直线与圆的基本知识点总结 (1)
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2 人教 A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识
1. 两个基本量
倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l
的倾斜角.特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时， 规定 α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π) 斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 k 表示，也就是
k = tanα = y1-y2
1 2 = -A = f’(x0). 特别的，（1）当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0；（2）当直线 l
与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
2. 几个常见角及其取值范围：
（1） 直线的倾斜角 的取值范围是[0,π)；
（2） 两条直线的夹角 的取值范围是[0, π]；
（3） 两个平面的夹角 的取值范围是[0, π]；
（4） 两个半平面所成角（二面角）的平面角 的取值范围是[0,π]
（5） 直线与平面所成的角 的取值范围是[0, π]
（6） 两个向量的夹角 的取值范围是[0,π]
π
（7） 两异面直线所成角 的取值范围是[0,2)
3. 直线的五种方程
（1） 点斜式： y y1 k(x x1) (直线l 过点 P1 (x1, y1 ) ，且斜率为k )．不能表示斜率不存在的直线.
（2） 斜截式： y kx b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.
（3） 两点式： y y1 x x1 (两定点坐标分别是： P (x , y ) 、 P (x , y ) (其中 x x 且 y y )). y y x x 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1
不能表示平行于坐标轴的直线.
（4） 截距式：
原点的直线.
（5） 一般式： x y 1( a、b 分别为直线的横、纵截距， a、b 0 )不能表示平行于坐标轴和过坐标
a b
Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).
4. 两条不同直线的平行和垂直
(1)若l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2 ，则① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;② l1 l2 k1k2 1 . (2)若l1 : A1x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,
则：① l || l A1 B1 C1 或 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1；② l l A A B B 0 ；
A2 B2 C2 1 2 1 2 1 2
5. 夹角公式（现已不做要求）
(1) tan | k2 k1 | .( l : y k x b ， l : y k x b , kk 1)
1 k2 k1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 | Ax0 By0 C |
A2 B2
(2) tan | A1B2 A2 B1 | .(其中l : A x B y C 0 , l : A x B y C 0 , A A B B 0 ). A A B B 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
特别的，直线l l 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 ，不适用以上公式.
1 2 2
6. 到角公式（现已不做要求）
若直线l1 到直线l2 的角（有方向性）为，则：
(1) tan k2 k1 .(其中l : y k x b ， l : y k x b , kk 1)，
1 k2k1 1 1 1 2 2 2 1 2
(2) tan A1B2 A2 B1 .(其中l : A x B y C 0 , l : A x B y C 0 , A A B B 0 ). A A B B 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
特别的，直线l l 时，直线 l1 到 l2 的角是 ，不适用上面结论. 1 2 2
7. 四种常用的直线系方程
(1) 定点直线系方程：经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k(x x0 ) (除直线 x x0 ),其中k 是待定系数; 经过定点 P0 (x0, y0 ) 的直线系方程也可写为： A(x x0 ) B( y y0 ) 0 ,其中 A, B 是待定系数．
(2) 共点直线系方程：经过两直线l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 的交点的直线系方程为
( A1x B1y C1) (A2x B2 y C2 ) 0 (除l2 )，其中 λ 是待定的系数．
(3) 平行直线系方程：直线 y kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程． 另外，与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 ( 0 )，λ 是参变量．
(4) 垂直直线系方程：与直线 Ax+By+C=0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0 ,λ 是参变量．
8. 点到直线的距离： d (点 P(x0 , y0 ) ,直线l ： Ax By C 0 ).
两条平行直线 Ax+By+C =0 与 Ax+By+C =0 之间的距离是： d 1 2
9. 圆的四种方程
（1） 圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2 .（r>0）
（2） 圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F ＞0).更一般的，方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：①A=C≠0②B=0③D2+E2－4AF>0；
x a r cos（3） 圆的参数方程：
（4） 圆的直径方程： y b r sin .
(x x1)(x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0 (圆的直径端点是 A(x1, y1) 、 B(x2, y2 ) ). C1 C2
A2 B2 Aa Bb C
A2 B2 1 1 1 2 2 2 10. 圆系方程
(1) 过两点 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) 的圆系方程是
(x x1 )(x x2 ) ( y y1)( y y2 ) [(x x1)( y1 y2 ) ( y y1)(x1 x2 )] 0
(x x1)(x x2 ) ( y y1)( y y2 ) (ax by c) 0 ,
其中 ax+by+c=0 是直线 AB 的方程,是待定系数．
(2) 过直线l : Ax By C 0 与圆C : x2 y2 Dx Ey F 0 的交点的圆系方程是
x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0 ,λ 是待定系数．
(3) 过圆C : x2 y2 D x E y F 0 与圆C : x2 y2 D x E y F 0 的交点的圆系方程是
1 1 1 1 2 2 2 2
x2 y2 D x E y F (x2 y2 D x E y F ) 0 ,λ 是待定系数．
特别的，如果圆C : x2 y2 D x E y F 0 与圆C : x2 y2 D x E y F 0 相交，则两圆的
1 1 1 1 2 2 2 2
公共弦所在的直线方程是： (D1 D2 )x (E1 E2 ) y (F1 F2 ) 0.（两圆方程直接相减即得）
11. 点与圆的位置关系
点 P(x0, y0 ) 与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种：
若 d 12. 直线与圆的位置关系 ，则d r 点 P 在圆外; d r
点
P 在圆上; d r 点 P 在圆内.
直线 Ax By C 0 与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种:（其中d ）
d r 相离 0;
d r 相切 0;
d r 相交 0.
13. 圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， O1O2
d r1 r2 外离 4条公切线;
d r1 r2 外切 3条公切线;
d ，
r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线;
d r1 r2 内切 1条公切线;
0 d r1 r2 内含 无公切线. (a x )2 (b y )2 0 0
