直线与圆的基本知识点总结
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第 1 页 共 4 页 人教A版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识
1. 两个基本量
倾斜角：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时， 规定α= 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：[0,π)
斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，也就是
k = tanα = y1-y2
x1-x2 = -AB = f’(x0). 特别的，（1）当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0；（2）当直线l
与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
2. 几个常见角及其取值范围：
（1）直线的倾斜角的取值范围是[0,π)；
（2）两条直线的夹角的取值范围是[0, π2]；
（3）两个平面的夹角的取值范围是[0, π2]；
（4）两个半平面所成角（二面角）的平面角的取值范围是[0,π]
（5）直线与平面所成的角的取值范围是[0, π2]
（6）两个向量的夹角的取值范围是[0,π]
（7）两异面直线所成角的取值范围是[0,π2)
3. 直线的五种方程
（1）点斜式： 11()yykxx (直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．不能表示斜率不存在的直线.
（2）斜截式： ykxb(b为直线l在y轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线.
（3）两点式： 11
2121yyxx
yyxx
(两定点坐标分别是：111(,)Pxy、222(,)Pxy (其中12xx且12yy)).
不能表示平行于坐标轴的直线.
（4）截距式： 1xy
ab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)不能表示平行于坐标轴和过坐标
原点的直线.
（5）一般式： 0AxByC(其中A、B不同时为0).
4. 两条不同直线的平行和垂直
(1)若111:lykxb，222:lykxb，则①
121212||,llkkbb;②
12121llkk.
(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零, 则：①111
12
222||ABC
ll
ABC或A1B2-A2B1=0且A1C2≠A2C1；②
1212120llAABB；
5. 夹角公式（现已不做要求） (1)21
21tan||
1kk
kk
.(111:lykxb，222:lykxb,
121kk) 第 2 页 共 4 页 (2)1221
1212tan||ABAB
AABB
.(其中1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,
12120AABB).
特别的，直线12ll时，直线l1与l2的夹角是
2
，不适用以上公式.
6. 到角公式（现已不做要求）
若直线1l到直线2l的角（有方向性）为，则： (1)21
21tan
1kk
kk
.(其中111:lykxb，222:lykxb,
121kk)， (2)1221
1212tanABAB
AABB
.(其中1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,
12120AABB).
特别的，直线12ll时，直线l1到l2的角是
2
，不适用上面结论.
7．四种常用的直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定
系数; 经过定点000(,)Pxy的直线系方程也可写为：00()()0AxxByy,其中,AB是待定系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的交点的直线系方程为
111222()()0AxByCAxByC(除2l)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．
另外，与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．
8. 点到直线的距离：00
22||AxByC
d
AB
(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).
两条平行直线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0
之间的距离是：
2221
BACC
d
9. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程： 222()()xaybr.（r>0）
（2）圆的一般方程： 220xyDxEyF(224DEF＞0).更一般的，方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0②B=0③D2+E2－4AF>0；
（3）圆的参数方程： cos
sinxar
ybr
.
（4）圆的直径方程： 1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径端点是11(,)Axy、22(,)Bxy). 第 3 页 共 4 页 10. 圆系方程
(1)过两点11(,)Axy,22(,)Bxy的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx
1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,
其中ax+by+c=0是直线AB的方程,是待定系数．
(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程是
22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定系数．
(3) 过圆1C:22
1110xyDxEyF与圆2C:22
2220xyDxEyF的交点的圆系方程是
2222
111222()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定系数．
特别的，如果圆0:
11122
1FyExDyxC与圆0:
22222
2FyExDyxC相交，则两圆的
公共弦所在的直线方程是：0)()()(
212121FFyEExDD.（两圆方程直接相减即得）
11. 点与圆的位置关系
点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种： 若22
00()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.
12. 直线与圆的位置关系
直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:
（其中
22BACBbAa
d
）
0相离rd;
0相切rd;
0相交rd.
13. 圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO
21，
条公切线外离4
21rrd;
条公切线外切3
21rrd;
条公切线相交2
2121rrdrr;
条公切线内切1
21rrd;
无公切线内含
21rrd0. 第 4 页 共 4 页 14. 圆的切线方程
(1)已知圆220xyDxEyF．
①若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是：00
00()()
0
22DxxEyy
xxyyF
.
当00(,)xy在圆外时, 该方程00
00()()
0
22DxxEyy
xxyyF
表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要
漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆222xyr．则①过圆上的000(,)Pxy点的切线方程为2
00xxyyr;
②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.
15. 圆中的几个重要定理和结论
（1）相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两条弦AB和CD，则PA·PB =PC·PD.
（2）（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两条割(切)线PAB，PCD，则PA·PB =PC·PD.
（3）圆幂定理：P是圆O所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆O于
A，B两点（A，B两点可以重合，也可以之一和P点重合），圆O的半径为r，则：PA·PB=|PO2-r2|.
当P点在圆内的时候，PO2-r2<0，此时圆幂定理即为相交弦定理；
当P点在圆上的时候，PO2-r2=0，此时圆幂定理即为直径所对圆周角为直角；
当P点在圆外的时候，PO2-r2>0，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理.
（4）从平面上任一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为A点对于这
个圆周的幂。对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。
根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴。
性质1：若两圆相交，则其根轴就是公共弦所在直线。
由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴就是两交点的连线。
性质2：若两圆相切，则其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况）。
性质3：若三圆两两不同心，则其两两的根轴必交于一点或互相平行，相交时的交点称为根心。
16. 圆内接四边形（四点共圆）的常见判定方法
1．定义法：若存在一点O，使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆。
2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆。
特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90°时，此四边形有一外接圆，即有公共斜边的两直角三角
形的四个顶点共圆。
3．视角定理：若折四边形ABCD中，ADBACB，则A，B，C，D四点共圆。即有公共边的两个三角
形，若它们该边所对角相等，则四点共圆。
4．相交弦定理的逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，则四
边形ABCD有一外接圆。
5．切割线定理的逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P，且满足PA·PC=PB·PD，
则四边形ABCD有一外接圆。
