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直线与圆知识点总结

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1 xy

2O直线与圆1、直线的倾斜角与斜率：tank，当∈[0°,90°）时，斜率k∈[0，+∞）；当∈（90°,180°）时，斜率k∈（－∞，0）。

过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线斜率公式：2121yykxx.

2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()yykxx (直线l过点00(,)Pxy，且斜率为k)．

⑵斜截式：ykxb(k为直线的斜率，b为直线l在y轴上的截距).

⑶两点式：112121yyxxyyxx (12yy且12xx)(111(,)Pxy、222(,)Pxy ).

⑷截距式：1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，且0ab、) ⑸一般式：0AxByC(其中A、B不同时为0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:lykxb，222:lykxb，则①121212||,llkkbb②12121llkk；

(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零；

①11112122112212220ABCl||lABABCCABC或且BB；②1212120llAABB；

4、两种常用直线系方程：⑴与直线0AxByC平行的直线系方程为：0AxBy（C）为参数⑵与直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAy（为参数）

5、两点间距离公式：22122121()()PPxxyy｜｜＝（其中两点为111(,)Pxy、222(,)Pxy）

6、点到直线的距离公式：0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy，直线l：0AxByC).

7、两条平行直线间的距离公式：2122||CCdAB(直线1l：10AxByC，2l：20AxByC).

8、圆的两种方程：⑴圆的标准方程222()()xaybr（圆心为(,)ab，半径为r）.

2 ⑵圆的一般方程220xyDxEyF (2240DEF). （圆心为(,)22DE，半径为2242DEFr）9、点与圆的位置关系：点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，

若2200()()daxby，则dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内. 10、直线与圆的三种位置关系：直线l：0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系判断的两种方法:

⑴设圆心(,)ab到直线l的距离22BACBbAad，则

drdrdr相离；相切；相交。⑵将直线代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用判断：即：000相交；＝相切；相离。11、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为12OO、，半径分别为12rr、，dOO21，则：

⑴条公切线外离421rrd；⑵条公切线外切321rrd; ⑶条公切线相交22121rrdrr；⑷条公切线内切121rrd; ⑸无公切线内含210rrd12、圆的切线方程：①过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．②若已知切点00(,)xy在圆上，则只有一条切线.

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．类型一：圆的方程例1 求满足下列各条件的圆方程：圆心在原点，半径为23；

3 圆心是点C（3，-2），半径为3；圆心是点C（8，-3），且经过点P（5,1）；④以点P（-5,6）和Q（5，-4）为直径的端点的圆方程；⑤已知ABC三个顶点分别为5,5,2,2,5,1CBA,求其外接圆的方程；

注意：（1）若圆上三个点的坐标，通常选用圆的一般方程，若给出圆心的位置，通常选用标准方程；（2）根据条件列出rba,,或FED,,的方程组。

例2、求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．

练习：求过两点1,0,5,6BA且圆心在直线09103yx上的圆的标准方程。

例3、求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．

例4、求与x轴切于点（5, 0）并在y轴上截得的弦长为10的圆的标准方程。

4 圆心的位置：在任一弦的中垂线上；在过切点与切线垂直的直线上；两圆外切或内切时，切点与两圆圆心三点共线。类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5、已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．

例6、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为

例7、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为 .

类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长.

例9、求圆心为C（2，-1），且截直线1xy所得弦的长为22的圆方程。

例10、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为

例11、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系例12、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系.

例13、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.

5 例14、圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？

类型五：圆与圆的位置关系例15判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系。

例16、圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。

例17、若圆042222mmxyx与圆08442222mmyxyx相切，则实数m的取值集合是 .

例17、求与圆522yx外切于点)2,1(P，且半径为52的圆的方程.

直线与圆基础训练题

1. 若直线1210lxmy：　与直线231lyx：平行，则m．

2. 已知0a，若平面内三点23(1)(2)(3)AaBaCa，，，，，共线，则a．3. 原点到直线052yx的距离为（）

A．1 B．3 C．2 D．54. 直线l过点（1，2）且与直线2340xy垂直，则l的方程是（）

A．3210xy B．3270xy C．2350xy D．2380xy

5. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20xy与740xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）

6 A．3 B．2 C．13D．126. 直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）

Ａ．210xyＢ．210xy

Ｃ．230xyＤ．230xy

7. 圆C：044222yxyx的圆心到直线3440xy的距离d．8. 直线1yx与圆221xy的位置关系是（）A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心D．相离9. 以点（2，－1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是__________．

10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240xyy所截得的弦长为（）

A．3 B．2 C．6D．2311．已知直线40lxy：与圆22(1)(1)2Cxy：，则C上各点到l距离的最小值为．12．已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程是．

13. 圆221:20Oxyx和圆222:40Oxyy（）A．相离Ｂ．相交Ｃ．外切Ｄ．内切14．若过点(40)A，的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）

A．[33]， B．(33)， C．3333， D．3333，

15. 圆221xy与直线2ykx没有．．公共点的充要条件是（）

A．(22)k， B．(2)(2)k∞，，∞

C．(33)k， D．(3)(3)k∞，，∞

16．经过圆2220xxy的圆心C，且与直线0xy垂直的直线方程是．

7 17．已知圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为（）A．22(1)(1)2xyB．22(1)(1)2xyC．22(1)(1)2xy D．22(1)(1)2xy

18．若圆224xy与圆22260xyay（>0a）的公共弦的长为23，则a=___1____．19. 若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3b，3a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为，圆22(2)(3)1xy关于直线l对称的圆的方程为．

20．若直线340xym与圆222440xyxy没有公共点，则实数m的取值范围是．21．若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥

22. 点(42)P，与圆224xy上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．22(2)(1)1xy B．22(2)(1)4xy

C．22(4)(2)4xy D．22(2)(1)1xy

23. 与直线20xy和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是．

8 直线与圆基础训练题

1. 若直线1210lxmy：　与直线231lyx：平行，则m．32

2. 已知0a，若平面内三点23(1)(2)(3)AaBaCa，，，，，共线，则a．123. 原点到直线052yx的距离为（ D）

A．1 B．3 C．2 D．54. 直线l过点（1，2）且与直线2340xy垂直，则l的方程是（ A ）

A．3210xy B．3270xy C．2350xy D．2380xy

5. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20xy与740xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）A．3 B．2 C．13D．126. 直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（D ）

Ａ．210xyＢ．210xy

Ｃ．230xyＤ．230xy

7. 圆C：044222yxyx的圆心到直线3440xy的距离d 3 ．8. 直线1yx与圆221xy的位置关系是（ B ）A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心D．相离9. 以点（2，－1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是__________．2225(2)(1)2xy

10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240xyy所截得的弦长为（ D ）

A．3 B．2 C．6D．23

11．已知直线40lxy：与圆22(1)(1)2Cxy：，则C上各点到l距离的最小值为．2

12．已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程

9 是．30xy

13. 圆221:20Oxyx和圆222:40Oxyy（B）A．相离Ｂ．相交Ｃ．外切Ｄ．内切14．若过点(40)A，的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（C ）

A．[33]， B．(33)， C．3333， D．3333，

15. 圆221xy与直线2ykx没有．．公共点的充要条件是（ C ）

A．(22)k， B．(2)(2)k∞，，∞

C．(33)k， D．(3)(3)k∞，，∞

16．经过圆2220xxy的圆心C，且与直线0xy垂直的直线方程是．10xy

17．已知圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为（B）

A．22(1)(1)2xyB．22(1)(1)2xy

C．22(1)(1)2xy D．22(1)(1)2xy

18．若圆224xy与圆22260xyay（>0a）的公共弦的长为23，则a=___1____．19. 若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3b，3a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为，圆22(2)(3)1xy关于直线l对称的圆的方程为．1，1)1(22yx

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高中直线与圆的方程知识点总结

高中直线与圆的方程知识点总结

高中直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程在高中数学里就像两颗璀璨的星星，各自闪耀又相互关联。

咱先说说直线的方程吧。直线在平面直角坐标系里那可是千变万化的。最常见的斜截式方程y = kx + b，这里的k就像是直线的“坡度”，如果k越大，直线就越陡峭，就好像爬山的时候，坡度大的路爬起来更费劲呢。b呢，是直线在y轴上的截距，就好比是直线这个小火车在y轴这个站台的起始位置。那要是k = 0呢，直线就变成了一马平川的平地，也就是平行于x轴的直线了。还有点斜式方程，知道直线上一点的坐标和它的斜率就能确定这条直线的方程，这就像你知道一个人的起点和他前进的方向，就能知道他的路线一样。

再看看直线之间的关系。平行的直线啊，它们的斜率相等，就像两条同向行驶而且速度一样的铁轨，永远不会相交。而垂直的直线呢，它们斜率的乘积是 - 1，这就好比是两个互相制约的力量，一个向上一个向下，形成了一种完美的平衡关系。

说到圆的方程，标准方程(x - a)²+(y - b)² = r²，这里的(a,b)就是圆心的坐标，圆心就像圆这个大家庭的家长，r就是半径，半径就像是这个家庭的活动范围，在这个范围内的点都属于这个圆家族。圆是一个特别对称的图形，关于圆心对称，不管从哪个方向看，都是那么圆润、和谐。

直线和圆的位置关系可有趣了。有相交、相切和相离三种情况。相交的时候，直线就像一个调皮的小孩，闯进了圆的领地，和圆有两个交点，就像小孩在圆里踩了两个脚印。相切的时候呢，直线就像是圆的守护神，刚好和圆亲密接触于一点，这一点就是切点，多像两个好朋友轻轻地碰了一下手。相离就比较惨了，直线和圆就像两个互不相干的陌生人，远远地分开，谁也不挨着谁。

那怎么判断直线和圆的位置关系呢？我们可以用圆心到直线的距离d和半径r来比较。如果d < r，那就是相交，就好像一个小蚂蚁距离一个圆形的蛋糕中心的距离小于蛋糕的半径，那这个小蚂蚁肯定是在蛋糕上啦。如果d = r，那就是相切，就像用一个刚好合适的罩子罩住一个球，罩子边缘和球就相切于一点。如果d > r，那就是相离，就像一个小鸟飞得很高很高，离地面上的一个圆形池塘远远的。

高二《直线与圆》知识点总结

高二《直线与圆》知识点总结

高二《直线与圆》知识点总结

直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。

一、直线与圆的基本概念和性质：

1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。

2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。

4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。

二、直线与圆的方程和解析几何：

1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。

三、直线与圆的交点和切线：

1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。

2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。切线方程可以使用直线方程得出。

直线与圆的切线与切点知识点总结

直线与圆的切线与切点知识点总结

直线与圆的切线与切点知识点总结

直线与圆的切线与切点是几何学中重要的概念和知识点。在本文中，我们将对直线与圆的切线、切点进行总结和归纳，以加深对这一概念的理解。没有“小节一”、“小标题”之类的词语，但会分段和编号，以方便阅读。

1. 直线与圆的关系

在几何学中，直线和圆是两个基本的图形元素。直线是没有弧度的，而圆形则是一个完美的闭合曲线。直线与圆之间的关系主要有以下三种情况：

1.1 直线在圆的内部

当直线与圆相交，并且直线的两个交点都在圆的内部时，直线与圆有两个交点。此时，直线不是切线。

1.2 直线经过圆

当直线与圆相交，并且直线穿过圆，即直线与圆有两个交点，但这两个交点中至少有一个在圆外时，这条直线称为圆的弦。

1.3 直线与圆相切

当直线与圆相切时，即直线与圆只有一个交点，此时的交点称为切点，而直线称为切线。

2. 直线与圆的切线性质 直线与圆的切线有一些重要的性质需要了解。

2.1 切线垂直于半径

切线与圆的半径垂直。这是因为在切点处，切线只与圆相切，不与圆内其他点相交。而在任何一个点上，切线与圆的半径构成的角度均为90°，即切线与圆的半径垂直。

2.2 切点与半径的关系

切点是切线与圆相切时的交点。切点与圆心及切线的切点构成的线段构成一个直角三角形，其中切线就是直角边，半径就是斜边。根据勾股定理可知，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。所以，切点与圆心及切线切点构成的线段两段长度之积等于直径平方：|PC| × |PA| = |PB|²。

3. 直线与圆的切线构造方法

在几何学中，有两种方法来构造直线与圆的切线。

3.1 以切点作圆心画切线

这种方法是以切点为圆心，切点到圆的半径为半径，画一个圆。然后，以圆心为点，切点到圆心的距离为半径，画一个圆弧与原圆相交于两个点。连接这两个点与切点，即可得到切线。

3.2 以直线与圆心的交点画切线 这种方法是以直线与圆心的交点为圆心，交点到圆心的距离为半径，画一个圆。然后，以圆心为点，圆心到圆的半径为半径，画一个圆弧与原圆相交于两个点。连接这两个点与交点，即可得到切线。

中职直线与圆的方程知识点总结

中职直线与圆的方程知识点总结

中职直线与圆的方程知识点总结

一、直线的方程

在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:

Ax + By + C = 0

其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。

斜截式方程： 斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：

y = kx + b

其中 k 是斜率，b 是截距。

点斜式方程： 已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：

y - y₁ = k(x - x₁)

二、圆的方程

在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：

(x - h)² + (y - k)² = r²

三、直线与圆的关系

直线与圆有以下几种关系：

1. 直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。

2. 直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。

3. 直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。相交的直线与圆会穿过圆的两个点。

4. 直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。

四、直线与圆的方程求解

1. 判断直线与圆的位置关系：

– 将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；

– 计算一元二次方程的判别式；

– 根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。

2. 求直线与圆的交点坐标： – 将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；

– 解方程组，求得交点坐标。

五、举例

例 1： 判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x -

3)² + (y - 4)² = 9。

将直线方程代入圆的标准方程得到：

(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9

化简得：

5x² - 14x + 9 = 0

计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。