

【分析】作出图形，设O为正方形ABCD的中心，E为CD的中点，先证明PEO是侧面与底面所成的角，再设CDa，PEh，POh，由22232cos5252ahahh求解.

【详解】如图所示：

O为正方形ABCD的中心，E为CD的中点，

则,,CDPECDPOPEPOP，

所以CD平面PEO，

所以CDEO，

所以PEO是侧面与底面所成的角，

则52PEO，

设CDa，PEh，POh，

由题意得：22232cos5252ahahh，

解得23ha.

故选：B.

4．双曲线22212xyb的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为（ ）

A．2 B．22 C．4 D．42

【答案】C

【分析】根据双曲线方程求出双曲线的渐近线，然后根据互相垂直的两直线斜率之间的第 3 页 共 22 页 关系求出2b的值，最后利用双曲线中,,abc的关系进行求解即可.

【详解】双曲线22212xyb0,0ab的渐近线方程为2byx，

∵两条渐近线互相垂直，∴122bb，得22b，

又∵2224cab，∴2c.

∴双曲线的焦距长为4.

故选：C.

5．函数2sinxfxex的图象在点(0, f(0))处的切线方程为（ ）

A．1yx B．21yx C．21yx D．1yx

【答案】D

【分析】求得22cosxfxex，得到 01f，01f，结合直线的点斜式，即可求解.

【详解】由题意2sinxfxex，可得22cosxfxex，

可得 0211f，1010f，

所以切线方程为110yx，即1yx.

故选：D.

6．若2020220210122021(1)(12)xxaaxaxax，则122021aaa（ ）

A．0 B．2 C．1 D．1

【答案】D

【分析】分别令0x和1x，即可求得122021aaa的值.

【详解】由2020220210122021(1)(12)xxaaxaxax，

令0x，可得01a；

令1x，可得01220212aaaa

所以1220211aaa.

故选：D. 第 4 页 共 22 页 7．以下四组不等式中正确的是（ ）

A．2.8logeln2.8 B．0.20.20.40.3 C．ee D．ln33ln

【答案】C

【分析】A.由2.8loge1，ln2.81判断；B.根据函数0.2yx在0,上的单调性判断；C.由函数lnxyx在e,上是减函数判断；，D.由函数lnxyx在0,e上的单调性判断.

【详解】A.因为2.8loge1，而ln2.81，故错误；

B.因为函数0.2yx在0,上是增函数，0.40.3，∴0.20.20.40.3，故错误；

C.设函数lnxyx，则21lnxyx，当xe时，0y，所以y在e,上是减函数，所以lnelne，即πlneeln，所以ee，故正确；

D.函数lnxyx则21lnxyx，当0xe时，0y，在0,e上是增函数，因为03e，所以ln3ln3，即ln33ln，所以ln33ln，故错误，

故选：C.

8．如图是函数()cos(2)fxAx(0,0)A图象的一部分，对不同的12,[,]xxab，若12fxfx，有123fxx，则（ ）

A．() fx在区间5,1212上是增函数 B．() fx在区间5,1212上是减函数 第 5 页 共 22 页 C．() fx在区间2,63上是增函数 D．() fx在区间2,63上是减函数

【答案】B

【分析】（1）根据题意可得2A，且1222xxab，从而可得ab，再由123fxx解得6π，即()2cos26fxx，再利用余弦函数的性质即可求解.

【详解】解析：由函数()cos(2)fxAx0,0A图象的一部分，

可得2A，函数的图象关于直线1222xxabx对称，

∴12abxx.

由五点法作图可得22a，22b，

∴ab.

再根据12()2cos(2)2cos()3fxxfab，可得3cos2，

∴6π，()2cos26fxx.

在5,1212上，2(0,)6x，

故fx在5,1212上是减函数，

故选：B.

9．已知过抛物线242yx焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且2AFFB，则AOB(O为坐标原点)的面积为（ ）

A．32 B．322 C．3 D．32

【答案】D

【分析】根据题意，设直线AB为2xmy，由2AFFB，得到122yy，联立方程组，得出128yy，进而求得12,yy的值，结合面积公式，即可求解. 第 6 页 共 22 页 【详解】由题意，抛物线242yx的焦点坐标为(2,0)F，

设直线AB为2xmy，11,Axy，22,Bxy，

因为2AFFB，可得122yy，

由2422yxxmy，整理得24280ymy，所以128yy，

又由121282yyyy，可得224y，解得22y或22y，

当22y时，14y，可得1211||263222AOBSOFyy；

当22y时，14y，可得1211||263222AOBSOFyy.

故选：D.

10．已知数列na满足123232nnaaana，设1(1)2nnnabn，nS为数列nb的前n项和.若tnS对任意nN恒成立，则实数t的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．32 D．52

【答案】C

【分析】先求出na的通项，再利用裂项相消法可求nS，结合不等式的性质可求实数t的最小值.

【详解】1n时，12a，

因为123232nnaaana，

所以2n时，1123123(1)2nnaaana，

两式相减得到12nnna，故12,nnan1n时不适合此式，

所以11,11,2(1)2(1)nnnnabnnnn，

当1n时，111Sb，

当2n时，111111313123341221nSnnn， 第 7 页 共 22 页 所以32t；所以t的最小值32；

故选：C.

【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

11．在三棱锥PABC中，22ABAC，120BAC，26PBPC，25PA，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．40 B．20 C．80

D．60

【答案】A

【分析】在BAC中由余弦定理求得26BC，即知PBC为等边三角形，又由已知，若ABC的外接圆的圆心为1O有1ABOC为菱形，则PH平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.

【详解】在BAC中，2222cos24BCABACABACBAC，即26BC，又26PBPC，

∴PBC为等边三角形

根据题意，有如下示意图：

如图，设ABC的外接圆的圆心为1O，连接1OC，1OA，1BCOAH，连接PH.

由题意可得AHBC，且1122AHOA，162BHBC.

∴由上知：PHBC且22(26)632PH，又222PHAHPA，

∴PHAH，由AHBCH，PH平面ABC.